1、DAGDCG，AG=CG；在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为直角三角形MG=CG，EG=MC，（3）解：（
2、1）中的结论仍然成立即EG=CG其他的结论还有：EGCG点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质2（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具
3、有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论矩形的性质；等腰三角形的性质；几何综合题。（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CENH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证EGCCNE得出结论（2）过C点作COEF于O，可得矩形HCOF，因为HC=DO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证COECGE得出猜想（3）连接AC，过E作EG作EHAC
4、于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证CHEEGC得出猜想（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CEPF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证CEPCNP，故CG=PFPN过E点作ENGH于N（1分）EFBD，CHBD，四边形EFHN是矩形EF=NH，FHENDBC=NEC四边形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACBNEC=ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90又EC=EC，EGCCNE（3分）EG=CNCH=CN+NH=EG+EF（4分）猜想CH=
5、EFEG（5分）EF+EG=BD（6分）（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图，有CG=PFPN注：图（1分）（画一个图即可），题设的条件和结论（1分）此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明3如图1，点P是线段MN的中点（1）请你利用该图1画一对以点P为对称中心的全等三角形；（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图2，在RtABC中，BAC=90，ABAC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于F，请猜想F等于多少度时，BE=CF（直接写出结
6、果，不必证明）；如图3，在ABC中，如果BAC不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，请写出AEF必须满足的条件，并加以证明作图复杂作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。证明题；开放型。（1）以P点为中心，依次做两条相互交叉但长度相等的线段，可得两个全等三角形；（2）当BE=CF时，F的结论成立；第2小题需要用到辅助线的帮助延长FD到点G，使得FD=GD，连接BG，证明DCFDBG后推出F=G，CF=BG，从而证明BE=CF解：（1）如图：画图正确（2分）（2）F=45时，BE=CF（2分）答：若BE=CF的结论仍然成立，则AE=AF，AEF是等腰三角形（1分）证明
7、：延长FD到点G，使得FD=GD，连接BG点D是BC边中点，DC=DB在DCF和DBG中DCFDBG（2分）F=G，CF=BG（1分）当AEF是等腰三角形，AE=AF时，F=2，1=2，1=GBE=BGBE=CF（2分）本题涉及全等三角形，等腰梯形的相关性质和判定，并考查学生的作图能力，为综合题型，难度中上4如图，OP是AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在
8、ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由全等三角形的判定与性质。探究型。根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定其全等了先利用SAS来判定AEFAGF得出AFE=AFG，FE=FG再利用ASA来判定CFGCFD得到FG=FD所以FE=FD在OP上任找一点E，过E分别做CEOA于C，EDOB于D如图，（1）结论为EF=FD如图，在AC上截取AG=AE，连接FGAD是BAC的平分线，1=2，在AEF与AGF中，AEFAGF（SAS）AFE=AFG，FE=FG由B=60，AD，C
9、E分别是BAC，BCA的平分线，22+23+B=1802+3=60又AFE为AFC的外角，AFE=CFD=AFG=2+3=60CFG=60即GFC=DFC，在CFG与CFD中，CFGCFD（ASA）FG=FDFE=FD（2）EF=FD仍然成立如图，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点HFGE=FHD=90B=60，且AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，F是ABC的内心GEF=BAC+3=60+1，F是ABC的内心，即F在ABC的角平分线上，FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）又HDF=B+1（外角的性质），GEF=HDF在EGF与DHF中，EGFDHF（AAS），此题考查全等三角
10、形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等5如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H（1）求PEF的边长；（2）若PEF的边EF在线段BC上移动试猜想：PH与BE有什么数量关系？并证明你猜想的结论等边三角形的性质。（1）要求PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQBC于Q利用PFQ的正弦值可求出PF，即PEF的边长；（2）猜想：PHBE=1利用ACB的正切值可求出ACB的度数，再由PFE=60，可得出HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+
11、2FH=3再把其中FH用PH表示，化简即可（1）过P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBC，PQ=AB=（1分）PEF是等边三角形，PFQ=60在RtPQF中，PF=2 （3分）PEF的边长为2 PH与BE的数量关系是：PHBE=1 （4分）（2）在RtABC中，AB=，BC=3，1=30（5分）2=60，PF=EF=2 （6分）2=1+3，3=30，1=3FC=FH （7分）PH+FH=2，BE+EF+FC=3，PHBE=1 （8分）每题只给了一种解法，其他解法按本评标相应给分本题利用了矩形、平行线、等边、等腰三角形的性质，还有正切函数等知识，运用的综合知识很多6（200
12、7牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明根据已知可以利用SAS证明ABECBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出ABE=CBF=30，BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF同理图2可证明是成立的，图3不成立A
13、BAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120ABE=CBF=30，BEF为等边三角形；AE=BE，CF=BF；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120FBC+ABE=60FBC+KBC=60KBF=FBE=60KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECF=EF本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方
14、法要求学生能够掌握并灵活运用7用两个全等的等边ABC和ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转（1）如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论（2）如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由证明题。（1）连接AC，根据等边三角形性质推出AD=AC，D=ACB=60，DAC=60，求出CAE=DAF，证ACEADF即可；（2）连接AC，求出ADF=ACE=120，证ACEAD
15、F，推出DF=CE，根据BC=CD即可推出答案（1）BE=CF，连接AC，ADC、ABC是等边三角形，AD=AC，D=ACB=60FAE=60CAE=DAF，在ACE和ADF中ACEADF，CE=DF，四边形ABCD是菱形，BC=CD，BE=CF结论BE=CF仍成立，理由是：由（1）知：AD=AC，FAD=CAE，等边三角形ABC和等边三角形ACD，ADC=ACB=60ADF=ACE=120DF=CE，CD=BC，BE=CF，即结论BE=CF仍成立本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生熟练地运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但有一定的难度8如图，在四边形AB
16、CD中，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC=90，MAN=BAD（1）如图1，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明旋转的性质。（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长
17、MB到G，使BG=DN，连接AG目的就是要证明三角形AGM和三角形ANM全等将MN转换成MG，那么这样MN=BM+DN了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形AMG和AMN中，只有一条公共边AM，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AND中，已知了一组直角，BG=DN，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AN，1=2，那么1+3=2+3=MAN=BAD由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出MN=GM了（2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG根据（1）的证法，我们可得
18、出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BMBG=BEDN（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在DN上截取DF，使DF=BM，连接AG根据（1）的证法，我们可得出DAF=BAM，AF=AM，那么MN=NF=DNDF=BNBM延长MB到G，使BG=DN，连接AGABG=ABC=ADC=90，AB=AD，ABGADNAG=AN，BG=DN，1=41+2=4+2=MAN=BADGAM=MAN又AM=AM，AMGAMNMG=MNMG=BM+BGMN=BM+DN（2）MN=BMDN在BM上截取BG，使BG=DN，连接AGABC=ADC=90，AD=AB，ADNABG
19、，AN=AG，NAD=GAB，MAN=MAD+MAG=DAB，MAG=BAD，MAN=MAG，MANMAG，MN=MG，MN=BMDN（3）MN=DNBM本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形9（2010义乌市）如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F（1）如图2，当BP=BA时，EBF=30，猜想QFC=60；（2）如图1，当点P为射线BC
20、上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式等边三角形的性质；解直角三角形。（1）EBF与ABE互余，而ABE=60，即可求得EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得QFC的度数；（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明BAP=EAQ，进而得到ABPAEQ，证得AEQ=ABP=90，则BEF=180AEQAEB=1809060=30，QFC=EBF+BEF；（3）过点F作FGBE于点G，过点Q作QHBC，根据ABPAEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2点Q到射线BC的距离
21、y=QH=sin60QF=（x+2），即可求得函数关系式（1）EBF=30（1分）QFC=60（2分）（2）QFC=60 （1分）解法1：不妨设BPAB，如图1所示BAP=BAEEAP=60EAP，EAQ=QAPEAP=60BAP=EAQ （2分）在ABP和AEQ中AB=AE，BAP=EAQ，AP=AQ，ABPAEQ（SAS） （3分）AEQ=ABP=90 （4分）BEF=180QFC=EBF+BEF=30+30=60 （5分）（事实上当BPAB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）解法2：设AP交QF于MQMP为AMQ和FMP共同的外角QMP=Q+PAQ=APB+QFC，
22、由ABPAEQ得Q=APB，由旋转知PAQ=60QFC=PAQ=60（3）在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形，BE=AB=2由（1）得EBF=30在RtBGF中，BG=，BF=2EF=2 （1分）ABPAEQQE=BP=x，QF=QE+EF=x+2 （2分）过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，y=QH=sin60QF=（x+2）（x0）即y关于x的函数关系式是：y=x+ （3分）本题把图形的旋转，与三角形的全等，三角函数，以及函数相结合，是一个比较难的题目10（2009北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90得到线段EG1判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线
