1、不一会儿学生就画出了大大小小不同的圆。学生汇报：生1：“老师，我把一枚硬币按在了纸上画的一个圆。生2：“我用的这条绳子画的一个圆。绳子一端系着铅笔，另一端固定在纸上，把绳子拉直将铅笔绕一圈就画成了一个圆。生3：真圆啊，真没想到还可以画这样圆！ （随即，吴老师就借助这位同学的方法顺手在黑板上也画了一个圆。吴老师画圆的时候故意的将拉直的绳子变松懈，结果就出现了一个椭的圆形，当时，同学们都笑了。）“你们笑什么呢？生4：“您哪，画的不圆。就是说您画的那个圆不圆。生5：“您那绳子没拉紧。”此时的吴老师机智的抓住这一生成性资源追问：“ 哎，你观察的很仔细啊，你说出了一个关键问题，绳子没拉紧，那绳子没拉紧为
2、什么就画不成圆呢？ 这时，班上的同学开始思考【吴老师为什么要抓住这与众不同的一句话 “绳子没拉紧。”引导学生思考、体验其背后的数学内涵呢？这应该源于吴老师对教材的整体把握和深刻的理解，也源于她对学生真正地尊重，她是以学生的视角和原汁原味的理解逐渐走进“圆”的。】 这时，学生6：“老师，如果用圆规画圆，我就保证画的特别圆。大家看，圆规两只脚叉开，当旋转的时候这段距离是不变的，所以就画的特别圆。 生7：“老师，我知道了，拉紧的绳子就好像圆规两只脚叉开的距离，是不变的刚才老师画的时候绳子松了一下，这之间的距离就变了，所以圆就不圆了。 生8马上抢着说：“我知道，这距离啊就是半径。”（当时教室里掌声就响
3、起来了。 接下来，吴老师请同学们把自己认为画的最圆的那个圆剪下来，并要求学生边思考边画，通过刚才的画圆、剪圆，用自己的语言描述一下你们心中的圆是什么样子的？ 这时候学生就发表意见了，生9说：“老师，我知道，圆呢它的边是弯弯的，剪的时候就要弯弯的剪。 生10：“我画圆的时候啊发现圆虽然是一条边围成的，但是它也是封闭的圆形。 生11：“老师，我发现啊，今天学习的圆和过去学过的图形不一样，它的边是曲线围成的。 生12：“画圆的时候不管是用绳子，还是用圆规，它们叉开的一段距离是固定的，不能变化的，不然就画不圆了。 看到这一片段，会引发我们怎样的思考呢？吴老师是在浪费时间吗？在这个片段当中，吴老师没有要
4、求学生静下心来“耐心地听她的指导”，而是提出了一个“边画边思考圆是怎样画成的”这样一个问题，虽然这样做可能会占用一定的时间，学生也会遇到一定的困难，但是我们发现这困难马上就演变成一道亮丽的风景。这里的操作绝不仅仅是动动手，因为画得不圆，所以学生就会开动脑筋找原因、想办法，使问题在头脑中逐渐清澈，有效避免了学生的操作“流于形式”的现象。美国心理学家马斯洛曾经说过：“挫折未必总是坏的，关键在对待挫折的态度。”面对学生的挫折和失败，吴老师总有办法让学生正视自己的错误，并引导学生从“失败”这样的体验当中去审视自己的思考过程，用乐观的态度去对待失败，独享那一份由失败到成功的快乐体验。 （二）、体验中发现
5、数学有规律 在数学学习中，有些知识是无法用实体来展示的。吴老师就运用模拟手法，创造与实物相似的情境来解决。依托学生喜闻乐见的游戏，巧妙地实现了学生生活经验和数学学习的对接。使学生顺利的完成由“日常数学”向“学校数学”的转变。 吴老师认为：“任何高明的教师都不能代替学生的操作，他们的思维是在活动中发生的，并随着活动的深入而得到发展。”也就是说学生只有亲身参加活动，在操作中不断地积累感性材料，才能促进他们观察、实验、猜测、验证以及推理的概括能力的发展。 三角形内角和教学片断： 上课前吴老师请同学们事先准备好各种不同的三角形，并让学生分别测量出三角形每个内角的度数，并标出来。上课开始，“考考老师”的
6、活动使课堂顿时活跃起来，学生们报出三角形中任意两个角的度数，请吴老师猜一猜第三个角是多少度？每次问题的抛出吴老师都能对答如流，准确无误。同学们吃惊了，疑问由此产生了：“哎，吴老师怎么都猜对了呢？你说我们带来的三角形有大的、有小的，有直角的、有钝角的、还有锐角的，那老师又没看见，为什么猜的这样准确呢？”同学们带着疑问走进数学知识的发现和探索中。通过亲身动手实践，学生们发现了规律。那学生是怎样发现规律的呢？有的学生把三个角撕下来，撕下来以后，把它们重新拼在一起，就组成了一个平角，平角多少度？180， 还有的学生用的是折纸的方法，把三角形三个内角折成一个平角。还有的学生用量角器分别把三角形的三个内角
7、给度量出来了，然后再把三个内角加起来，可以发现三个内角加起来正好是180。同学们通过观察、操作、计算等不同的方法，发现了三角形的内角和是180这个结论。学生很快就揭穿了吴老师怎么能猜对的那个秘密。 吴老师刚才这个片段，我们应该思考两个问题：学生体验了就能发现数学中蕴含的规律和法则吗？学生体验了，思维就得到了发展吗？数学是有规律的，这规律需要学生去发现。这就要靠学生自己去体验，自己动手、自己去琢磨。发现的过程甚至超过规律本身的价值，这就是“过程”与“结果”、“本”与“末”的关系。吴老师“猜一猜”的活动使学生欲罢不能，急于解决又不知解决问题的认知冲突引发学生不断地认知思考：她为什么猜的那么准呢？学
8、生欲思而不通，欲达而不能时，操作便发挥了作用。这样的操作不仅仅是为了操作而操作，他们是有明确的操作目标的：三角形三个内角到底隐藏着什么样的秘密？带着这样的问题，学生在亲自动手操作当中发现了三角形三个内角的和是180，这样的操作饱含着发现的惊喜，闪烁着理性的光辉。由此想到：操作活动一定要有明确的操作目标，使学生明白要干什么？明确要观察什么现象？明确要思考什么问题。为了进一步说明这一点，下面欣赏吴老师相遇问题的教学片断。吴老师在教学相遇问题时，为了让学生理解相对、同时、相遇、相距的含义，吴老师创设了这样的情境。这两个同学同时走了几分钟？“今天，我们要在速度、时间、路程关系的基础上，研究稍复杂的行程
9、问题。在学习新课之前，有四个词，请同学们理解一下。可以一人单独思考，用双手演示进行理解，也可以两人配合表演。屏幕上依次闪动出现四个词：相对、同时、相遇、相距。师：哪两个同学愿意用你们的动作和语言把这四个词的意思表演出来？两位同学勇敢地走了出来，面对面站好后，一个学生冲着大家说：“我们俩人面对面站着，就叫做相对。一个学生冲着另一个学生点点头说：“一、二。”两个人同时迈步向前走，“我们俩人一起走，就叫同时。两个同学向前走到距离很近时，看着老师说：“老师，这就叫相遇。吴老师又将两个学生分别向前轻轻地推了一下，两个学生碰到了一起。吴老师笑着说：“怎么，两个人碰了面，连个招呼都不打？其中一个学生马上握住
10、了另一个学生的手说：“你好，你好！另一个学生恍然大悟：“噢，我知道了，我们两个必须得碰到一起才叫相遇。两个学生又分别往后退了一步，其中一个学生说：“只要我们不相遇，中间还有距离就叫相距。这时，吴老师又给大家提出一个新的问题：“哪两个小朋友愿意合作表演，先听老师的叙述，再按要求行走。”学生的小手一下子都举得老高，希望得到这个机会。两个学生喜滋滋的走到讲台前，等着武老师发话。“两个小朋友从甲乙两地同时相对而行，5分钟时，两人相遇了。两个学生认真地按吴老师的叙述表演着。吴老师先问了问矮个的小张：“相遇时，你走了几分钟？小张理直气壮地回答道：“5分钟啊！吴老师又问高个子的小李：“那么，相遇时你走了几分
11、钟？小李爽快地回答：“当然是5分钟了。吴老师面向大家提出了第三个问题：“从出发到相遇，这两个同学同时走了几分钟？同学们异口同声：“10分钟！吴老师并没有急于解释，而是话锋一转：“一个同学上一节课40分钟，难道全班50位同学同时上完这节课要用2000分钟吗？学生们摇摇头。不知谁大声地喊道：“搞错了，相遇时两个人一共行了5分钟。这个意见马上得到了同学们的认可。有的学生不住的点头，有的学生拍着自己的头说：“可不是嘛！”听课的老师们都笑了。 吴老师在让学生理解“相对、同时、相遇、相距”这几个词的含义的时候，采用了最简单而又实用的手段学生表演。学生的参与热情被调动起来。但是这种参与不是学生被老师“牵着鼻
12、子”按着既定的操作程序，热热闹闹地走过场，而是学生根据自己的理解来表演，在关键处教师加以引导，使学生的认识达到清晰明确：”，学生有权利发表对知识理解的任何看法，对的、错的、清晰地、模糊的吴老师正是充分利用了这一重要的课程资源，发挥学生的多元个性，使学生参与的积极性和有效性达到了极致。这不就是我们所提倡的绿色生态课堂吗？一个让学生可以自由呼吸的课堂！“从出发到相遇，这两位同学同时走了几分钟？”学生异口同声的说：“10分钟。”吴老师并没有急于解释，而是话锋一转：”这一连串在做中有体验，体验中有感悟的活动，使得形成这个问题的教学显得水到渠成，是那么的自然，而又是那样的波澜不惊。但是教师的用心却处处有
13、痕，学生的发展处处有痕。这背后到底是什么力量在支持着吴老师？那就是吴老师常说的一句话：儿童的潜力像空气，放在多大的空间他就有多大。二、在体验中思考在体验中必然就有思考，怎样在体验中思考？课堂上让学生动手操作了，就能开启学生的思维吗？ 有人说：“真正的思维源于某种疑惑、迷乱或怀疑，思维的发生不是依据普遍的原则，而是由某种事物作为诱因而发生。”以动手操作来诱发学生的数学思考是吴老师课堂教学高明之举，她巧妙地把以数学思维为核心的脑活动和动手操作活动有机的结合在一起。引导学生在一个个数学活动中积累经验、提升观察、试验、猜想验证推理及概括能力。（一）、思维在做中开启。 长方形的面积计算一课，学生学习长方
14、形面积的计算时，吴老师巧妙的做了如下设计：“每组同学的学具袋里，有16个面积是1平方厘米的小正方形纸片，吴老师请学生拿出一组面积大小很接近的长方形纸片和正方形纸片，想办法让学生比较两张纸片面积的大小。显然直观比不能比较出谁大谁小，此时学生马上想到了用刚刚学过的1平方厘米的面积单位去铺，不就能比较出谁的面积大了吗？而给学生的学具袋中1平方厘米的小正方形纸片这个面积单位只有16个。显然要测量的面积大，而表示面积单位的1平方厘米的纸片少。这个矛盾又再一次引起了学生的认知冲突，在测量操作中学生们发现横着摆不够摆，竖着摆也不够摆，这时候有的学生急的直挠头皮. 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，此时的课堂上
15、出现了转机学生们横着摆12个，竖着摆4个，就解决了长方形图形面积的测量。还有一组同学横着摆10个，她有一个非常妙的招数，她计量计数，记上一个符号，为什么要记上符号呢？因为老师学具袋里的本身就给她16个，她没有办法，她记上个符号，接着再竖着重新摆上10个，你看看，她多聪明啊！ 这样的设计真是让人拍案叫绝，现在教学论指出，从本质上讲感知不是学生产生学习的根本原因，产生学习的根本原因是问题，没有问题也就难以诱发和激起学生的求知欲望，感觉不到问题的存在，也就不会思考。学生们在做中体验，在做中不约而同的又遇到了困惑，有困惑就会有思考，有思考就会有感悟，著名的数学教育家弗洛登塔尔提出的数学学习再创造理论：
16、学习数学的方法应激发学生学习的主动性，引导学生调动原有的知识经验，把要学的知识自己去发现和创造出来。吴老师的课堂是真正的做数学。 不仅如此，精彩还在继续，这时候不知道谁急中生智喊了一声：“老师，咱们再多剪一些面积单位不就可以测量了吗？”又一个声音出现了：“不行，要是测量的图形再大些呢？这不就太麻烦了吗？”这时的吴老师顺水推舟，吴老师说了：“就是嘛，要测量学校操场的面积，要测量天安门广场那么大的面积也这样一个一个地去摆吗？”刚刚建立起来的认知平衡被无情的事实击倒了，到底该怎么办呢？疑问使学生又一次产生了探索的欲望，他们在发现问题的情境中，主动的去解决寻求解决问题的方案。通过实验、操作、讨论、交流
17、，从用面积单位摆满到不能用面积单位摆满，最后到使用直尺去测量，最后直至到计算公式的推导。在这一系列的整个的操作过程中，使学生对长方形面积计算的感性认识上升到了理性的认识，从而也就得到了长方形、正方形面积的计算公式。 从这个案例当中，提醒我们要认真思考这样一个问题，为什么要操作？在课堂教学当中，吴老师为什么能够巧妙地抓住时机，敏锐的将学生的思维随着活动的不断深入，而引向数学本质的思考。一句话：就是源于吴老师对于学生的读懂，读懂的是属于学生自己的数学课堂。吴老师知道此时的学生需要什么？他们需要尝试体验的过程，需要阐述自己的观点，需要展示自己的才能。作为教师，就是要为学生提供“发现问题解决问题体验成
18、功”的学习过程。（二）、疑惑在做中释解。爱玩是孩子们的天性，是他们的兴趣所在，兴趣是最好的老师。在教学中，吴老师把课本中的知识转化成一个个与学生知识背景密切相关，又是学生感兴趣的活动。通过这些活动的设计，唤起学生的求知欲望，让学生自主调动已有知识经验，去体验和理解知识，激活学生的思维，引发学生探索，使学习活动生动有效、事半功倍。1、画一画，更明了。有这样一句名言：“数无形时少直觉，形少数时难入微。”将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由数思形，以形思数，使某些抽象的数学问题直观化、简单化，变抽象思维为形象思维，这样有助于学生把握数学的本质。吴老师在教学分数应用题这节课时，就将形象思维与抽象思
19、维协同应用，教学效果显而易见： 在这节课当中，吴老师首先给同学们讲一个故事，说：古希腊伟大的数学家丢番图去世以后，他的墓碑上刻着一首引起世人瞩目的碑文。碑文的大意是：过路的人啊，这里埋藏着丢番图，请计算下列数目便可知道他的一生经历了多少个寒暑。他一生的16是幸福的童年，112是无忧无虑的少年。再过17,他建立幸福的家庭，5年后儿子出生，不料儿子先其父4年而终，年龄不过父亲享年的一半儿。晚年丧子的人真可怜，悲痛之中度过风烛残年。请你算一算，丢番图活到多少岁才能和死神见面？ 故事刚刚讲到这里，同学们就边议论、边计算起来，有的同学还画出了线段图。 生：“老师，我想用画线段图的方法，来帮助我们分析。但
20、是我在画图的时候，我只能画出16、112、17和5年，后面的怎么画啊？ 吴老师看到这个问题，便说：“看来啊，要想解决这个问题，还必须要画好图。儿子先其父4年而终，年龄不过父亲享年的一半你是怎么理解这句话的？” 学生说：“这句话的意思就是说，儿子只活了父亲年龄的一半。“那么儿子年龄的和父亲的年龄有关系没有？能否在图上表现出来呢？学生马上意识到这个问题说：“能！于是，学生便把线段图完成，老师又指着图来说：“这里的12是什么？14又是什么呢？“12这段指的就是儿子的年龄，同时也是父亲年龄的一半，4岁是指儿子死了以后父亲又活了4年。有了图，数量关系清晰的呈现在了学生的面前，5+4的和与1-16-112
21、-17-12的差相对应，量率关系清楚了，同学们很快的就列出了算式，5+4的和除以1-16-112-17-12的差等于9除以984等于84岁。 到这里，问题似乎得到完美的解答，没想到这时又有学生突然站起来说：“老师，我又有一个新的发现，我还有一种方法，从这些图上我们可以看出，他一生的16是童年，112是少年，再有17是成年，所以丢番图的年龄一定是6、12、7的公倍数，也就是说84、168、252等等，但是根据人生的规律可知丢番图一定是活了84岁。学生精彩的发言博得了大家一致的认同。 做为老师我们不仅为之一震：“哎，这道题我们也讲过，怎么就没想到还可以利用公倍数来解决呢？那为什么在吴老师的课堂上，
22、学生会有更深层次的思考和独到的见解呢？”吴老师不是为了解决问题而解决问题，而是充分利用线段图帮助学生思考，画图、思考融为一体，充分利用线段图打开学生思维的大门，使学生的思维具有深刻性。吴老师使数与形各展其长，优势互补，相辅相成，实现了逻辑思维与形象思维的完美统一。 其实像这样的例子，在吴老师的课堂里还有很多呢，再比如： 2、猜一猜，更深刻。吴老师的课堂常常让孩子们展开想象的翅膀，大胆地去猜想、去验证，吴老师认为学生来到这个课堂，不是带着一个空空的脑袋进来的，他们已经有了自己熟悉的生活经验和数学知识的积累。所以，吴老师的课堂在学生面前总是有一种具有吸引力的新奇情境。这“新奇”，抓住了学生的心，使
23、学生迫不及待的就想接近数学，走进数学。 案例三角形认识片段： 课中吴老师设计了这样一个情境，“下面的三角形各露出一个角，你能猜出他们各是什么三角形吗？学生试探性的回答：“只露出一个直角，那个三角形一定是直角三角形。吴老师便从袋中取出这个三角形。同学们一看，“啊，猜对了!果真是直角三角形！第二个学生仍然试探着说：“我发现第二个三角形露出一个钝角来，它一定是个钝角三角形！当抽出这个钝角三角形的时候，同学们真的是沸腾起来了，“哇！又猜对了！第三个学生便胸有成竹的说：“第三个露出一个锐角，它一定是锐角三角形！”这时吴老师非常沉稳的说：“肯定吗？这轻轻的一句话，便使同学们全都陷入了沉思。过了一会，终于有
24、人忍不住的喊：“不一定！师追问：“那为什么呢？学生们开始七嘴八舌的说：“有一个锐角不能保证其他两个角也都是锐角啊！”当老师把露出一个锐角的直角三角形纸片高高举起的时候，再也没有喊是锐角三角形了。这时吴老师适时地追问：“为什么有一个直角或一个钝角的时候就能说它是什么三角形？”这一问激起了学生的思考，学生说：“三角形内角和是180，只能有一个直角或钝角，所以我们可以肯定。但是只有一个锐角的时候，我们难以肯定其他两个角，所以我们不敢肯定它是什么样的三角形。 在这样的课堂当中，学生从胸有成竹到迷惑不解，再到豁然开朗，吴老师时刻关注的是学生的情感需求和认知需求，关注学生已有的知识基础和生活经验。吴老师常
25、说：“跳进学生的脑子去想问题。”她深入童心世界，设计了一个猜一猜这是什么三角形的活动，有效地诱发了一个认知冲突，学生对三角形的认识逐步走向了深刻与全面。 3、摆一摆、更清晰。 除了画一画、猜一猜，还有摆一摆。吴老师的课堂总能引起学生在做一做中积极的探索，主动的学习，让学生在做中思考、做中探究、做中明理。“学生的手指尖上能迸发出思维的火花！吴老师9+几的教学案例：在这节课当中，吴老师在9+几的教学当中为了突破难点，采用了手脑并用的方法，为学生提供了操作的学具，小棒和数位筒。9+5等于几？吴老师鼓励学生在摆小棒的过程当中创造出自己喜欢的方法。学生在动手操作当中发现了许多不同的算法。 当吴老师提出：
26、“9+5等于几呢？”吴老师的话音刚落，就有的学生高声喊了起来：“等于14！”于是吴老师紧接着就抛出了第二个问题：“你是怎样想的？”请你用手中的小棒一边摆，一边把你的方法介绍给同伴。 学生们迅速的行动起来，很快就出现了许多不同的算式，学生们很有兴趣的交流着。 有的学生说：“我从5根中取出一根，与9凑成10,10再加4就是14了。”这个学生还把10根小棒捆成一捆，放入10位筒，4根零散的小棒放入各位筒，计算结果一目了然。 还有的学生说：“我知道两个5是10，就从5根当中取出了5根，和右边的5根凑成10，再加上剩下的4根，也是14根，这名学生也把10根捆成一捆，放入10位筒，4根的小棒放入各位筒。“
27、老师我知道2个7是14，就从9根当中取出2根给右边，7+7得14了。你觉得两种方法有什么共同之处？ 学生的算法真多呀！学生流畅的思维来自于有趣的操作，灵巧的双手很快的把10根小棒凑成了一捆，“凑10”的算法不是在教师的说教中获得的，也不是在观摩教师的演示中得到的，而是在学生们亲自操作实践中产生的。深切的体悟，必定来自于亲身实践。但亲身实践未必会有深切的体悟，吴老师适时、适度的给新生命“凑10”的产生提供了一个适应的温度，这样就加快了学生思想产生的速度，有效的实现了教材思想与学生思想的对接。三、在思考中创造有思考就会有创造，多思必有所得，在动手实践制造的认知冲突当中，引发学生思维的火花，课堂上学生们时而紧锁双眉，沉默思考；时而大胆想象，畅所欲言。学生在有限的时间内，重走了前人数学研究的道路，完成了一个又一个创举，沉浸在“好玩”的魅力课堂之中，枯燥的数学课变得妙趣横生，他们希望数学课时间长一点，再长一点他们享受着思考的愉悦，享受着创造的快乐。（一）思维的火花在指尖上迸发“孩子们的指尖上闪烁着智慧，任何高明的教师都代替不了学生的操作。”“只要给孩子们空间，孩子们的潜力就能充分的发挥。”吴老师善于鼓励孩子们大胆想象、猜测、推理、验证，让孩子们在动手操作中去发现、去创造。案例“分数
