1、2018北京市丰台区高三（上）期末 数 学（理） 2018.1第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，则（ ）A B C D2“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线4若满足则的最大值是（ ）A-2 B-1 C1 D25执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（ ）A B C D6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A2 B C D37过双曲
2、线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D8全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：若，则；若，则中至少有8个元素；若，则中元素的个数一定为偶数；若，则.其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9已知单位向量的夹角为120，则 10若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 11在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）12等差数列的公差为2，且成等比数列，那么 ，数列的前9项和 13能够说明“方程的曲线是椭圆
3、”为假命题的一个的值是 14已知函数.当时，函数有 个零点；若函数有三个零点，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15在中，（）求角；（）若，求的值.16某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“”表示参加，“”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（）求的值；（）从该校4000名学
4、生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.17在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18已知函数.（）求函数的单调区间；（）若恒成立，求实数的取值范围.19在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（）求得方程；（）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直
5、线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20在数列中，若是整数，且（，且）.（）若，写出的值；（）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；（）若数列中，是奇数，证明：对任意，不是4的倍数.数学试题答案一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC二、填空题9 101 11-40122，90 13中任取一值即为正确答案 141，三、解答题15解：（）因为，所以.因为，所以，所以，所以.（）由，得.解得.由余弦定理可得，解得.16解：（）依题意，所以.因为，所以，.（）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公
6、益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.（）可取0,10,20,30,40.；.所以随机变量的分布列为：所以.17解：（）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如图建立直角坐标系，所以，所以，.设平面的法向量为，因为，所以.令，所以，所以.又因为，设与平面所成角为，所以.所以与平面所成角的正弦值为.（）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则，所以.因为，
7、所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.18解：（）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（）由（）知，当时，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.19解：（）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即
8、.所以的轨迹方程为.（）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.20解：（），.所以，.（）（i）当都是偶数时，是偶数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是偶数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，所以前2018项中共有0个奇数.（ii）当都是奇数时，是奇数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是奇数；因为是偶数，代入得到是奇数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，所以前2018项中共有1346个奇
9、数.（iii）当是奇数，是偶数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，所以前2018项中共有1345个奇数.（iv）当是偶数，是奇数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.（）证明：因为是奇数，所以由（）知，不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.因为是奇数，且，所以也是奇数.所以为偶数，且不是4的倍数.因为，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，由于，且，将这两个式子作和，可得.因为是4的倍数，所以也是4的倍数，与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意，不是4的倍数. 12 / 12
