1、第一章 绪论（12）1、设，x的相对误差为，求的误差。解设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。解设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：，。解有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。（1）；解；（2）；解；（3）。解。5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？
2、解由可知，从而，故。6、设，按递推公式计算到，若取（五位有效数字，）试问计算将有多大误差？解令表示的近似值，则，并且由，可知，即，从而，而，所以。7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字（）解由与（五位有效数字）可知，（五位有效数字）。而，只有两位有效数字，不符合题意。但是。8、当N充分大时，怎样求？解因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，则，从而，因此。9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1?解由可知，若要求，则，即边长应满足。10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。证明因为，所以得证。11、序列
3、满足递推关系，若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解设为的近似值，则由与可知，即，从而，因此计算过程不稳定。12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，。解因为，所以对于，有一位有效数字；对于，没有有效数字；对于，有一位有效数字；对于，没有有效数字。13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？解因为（六位有效数字），所以，。14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？解精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。15、已知三角形面积，其中c为弧度，且测量a，b，c的误差分别为，
4、证明面积的误差满足。解因为，所以。第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令，证明是n次多项式，它的根是，且。证明由可得求证。2、当时，求的二次插值多项式。解。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解若取，则，则，从而。若取，则，则，从而。4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，近似线性插值多项式为，所以总误差为，从而。5、设，求。解。令，
5、则，从而极值点可能为，又因为，显然，所以。6、设为互异节点，求证：1）；2）；解1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。7、设且，求证。解见补充题3，其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设x使用节点，进行二次插值，则插值余项为，令，则，从而的极值点为，故，而，要使其不超过，则有，即。9、若，求及。解。10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。证明对k使用数学归纳法可证。11、证明。证明。12、证明。证明因为，
6、故得证。13、证明：。证明。14、若有n个不同实根，证明。证明由题意可设，故，再由差商的性质1和3可知：，从而得证。15、证明n阶均差有下列性质：1）若，则；2）若，则。证明1）。2）。16、，求，。解，。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是，并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。解见P30与P33，误差限为。18、XXXXXXXXXX19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，。解设，则，再由，可得：解得。从而。20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并证明当时，在上一致收敛到。解令。21、设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点中点处的与的值，并估计误差
7、。解由题意可知，从而当时，。22、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。23、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。24、给定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数，并满足条件：1）；2）。解由，及（8.10）式可知，由（8.11）式可知，。从而1）矩阵形式为：，解得，从而。2）此为自然边界条件，故；，矩阵形式为：，可以解得，从而。25、若，是三次样条函数，证明1）；2）若，式中为插值节点，且则
8、。解1）。2）由题意可知，所以。补充题：1、令，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。解由，可知，余项为，故。2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有，从而。3、设在内有二阶连续导数，求证：。证因为是以a，b为插值节点的的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：，从而。4、设，求差商，和。解因为，所以，。5、给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。6、如下表给定函数：，0123436111827试计算
9、出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。解构造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多项式为：。第三章 函数逼近与计算（80-82）1、（a）利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式；（b）对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解（a）令，则，从而伯恩斯坦多项式为，其中。（b）令，则，从而伯恩斯坦多项式为，其中。；。2、求证：（a）当时，；（b）当时，。证明（a）由及可知，而，从而得证。（b）当时，。3、在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。解由可知，从而最小偏差为1，交错点为，
10、此即为的切比雪夫交错点组，从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得。4、假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。解令，则在上具有最小偏差，从而为零次最佳逼近一次多项式。5、选择常数a，使得达到极小，又问这个解是否唯一？解因为是奇函数，所以，再由定理7可知，当时，即时，偏差最小。6、求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解由可得，从而最佳一次逼近多项式为7、求在上的最佳一次逼近多项式。解由可得，从而最佳一次逼近多项式为。8、如何选取r，使在上与零偏差最小？r是否唯一？解由，可知当与零偏差最小时，从而。另解：由定理7可知，在上与零偏差最小的二次多项式为，从而。9、设，在上求三次最佳逼近多
11、项式。解设所求三次多项式为，则由定理7可知，从而。10、令，求、。解由可知，令，则，从而。 11、试证是在上带权的正交多项式。？12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。解由题意可知，插值节点为，即，则可求得。13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为，若有界，证明对任何，存在常数，使得。证明由题意可知，从而取，则可得求证。14、设在上，试将降低到3次多项式并估计误差。解因为，所以，误差为。15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。解因为，取前三项，得到，误差为，又因为，所以3次逼近多项式为，此时误差为。16、是上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶
12、数，的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数。解的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。17、求a、b使为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。解由，可得，解得。18、，定义（a）；（b）。问它们是否构成内积？解（a）因为，但反之不成立，所以不构成内积。（b）构成内积。19、用许瓦兹不等式（4.5）估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。解。因为，所以。20、选择a，使下列积分取最小值：，。解，从而。当时，当时，由，可得交点为，若，则，若，则。同理可知，当时，当时，从而当时，积分取得最小。21、设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼
13、近，并比较其结果。解由，可知，解得，即在上为。由，可知，解得，即在上为。22、在上，求在上的最佳平方逼近。解由，可知，解得。从而最佳平方逼近多项式为。23、是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系。证明令，则。24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。解若按照切比雪夫多项式展开，其中；若按照勒让德多项式展开，其中；从而；，从而三次最佳逼近多项式为。25、把在上展成切比雪夫级数。解若按照切比雪夫多项式展开，其中。从而。26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。192531384419.032.349.
14、073.397.8解由。又，故法方程为，解得。均方误差为。27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）00.91.93.03.95.0距离s（米）010305080110解设直线运动为二次多项式，则由。，。又，故法方程为，解得。故直线运动为。28-31略。补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：IU试用最小二乘原理确定电阻R的大小。解电流、电阻与电压之间满足如下关系：。应用最小二乘原理，求R使得达到最小。对求导得到：。令，得到电阻R为。2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。解令，求x使得达到最小。对求导得到：，令，得到，
15、这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。3、有函数如下表，要求用公式拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b。-3-2-10123-1.760.421.201.341.432.254.38解取，则，而，。故法方程为，解得。4、在某个低温过程中，函数y依赖于温度的实验数据为12340.81.51.82.0已知经验公式的形式为，是用最小二乘法求出a和b。解取，则，而，。故法方程为，解得。5、单原子波函数的形式为，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：X0124y2.0101.2100.7400.450解对两边取对数得，令，则拟合函数变为，所给数据转化为X0124y0.69810.1906
16、-0.3011-0.7985取，则，而，。故法方程为，解得。因而拟合函数为，原拟合函数为。第四章 数值积分与数值微分（107）1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。1）；解分别取代入得到：，即，解得又因为当时，；当时，；从而此求积公式最高具有3次代数精度。2）；解分别取代入得到：，即，解得，又因为当时，；当时，；从而此求积公式最高具有3次代数精度。3）；解分别取代入得到：，即，解得与，又因为当时，；，从而此求积公式最高具有2次代数精度。4）。解分别取代入得到：，所以，又因为当时，当时，所以此求积公式最高具有3次代数精度。2、分别用梯形公
17、式和辛普森公式计算下列积分：（1）；解。精确值为。2）；（略）3）；解（略），精确值为。4）；（略）。3、直接验证柯特斯公式（2.4）具有5次代数精度。证明显然节点为，分别取代入得到：，；从而此求积公式最高具有5次代数精度。4、用辛普森公式求积分并估计误差。解。，从而。5、推导下列三种矩形求积公式：；解由微分中值定理有：，从而再由微分中值定理有：，从而。由微分中值定理有：，从而。6、证明梯形公式（2.9）与辛普森公式（2.11）当时收敛到积分。证明由与可得求证7、用复化梯形公式求积分，问要将积分区间分成多少等分，才能保证误差不超过（设不计舍入误差）？解由可知，令，则，从而。8、用龙贝格方法计算
18、积分，要求误差不超过。解由及可得。（参见95页）9、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，公里为地球半径，则，。我国第一颗人造卫星近地点距离公里，远地点距离为2384公里，试求卫星轨道的周长。解由，可得。10、证明等式，试依据的值，用外推算法求的近似值。证明因为，由可得，。11、用下列方法计算积分，并比较结果。1）龙贝格方法；（2）三点及五点高斯公式；3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解。12、用三点公式和五点公式求在和1.2处的导数值，并估计误差，的值由下表给出：X1.01.11
19、.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736解由三点公式，可知，误差为；，误差为，误差为。由五点公式可知，。1、计算上的积分的两点求积公式。解求积公式的代数精度不超过，将求积公式和求积系数作为4个待定系数，依次取被积函数为代入求积公式，得到方程组：，可以解得，从而求积公式为。2、直接验证梯形公式与中矩形公式具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。证明（1）依次将代入梯形公式中，得到：；，从而梯形公式具有一次代数精度。（2）依次将代入中矩形公式中，得到：；，从而中矩形公式具有一次代数精度。（3）依次将代入辛普生公式中，得到：；，从而辛普生公式具有三次代数精
20、度。3、求近似求积公式的代数精度。解 依次将代入求积公式中，得到：；，因此所给求积公式具有三次代数精度。4、求三个不同的节点和常数C，使求积公式具有尽可能高的代数精度。解 依次将代入求积公式中，得到：，即，解得，此时求积公式为，具有3次代数精度。令代入求积公式中，得到：所以此求积公式的代数精度只有3次。5、用三个节点（）的Gauss求积公式计算积分。解三个节点的Gauss求积公式为，所以。6、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式为Gauss型公式。解要使数值积分公式为Gauss型公式，则其具有次代数精度。依次将代入都应精确成立，故有，即，解得。7、试确定常数A，B，C和，使得数值求积公式具
21、有尽可能高的代数精度。此时的代数精度是多少？它是否是Gauss型公式？解依次将代入求积公式，得到：，即，解得，从而求积公式为，令代入得到：，从而求积公式只具有3次代数精度，不是Gauss型公式。第五章 常微分方程数值解法（141-142）1、就初值问题分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。解由欧拉公式可知，即，从而，即，又因为，所以。再由，可知误差为。由改进的欧拉公式可知，即，从而，即，又因为，所以。再由，可知误差为。2、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长计算，并与准确解相比较。解由改进的欧拉公式可知，又由，可得，从而；。3、用改进的欧拉方法解，取步长计算，并与
22、准确解相比较。解由改进的欧拉公式可知，又由，可得，从而；。4、用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。解由梯形公式可知，从而，即，从而，又由可知，。5、利用欧拉方法计算积分在点的近似值。解令，则，从而令，利用欧拉方法得到：，又由，得到：；。6、取，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：1）；解由四阶经典的龙格-库塔方法可知，；。；又由可知，。从而由可得：；。精确解为。2）。精确解为。7、证明对任意参数t，下列龙格-库塔公式是二阶的。证明因为，所以而，比较系数可知，所给龙格-库塔公式是二阶精度的。8、证明下列两种龙格-库塔方法是三阶的：（1）；（2）；
23、证明在三阶龙格-库塔公式中，（1）取，。即为所给方法，并且满足，因而具有三阶精度。（2）取，。即为所给方法，并且满足，因而具有三阶精度。9、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题：，取计算，并与准确解相比较。解由可知，当使用二阶显式亚当姆斯方法时，。从而，；当使用二阶隐式亚当姆斯方法时，即，从而。故；。精确解为。10、证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。证明因为，所以，从而比较系数可得差分公式具有二阶精度，并且截断误差首项为。11、导出具有下列形式的三阶方法：。解因为，所以，从而若公式具有三阶精度，则必须有：。12、将下列方程化为一阶方程组：1）；解令，则，
24、从而有，再令，则初值问题为。精确解为2）。解令，则，从而有，。3）。解令，则，从而有，初值为。13、取，用差分法解边值问题。解显然，令，及，代入得到：，即，再由可知， 解得。14、对方程可建立差分公式，试用这一公式求解初值问题，验证计算解恒等于准确解。解由差分格式可建立方程组。15、取，用差分方法解边值问题。解显然，令及，代入得到：，即，又由可得，从而由得方程组为：，可以解得。第六章 方程求根（163-164）阅读材料：一般的n次多项式方程称为n次代数方程。对于3次、4次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太复杂。至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了。代数方程可以说是最简单的非
25、线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n次方程一般具有n个根。一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数等超越函数，如，这样的方程叫做超越方程。求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以判断。超越方程与次代数方程一起统称为非线性方程，记作，其中是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它们的组合形式。所谓方程求根，就是寻找一个，使得成立，这样的叫做方程的根（解），也叫做函数的零点。若存在正整数m，使得，且，则称为的m重根。当时，又称为单根，这时满足，。对于一般的非线性方程，用直接方法得到
26、它的精确解是很困难的，例如。非线性方程的求解就是研究方程在给定初值的条件下，如何利用计算机运算得到方程真解的近似值x，使得对任意给定的精度，满足，此时称x关于是精确的。对于具体的问题，首先要对函数加以初步的研究，判断出方程的根的个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。如果选取得好，还可以把方程的根逐个分离，找出相应的有根区间。二分法的特点是当有单根时具有收敛快的特点。然而对方程有重根或复根的情况，二分法公式有时失效。1、用二分法求方程的正根，要求误差。解令，则，所以有根区间为；又因为，所以有根区间为；，所以有根区间为；，所以有根区间为；，所以有根区间为；，所以有根区间为；取，这时它与精确解的距离。2、用比例求根法求在区间的一个根，直到近似根满足精度终止计算。？3、为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1），迭代公式
