1、1.3.2微分方程的离散对任一借点i有：用在节点i的二阶差分代替在节点i的二阶导数，得：整理成迭代形式： （i=2,3,N-1）1.3.3边界条件离散补充方程为：右边界为第二类边界条件，边界节点N的向后差分得：，将此式整理为迭代形式，得：1.3.4最终离散格式1.3.5代数方程组的求解及其程序 假定一个温度场的初始发布，给出各节点的温度初值：，.，。将这些初值代入离散格式方程组进行迭代计算，直至收敛。假设第K步迭代完成，则K+1次迭代计算式为：程序：Imports System.MathPublic Class Form1 Private Sub Button1_Click（ByVal sen
2、der As System.Object, ByVal e As System.EventArgs） Handles Button1.Click Dim t1, t2, p, , , h, dx, a, H1, m As Single Dim i, j, N As Integer Dim t（11）, k As Double t1 = 300.0 t2 = 80.0 N = 11 = 110 = 0.01 h = 45 H1 = 0.1 dx = H1 / N a = * H1 p = 2 * （ + H1） m = Sqrt（h * p） / （ * a） 计算m的方法自己研究一下 Labe
3、l1.Text = 首先假定一个温度场的初始分布，即给出各节点的温度初值： ListBox1.Items.Add（坐标x/m 温度t/）0 300.000.01 300.000.02 290.000.03 280.000.04 275.000.05 260.000.06 250.000.07 240.000.08 235.000.09 230.000.1 225.00 t（1） = 300 t（2） = 290 t（3） = 280 t（4） = 270 t（5） = 260 t（6） = 250 t（7） = 240 t（8） = 235 t（9） = 230 t（10） = 225 t（1
4、1） = 225 For i = 1 To 11 t（i） = （t（i） - t2） / （t1 - t2） Next For i = 0 To 10000 k = t（N - 1） For j = 2 To 10 t（j） = （t（j + 1） + t（j - 1） / （2 + m * m * dx * dx） t（N） = t（N - 1） / （1 + 0.5 * m * m * dx * dx） If Abs（t（N - 1） - k） = 0.0001 Then Exit For End If t（i） = t（i） * 220 + 80 t（i） = Format（t（i）,
5、 f） 保留两位小数 Label2.Text = 各点温度分布为： ListBox2.Items.Add（0 & t（1） & .000.01 t（2）0.02 t（3）0.03 t（4）0.04 t（5）0.05 t（6）0.06 t（7）0.07 t（8）0.08 t（9）0.09 t（10）0.1 t（11） End SubEnd Class二维稳态导热的数值计算2.1物理问题一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。2.2 数学描述对上述问题的微分方程及其边界条件为： x=0，T=T1=0 x
6、=1，T=T1=0 y=0，T=T1=0 y=1，T=T2=1该问题的解析解：2.3数值离散2.3.1区域离散 区域离散x方向总节点数为N，y方向总节点数为M，区域内任一节点用I,j表示。2.3.2方程的离散对于图中所有的内部节点方程可写为：用I,j节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得：上式整理成迭代形式：（i=2,3,N-1），（j=2,3,M-1）补充四个边界上的第一类边界条件得： （j=1,2,3,M） （i=1,2,3,N）2.4程序及截图： Dim N, M As Integer N = 5 M = 5 Dim t（N, M）, w, x, y As Double Dim i,
7、 j As Integer w = 0 x = 0 y = 0 For i = 0 To N - 1 For j = 0 To M - 2 t（i, j） = 0 t（i, M - 1） = 1 For x = 1 To 10000 w = t（N - 2, M - 2） For i = 1 To N - 2 For j = 1 To M - 2 t（i, j） = （t（i + 1, j） + t（i - 1, j） + t（i, j + 1） + t（i, j - 1） / 4 If Abs（t（N - 2, M - 2） - w） 0.00001 Then For i = 1 To N
8、- 1 For j = 1 To M - 1 t（j, i） = Format（t（j, i）, 0.000x y 温度T0.25 0.25 t（1, 1）0.50 0.25 t（2, 1）0.75 0.25 t（3, 1）1.00 0.25 t（4, 1）0.25 0.50 t（1, 2）0.50 0.50 t（2, 2）0.75 0.50 t（3, 2）1.00 0.50 t（4, 2）0.25 0.75 t（1, 3）0.50 0.75 t（2, 3）0.75 0.75 t（3, 3）1.00 1.00 t（4, 3）0.25 1.00 t（1, 4）0.50 1.00 t（2, 4）0
9、.75 1.00 t（3, 4） t（4, 4）一维非稳态导热的数值计算 非稳态导热问题由于有时间变量，其数值计算出现了一些新的特点。3.1问题一块无限大平板，其一半厚度为L=0.1m，初始温度T0=1000，突然将其插入温度T=20的流体介质中。平板的导热系数=34.89W/（m），密度=7800kg/m3,比热c=712J/（kg），平板与介质的对流换热系数为h=233W/（m2），求平板内各点的温度分布。3.2数学描述由于平板换热关于中心线是对称的，仅对平板一半区域进行计算即可。坐标x的原点选在平板中心线上，因而一半区域的非稳态导热的数学描述为：，=0，T=T0 x=0, x=L, 该数
10、学模型的解析解为：，其中，n为方程ctg=/Bi 的根，3.3数值离散3.3.1计算区域的离散以X和T为坐标的计算区域的离散，时间从T=0开始，经过一个个时层增加到K时层和K时层。3.3.2微分方程的离散对于I节点，在K和K+1时刻可将微分方程写成下面式子：将上式的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为：显式差分格式： （K=0,1,i=2,3,N-1）全隐式差分格式：其中3.3.3边界条件的离散边界节点的差分方程：3.3.4最终离散格式显式：Ti=T0 （i=1,2,3,N） （i=1,2,3,N-1） 其中K=0，1，2。隐式：其中K=0，1，23.4程序及截图： N = 10 M = 11
11、 Dim f, Bi As Double f = 0.062824114 Bi = 0.066781312 Dim a（N, M）, w As Single Dim i, j, k, t, s As Integer For k = 0 To M - 1 a（i, k） = 1000.0 For k = 0 To 100000 w = a（N - 1, M - 1） a（i, j） = f * a（i + 1, j - 1） + f * a（i - 1, j - 1） + （1 - 2 * f） * a（i, j - 1） a（0, j） = a（0, j - 1） * （1 - 2 * f） + 2 * f * a（1, j - 1） a（N - 1, j） = （1 - 2 * f - 2 * f * Bi） * a（N - 1, j - 1） + 2 * f * a（N - 2, j - 1） + 2 * f * Bi * 20 If Abs（a（N - 1, M - 1） - w） 0.000001 Then a（9, i） = Format（a（9, i）, 0.00时间/s 温度/1 a（9, 1）2 a（9, 2）3 a（9, 3）4 a（9, 4）5 a（9, 5）6 a（9, 6）7 a（9, 7）8 a（9, 8）9 a（9, 9）10 a（9, 10）
