1、在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。例2、如图13，抛物线y=ax2bxc（a0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴
2、于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. 例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b2a）,且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示） （1）求SDBF; （2） 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2
3、中的SDBF;（3） 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,SDBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。例4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点D（1）求a，b及的值（2）设点P的横坐标为 用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出值；例5、如图，C的内接AO
4、B中，AB=AO=4，tanAOB=,抛物线经过点A（4,0）与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标.例1、证明：（1）ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60， MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE又MB=NB， AMBENB（SAS）（5分）解：（2）当M点落在BD的中
5、点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小（7分）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB， AM=EN，MB=NB， BMN是等边三角形 BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（11分）例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得： 解得：a1所求抛物线的解析式为： （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
6、在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HFHI 设过A、E两点的一次函数解析式为：ykxb（k0）， 点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x2代入抛物线，得 点E坐标为（2，3） 又抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D 当y0时，x1或x3 当x0时，y143, 点A（1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又抛物线的对称轴为：直线x1， 点D与点E关于PQ对称，GDGE 分别将点A（1，0）、点E（2，3）代入ykxb，得： 解得： 过A、E两点的一次函数解析式为：yx1 当x0时，y1 点F坐标为（0，1）=2 又点F与点I关于x轴对称， 点I坐标为（0，1） 又要
7、使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， 只要使DGGHHI最小即可 由图形的对称性和、，可知， DGGHHFEGGHHI 只有当EI为一条直线时，EGGHHI最小 设过E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，1）代入，得： 解得： 过A、E两点的一次函数解析式为：y2x1 当x1时，y1；当y0时，x； 点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0） 四边形DFHG的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知： DFEI四边形DFHG的周长最小为。（3）如图7，由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使即可， 即：设点M的坐标为（a
8、，0），由MNBD，可得 AMNABD， 再由（1）、（2）可知，AM1a，BD，AB4 ， 式可写成：解得：或（不合题意，舍去）点M的坐标为（，0）又点T在抛物线图像上， 当x时，y 点T的坐标为（，）.例3、（1）点F在AD上，AF2=a2a2，即AF=。（2）连接DF，AF，由题意易知AFBD，四边形AFDB是梯形。DBF与ABD等高同底，即BD为两三角形的底。由AFBD，得到平行线间的距离相等，即高相等，（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。第一种情况：当b2a时，存在最大值及最小值，BFD的边BD=，当F点到BD的距离取得最大、最小值时，
9、SBFD取得最大、最小值。如图，当DFBD时，SBFD的最大值=，SBFD的最小值=。第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，SBFD的最大值=。例4、解：（1）由，得到x=2，A（2，0）。 由，得到x=4，B（4，3）。经过A、B两点，解得。设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。根据勾股定理，得AE=。PCy轴，ACP=AEO。（2）由（1）可知抛物线的解析式为。由点P的横坐标为，得P，C。PC= 。在RtPCD中， ，当m=1时，PD有最大值。存在满足条件的值，。例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组，解之，得.抛物线的解析式为.（2）连接
10、AC交OB于E.直线m切C于A ACm， 弦 AB=AO， .ACOB，mOB. OAD=AOB，OA=4 tanAOB=，OD=OAtanOAD=4=3.作OFAD于F.则OF=OAsinOAD=4=2.4.t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQAD，则FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF中，t=DF=1.8秒.（3）令R（x, x22x） （0x4）. 作RGy轴于G 作RHOB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x2+2x.RtRIG中，GIR=AOB ，tanGIR=.IG=x IR= x, RtOIH中，OI=IGOG=x（x2+2x）=x2x.HI=（x2x）.于是RH=IRIH= x（x2 x）= x2+x= x2+x=（ x）2+当x=时，RH最大.SROB最大.这时x22x=（）22=.点R（,）
