1、一题多解之求轨迹方程常用的基本方法例、由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。思路点拨：（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。图1PByxMAO解法1 如图1，设弦的中点的坐标为，连接，则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有整理得 。思路点拨：（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。思路点拨：（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法3
2、设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.且过原点，的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中思路点拨：（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，所以动点的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法4 设过点的割线方程为：，它与圆的两个交点为，的中点为.解方程组 利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：其中思路点拨：（代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来，又点构成4点共线的和谐关
3、系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。点评：上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。【针对性练习】1.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解析：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由得(xx0，y)2(x0，y0)，即，x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程
4、是y24x.2.一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线3.已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足，则P点的轨迹方程是() A4x24y24x8y10 B4x24y24x8y10 C8x28y22x4y50 D8x28y22x4y50来源:学&科&网Z&X&X&K解析：(1)设P点的坐标(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，(2x1,2y2)所以(2x1)2(2y2)24，整理得4x24y24x8y10.4.已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂直，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方
5、程为()Ax24y By23x Cx22y Dy24x6设动点P在直线x10上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是()A椭圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线解析：设Q(x，y)，P(1，a)，aR，则有0，且| |，消去a，得x2y21.x2y20，y1.即动点Q的轨迹为两条平行直线y1.答案：B7由抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，则点R的轨迹方程为_解析：设P(x1，y1)，R(x，y)，则，则直线OP的方程为yx，直线FQ的方程为，由得x1，y1，将其代入y22x，可得y22x2x.即点R的轨迹方程为y22x2x.8点P是圆C：(x2)2y24上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是_
