1、 EF/AC, , BEFBAC, 得故E点的坐标为（,0）.（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，2）若设直线的解析式为，则有解得： 故直线的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）解法二：延长交轴于点，则要使线段最长，则只须的面积取大值时即可.设点坐标为（，则有: 即时，的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（2，3）30 （2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2）当b=0时（如图（2），与
2、的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 第26题图（1）图（2）【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）（2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可） 当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以. （3）存在这样的b.因为所以所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形 所以 ，而所
3、以，解得，所以当b4或2时，OBC为直角三角形. 31（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1,-4）.（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【答案】解;（1） 因为M（1,-4） 是二次函数的顶点坐标，所以 令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）（2） 在二次函数的图象上存在点P，使设则，又,图1二次函数的最小
4、值为-4，.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）7分（3）如图1，当直线经过A点时，可得8分 当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为32（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C（1）求点C的坐标（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下
5、，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A、B、C三点的坐标代入得：解得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQBC交CB于点D，则有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如图所示，过点P作PEAC交AC于点E，则EC=QE=PC，t=（-t），
6、解得t=（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，点P的坐标是（2，1），直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1，直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）33（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值（1）证明：依题意，是一元二次方程的两根根据一元二次方程根与系数的关系，得， （2）解：依题意，由（1）得二次函数的最小值为34（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，
7、B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.（1）将B、C两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为：（2）存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PCPO连结PP 则PECO于E，OE=EC= 解得=，
8、=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）8分（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x3）.= 当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积 35（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上（1）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶
9、点C落在此抛物线上时，求OP的长；1（第24题）1234243若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值（1）抛物线经过原点，m23m+2=0.解的m1=1，m2=2.由题意知m1.m=2，抛物线的解析式为点B（2，n）在抛物线
10、，n=4.B点的坐标为（2，4）（2）设直线OB的解析式为y=k1x求得直线OB的解析式y=2xA点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1. 可求得点C的坐标为（3a，2a），有C点在抛物线上，得2a=x（3a）2+x3a.即a2 a=0解得 a1=，a2=0（舍去）OP= 依题意作等腰直角三角形QMN.设直线AB的解析式y=k2x+b由点A（10 ，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=x+5当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种
11、情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，可证DPQ为等腰直角三角形此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位PQ = DP = 4tt+4t+2t=10t=第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示可证PQM为等腰直角三角形此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位，OQ = 10 2tF点在直线AB上FQ=tMQ=2tPQ=MQ=CQ=2tt+2t+2t=10t=2.第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位t+2t=10综上，符合题意的值分别为，2，36（2010云南红河哈尼族彝族自治
12、州）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？画图如图所示：依题意得： =平移后图像的解析式为：（2）当y=0时，=0 平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x时，二次函数的函数值大于0.37（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点A（1，0），B（3，0）.与轴相较于点C（0，3）（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（）是抛物线上一点，请求出的值，并求处此时ABD 的面积
13、（1）由题意可知 解得所以抛物线的函数关系式为（2）把D（）代人函数解析式中，得所以38（2010湖北随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，
14、x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.39（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，一4），C（2，0）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），则有 解得 抛物线的解析式y=x2+x4 （2）过点M作MDx轴于点D.设M点的坐
15、标为（m，n）. 则AD=m+4，MD=n，n=m2m4 . S = SAMD+S梯形DMBOSABO = （ m+4） （n）（n4） （m） 4 = 2n-2m-8 = 2（m2m4） -2m-8 = m2-4m （4 m 0）S最大值 = 4 （3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+，2），（-2，2）40（2010四川乐山）如图（13.1），抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tanOAC2（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使APC90，若存在，求出点P
16、的坐标；（3）如图（13.2）所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线ll，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？（1）抛物线y=x2bxc过点C（0,2）. x=2又tanOAC=2, OA=1,即A（1,0）.又点A在抛物线y=x2bx2上. 0=12b12,b=3抛物线对应的二次函数的解析式为y=x23x2（2）存在过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,x=.AE=OE-OA=-1=,APC=90,tanPAE= tanCPD,即，解得PE=或PE=，点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以
17、用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x2，点M是直线l和线段BC的交点，M点的坐标为（t，-t+2）（0t2）MN=-t+2-（t23t2）=- t22tSBCM= SMNC+SMNB=MNt+MN（2-t）=MN（t+2-t）=MN=- t22t（0t2）,SBCN=- t22t=-（t-1）2+1当t=1时，SBCN的最大值为1。41（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC 全品中考网 （1）点A的坐标为_ ，点C的坐标为_ ； （2）线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形?
18、若存在，求出所有符合条件的点E的坐标； （3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?42（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） （1）设抛物线的解析式为： 由题意得： 抛物线的解析式为： （2）存在 l抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条
19、件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B （-2, 0） 在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = C （1, ）设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得： 解得： 切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点由 解得： 点P的坐标为：， 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l（如图）得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满
20、足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点P共有4个：，43（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、解之，得所求抛物线的表达式为 （2）当AB为边时，只要PQ/AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时，将合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。而当x=4时，此时当AB为对角线时，
21、只要线段PQ与线段AB互相平分即可，又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3，而当x=2时，y=-1，此时P3（2，-1）综上，满足条件的点44（2010四川内江）如图，抛物线ymx22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.M（1）ymx22mx3mm（x22x3）m（x1）24m,抛物线顶点M的坐标为
22、（1，4m）2分抛物线ymx22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，当y0时，mx22mx3m0，m0，x22x30，解得x11，x,23，A，B两点的坐标为（1,0）、（3,0）.4分（2）当x0时，y3m，点C的坐标为（0，3m）,SABC|3（1）|3m|6|m|6m，5分过点M作MDx轴于D，则OD1，BDOBOD2，MD|4m |4m.DNSBCMSBDM S梯形OCMDSOBCBDDM（OCDM）ODOBOC24m（3m4m）133m3m，7分 SBCM：SABC12.8分（3）存在使BCM为直角三角形的抛物线. 过点C作CNDM于点N，则CMN为Rt，CNOD1，DNOC3m,
23、MNDMDNm,CM2CN2MN21m2， 在RtOBC中，BC2OB2OC299m2，在RtBDM中，BM2BD2DM2416m2.如果BCM是Rt，且BMC90时，CM2BM2BC2,即1m2416m299m2，解得mm0，m.存在抛物线yx2x使得BCM是Rt;10分如果BCM是Rt，且BCM90时，BC2CM2BM2.即99m21m2416m2，1,m0，m1.存在抛物线yx22x3使得BCM是Rt;如果BCM是Rt，且CBM90时，BC2BM2CM2.即99m2416m21m2，整理得m2，此方程无解,以CBM为直角的直角三角形不存在.（或99m21m2，416m21m2，以CBM为直角的直角三角形不存在.）综上的所述，存在抛物线yx2
