1、湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = x上 (B) 抛物线 y =上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上2以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间
2、可节省k%，那么k的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 203若10，则一定是 ( )第4题(A) 最小，最大 (B) 最小，最大 (C) 最小，a最大 (D) 最小， 最大 4如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）(A) AEAF （B）EF：AF =：1(C) AF2 = FHFE （D）FB ：FC = HB ：EC 5在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知BDF的面积为10，BCF的面积为20，CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ） (A) 2
3、2 (B) 24 (D) 36 (D)446某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7若4sin2A 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = _ _ .(第9题)8在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴
4、摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 .(第11题)10桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .第12题12设 为一群圆, 其作法如下：是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆
5、中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类推作出 , 则(1) 圆的半径长等于 (用a表示)；(2) 圆的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。第13题13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OCAB.(1) 求证AD = AE；(2) 若OC=AB = 4，求BCE的面积.（1）证1.AD是圆O的直径，点C在圆O上， ACD = 90，即ACDE. 又OCAE，O为AD中点 AD = AE. 证2 O为AD中点，OCAE， 2OC = AE
6、， 又AD是圆O的直径， 2OC = AD， AD = AE. （2）由条件得ABCO是平行四边形， BCAD，又C为中点，AB =BE = 4，AD = AE，BC = BE = 4， 连接BD，点B在圆O上，DBE= 90，CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4， 所求面积为4. 4分 14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p 2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使ABM面积达到最小.解：(1) = 4p2 8p + 8 = 4 ( p 1)2 + 4 0 , 抛物线
7、与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),则|AB|2 = |x2 x1|2 = (x1 + x2)2 4x1x22 = 4p2 8p + 8 2 = 4 ( p 1)2 + 42,|AB| = 2. 5分又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x p)2 ( p 1 )2 1 .得b = ( p 1 )2 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时SABM = |AB|b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到
8、12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。(1) 试判断A队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得： 4分依题意，知x0,y0,z0,且x、y、z均为整数， 解得：x ， x可取4、5、6 4分 A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= 600x+19300当x = 4时
9、，W最大，W最大值= 604+19300=16900（元） 答略. 4分 16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2bxc的顶点是P点. 若点P位于M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； 过点C作M的切线交AD于F点，当PFAB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上
10、？并说明理由. 解：(1)如图，建立平面直有坐标系，矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（ m 0 ), 则有B(m3 0)；C(m3 2), D(m 2);若C点过y =x1；则2=(m3)1, m = 1与m0不合； C点不过y=x1；若点D过y=x1，则2=m1, m=2, A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分（2）M以AB为直径，M(3.5 0)，由于y = ax2bxc过A(2, 0)和B(5 ,0)两点， 2分y = ax27ax10a( 也可得：y= a(x2)(x5)= a(x27x10) = ax27ax10a ) y =
11、 a(x)2a； 抛物线顶点P(, a) 顶点同时在M内和在矩形ABCD内部, a 2,a. 3分 设切线CF与M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n0；AD、BC、CF均为M切线，CF=n2, DF=2n; 在RtDDCF中，DF2DC2=CF2；32(2n)2=(n2)2, n=, F(2, )当PFAB时，P点纵坐标为；a =，a = ; 抛物线的解析式为：y= x2x5 3分抛物线与y轴的交点为Q（0，5），又直线y =x1与y轴交点（ 0，1）；Q在直线y=x1下方. 3分高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1D 2D 3A 4C
12、5D 6B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7. 82. 9 y = x2 x +. 1020. 11( ,2). 12(1) 圆的半径； (2)圆的半径 ( 1 )n 1 a .长郡中学2009理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分）1函数y图象的大致形状是 （）A B C D2小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A、 B、 C、 D、3满足不等式的最大整数n等于 （ ）（A）8 （B）9 （C）10 （D）114甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而
13、行，相遇后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么，甲车速是乙车速的 （A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍5图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）86如图，AB，CD分别是O的直径和弦，AD，BC相交于点E，AEC=，则CDE与ABE的面积比为 （ ）（A）cos （B）sin （C）cos2 （D）sin27两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （
14、）（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关8设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1=9=8=610如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 _ .11计算：= _ . 12五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2
15、场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 _ 场，E队比赛了 _ 场.13已知AOB=30,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_（第14题）14如图，ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则1 _ 2（填“”、“”或“=”）三解答题（共38分）15. （分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆（1）某校九年级（1）班
16、课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？（分）如图，是的内接三角形，为中上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：（分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB于点E点P、Q同时开始运动，当点P
17、与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）DEKPQCBA（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由参考答案选择题DCDCCCCB9 186=951=834=67210 11 12 6场，2场13 14 1（）解：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得： ，解这个不等式组，得：， 是整数，可取，可设计三种搭配
18、方案：种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个 （2）应选择方案，成本最低，最低成本为元证明：（1）在中，在中，（同弧上的圆周角相等）， 在和中， （2）若 ，又解：（1）t=（507550）5=35（秒）时，点P到达终点CFGDEKPQCBA图9HQKCHDEPBA图8此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，D
19、HBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE=QEQC=6t2；当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE=(EDQC)DH =120 t600（4）PQE能成为直角三角形长郡中学2010理科实验班招生考试数学模拟试卷一选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1. 已知，则的值等于 。2计算：200620062007+
20、200720072008200620072007200720082008 = 。（第4题）ABCD3函数，当x = 时，y有最小值，最小值等于 4如图，ABC中，A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，则AD的长为 cm5甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟，乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 6如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .7实数x、y满足x22x4y5，记tx2y，则t的取值范围为_8两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边
21、长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形. 图中RtABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）.第8题 二选择题：（每小题4分，本题满分32分）9若，则+ + +的值是（ ）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）210用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到 0.1等于 （ ） （A）94.2 cm （B）91.4 cm （C）61.4 cm （D）56.4 cm11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款a元，后来她退了2包 酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她b元（0ba）. 每包酸奶的价格是 （ ）（A）元 （B）元 （C）元 （D）元ADBC（
22、第12题）KEFG12定义：定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与K的距离为（ ）（A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm13国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下10局棋，每局胜方得1分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到5.5分便夺冠，不继续比赛；若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平. 若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，甲夺冠的概率 是 （ ）（A） （B） （C） （D）14若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限15、如图，直线x1是二次函数yax2bxc的图象的对称轴，则有 （）（A）abc0（B）bac（C）abc0（D）c2b16已知x、y、z是三个非负实数，满足3x2yz5
