1、a两角的互余关系；二是二倍角公式的正确记忆及应用第 2题易忽略角的配凑技巧，而利用两角和与差公式直接展开，结合同角基本关系式 1 = sin 2 e + COS2 e而错选C.热点2正弦定理、余弦定理1. 利用正、余弦定理解三角形的思路（1） 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个 定理都有可能用到；（2） 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角 形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、 统一函数、统一结构
2、”.2. 利用正、余弦定理判断三角形形状的两种常用途径（1） 角化边：通过正弦、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关 系进行判断；（2） 边化角：通过正弦、余弦定理化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系 进行判断.3. 与三角形面积有关问题的解题思路（1）先转化：根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化 边或化角；1 1（2） 再选面积公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积 S= 2absin C= acsin B1 =bcsin A;（3） 后求值：若求值可根据条件直接求出，若求最值，注意根据条件常利用基本不等式求最值.1. （2018
3、 全国卷川） ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, 6若厶ABC的面积为2 . 2 2，则 c=（）4nB.3A.2c.答案由余弦定理 a2 + b2 c2= 2abcosC,所以 sin C= cosC.因为C （0 ,n ），所以C=4，故选C.2. 在厶ABC中，内角 A B, C所对的边分别是 a, b, c,若c acosB= （2 a b）cos A,则厶ABC的形状为（ ）A.等腰三角形C.等腰直角三角形B.直角三角形D.等腰或直角三角形答案 D解析 / c acos B= （2 a b）cos A, C=n （A+ B），由正弦定理得，sin C sinAcosB=
4、2sin AcosA sin BcosA,sin（ A+ B） sin AcosB= 2sin AcosA sin BcosA,得 2cosAsin B= 2sin AcosA,- cosA= 0 或 sin B= sin A, A= 或 B= A或 B=n A（舍去）， ABC为等腰或直角 三角形.故选D.3. （2018 浙江高考）在厶ABC中，内角 A B, C所对的边分别为a, b, c,若a= .7, b= 2, A= 60,贝H sin B= , c = .答案弓3解析由正弦定理sn_=岛，得J =聶，所以sin 8=弓2亠 b2 + c2 a2 1 4 + c2 7由余弦定理，c
5、osA= 2bc 得2= 4C ，所以C = 3.1. 第1题易错在三角形面积公式的选择和余弦定理的正确运用上.2. 应用正、余弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误， 如第2题易忽略cosA= 0的情况而错选A.3. 第3题在求边c时，如果选用正弦定理易由于运算量过大而导致出错， 恰当的选择余弦定理可简便求解热点3正、余弦定理的实际应用解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤：（1） 分析：理解题意，分清已知与所求，画出示意图尤其要理解题中的有关名词、术 语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；（2） 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解三角形的数学模型；
6、（3） 求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（4） 检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出实际问题 的解.1. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOBC是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO的小路CD已知某人从 0沿0D走到D用了 2分钟，从D沿DC走到C用了 3分钟.若此人步行的速度为每分钟 50米，则该扇形的半径为 米.答案 50 ,7解析 连接OC由题意知 CD= 150米，OD= 100米，/ CD 60 .在厶CO曲，由余弦定理得 OC= CD+ oD- 2CD- OD cos 60。，即卩 OC= 50
7、 ,7.2. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从 A出发有一条南偏东 35走向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路B处有一个人正沿着此公路向 A走去，走20 km到达D,此时测得CD距离为21 km,若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为 km/h.答案 45解析 由已知得/ CAB= 25+ 35= 60, BC= 31, CD= 21, BD= 20,可得 cosB=bC+bD-cD2BCX BD, BCSin B于是在 ABC中，AC= sin z ca= 24,在厶 ABC中, bC= aC+ aB 2AC- ABCos60, 即卩 31 = 24 + AB
8、 24AB 解得 AB= 35或 AB= 11（舍去），因此 AD= AB- BD= 35 20= 15.1故此人在D处距A处还有15 km，若此人必须在 20分钟，即3小时内从D处到达A处,则其最小速度为 15- 3 = 45（km/h）.理解题中方向角的概念，第 2题易概念不清楚而导致出错真题自检感悟1.（2018 全国卷川）若 sin a = 3,贝U cos2 a =（ ）2 2 7解析 由公式可得 cos2 a = 1 2sin a = 1 -=-.故选B.2. （2017 山东高考）在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若厶ABC为锐角三角形，且满足 sin B
9、（1 + 2cosC） = 2sinAcosC+ cosAsin C,则下列等式成立的是 （ ）A. a=2b B. b= 2aC.A= 2B D. B= 2A解析 t等式右边=sin Acos C+ （sin AcosC+ cosAsin C）=sin AcosC+ sin（ A+ C） = sin AcosC+ sin B,等式左边=sin B+ 2sin Bcos C, sin B+ 2sin BcosC= sin AcosC+ sin B由 cosC 0，得 sin A= 2sin B.根据正弦定理，得 a= 2b.故选A.3. （2019 全国卷n ） AABC的内角A, B, C的
10、对边分别为 a, b, c.若b= 6, a = 2c, B则厶ABC的面积为 .答案 6 3解析 由余弦定理得 b2 = a2+ c2 2accosB., n 2 2 2 1又 b= 6, a = 2c, B= 36 = 4c + c 2 X2 c x -,3 2 c = 2 3, a= 4 3,-Saabc pa B= 2x43 X2 3 x = 6 . 3.4. （2017 浙江高考）已知 ABC AB= AC= 4, BC= 2.点D为AB延长线上一点，BD= 2 ,连接D则厶BDC勺面积是 , cos / BD（ .答案乎严解析 解法一：依题意作出图形，如图所示，/ DB（ sin
11、/ ABC由题意知 AB= AC= 4 , BC= BD= 2 ,由余弦定理得aB+bC aC cos / AB（= 2AB- BC2 2 2=4 + 2 4 = 1 =2X4X2 =4,则 sin / DBG sin / AB（= ,所以 &bdc= BC- BD- sin / DBC1 15 152X 2X =.厂, 1因为 cos / DBC= cos / ABC= 一bD + bC- cD_ 8-cD =2BD- BC = -8所以CD= 10.4+ 10- 4 F0由余弦定理，得 cos / BD（= =-.2X 2X10 4解法二：同解法一得 cos/ ABC= 4, Sbdc=
12、2.cos / BDC=因为BD= BC= 2，所以/ BDC=咕 ABC贝V1 + cos / ABC 10 4 .专题作业、选择题1.下列各式中，值为2 n . 2 nB.乜-sin 乜tan22 .51 2 n4，排除 A cos - sin2 n n 3乜=cos =三，排除B;s 2：驾 5。= 1 知1 -tan 22.5，排除C;由tan45 D.1 - tan 222.5的图象如图，若f （Xi） = f （X2），且XlM X2，则f（Xl+ X2）的值为（ ）A. _3 B. .2C. 1 D. 0答案 C3T 2 n n 2 n解析 由图象得 = 12，二 T=n, 3
13、=t = 2,_,2n 2 n 4 n 4 n 3 n图象过点 -3，一 2 , - 2sin x 2+ 0 = 2sin + 0 = 2,得 + 0 =+ 2k n（ k Z）,0 = + 2kn（ k Z）, f （x） = 2sin 2x +石+ 2kn = 2sin 2x +百，由图象可知，函数f （X）的一条对称轴为n T n n nx=石+ 46，又f（X1）=f（X2），由 X1+yx2=，得 f（X1+X2） =fn n _ ,4.（2019 晋城一模）若|sin0 | + |cos则 sin 4 0 + cos4 0 =（2sin 2x7 +石=1，故选 C.17C.8D.3
14、解析 将|sin 0 | + |cos 0 | =甘两边平方得,1 + |sin2 0 | = 4,a |sin2 0 | =1,sin 40 +cos40 = 1 -2sin 20 cos20= 1-2sin 2 0 =冠故选 B.5. 函数f（x） = （1 cos2x） cos2x, x R,设f（x）的最大值是 A,最小正周期为 T,则f （AT）的值等于（C. 1D. 0解析 T f （x） = （1 cos2x）cos 2x= （1 cos2x）1 + cos2x = 2（1 cos22x）1 + cos4x 1 11 = ： cos4x+二.2 4 4当 cos4x = 1 时，
15、A= f（x）max= 2, T=普=.:.f（AT） = f = cos n + 4 = 2.故选 b.4 4 4 26. BC= 1, AG= 5,则 AB=（2018 全国卷 n ）在厶 ABC中, cosC=-B. 30A.4 2D. 2 5A.1 Ba= 1,asin A A= 3, b= 1,F ABC为等边三角形, S= 2absin 0-4?.故选 b.9.（2019 重庆巴蜀中学期中 ）已知f（x） = sin（ x+B ）其中 0, 0,三召-x，将f（x）的图象向左平移石个f （ X1）= f （ X2）= 0, |xi X2| 的最小值为,f （x） = f单位长度得g
16、（x），则g（ x）的单调递减区间是（k n+ - （k .Z）2n+石,k1 3（k Z）5 n3,+ 67n12 ,1 127tA.C.D.解析 t f （x） = sin（ 3x+ 9 ）其中 co 0,由f（ Xi） = f（X2） = 0可得xi, X2是函数的极值点,n 1 n nT | X1 X2| 的最小值为 ,-T= =t,2 2 2- = 2, f（ x） = sin（2 x+ 9 ）,又 f（x） = f 亍x , f （X）的图象的对称轴为 X = _6 ,n n 亠 n 2X 6 +9= kn + 2, k Z,又 9 0,n , 小 n 9 = , f （x） =
17、sin 2x + 石.将f（x）的图象向左平移n个单位长度得6n n 亠g（x） = sin 2 x+ +石 =cos2x 的图象，令 2k nW2xW2kn + n, k Z , kn X,=迹/ sin（ cos（4 ,10百0 ,310 一 10又 3 n,3n,且 3一 a5 -=cos2 a + （ 3 a ） = cos2 a 3 .10 - 5 ,10 .2z- X = _ .3）-cos（3 a ） sin2a sin（ 3 a ）5 10T 2 a ,3=故选11. ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,卄 衣2c ,右 cos C= , bcosA+ acos B=
18、2 ,则厶ABC的外接圆面积为（A.4 nD . 36 nT bcosA+ acos B= 2,由余弦定理可得,2 2+ c a + a 2bc整理得c= 2,又T2 2 . 2a + c b = 2 ,c 22 cosC= 3 , sin C= . 1 cos 2C=1 ,设厶ABC的外接圆的半径为 R,则2R= 、=丁= 6,. R= 3. :, ABC勺外接圆面积 S=sin C 1n R = 9 n .故选 C.12. （2019 南关区校级期末）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一一蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷某数学兼艺术爱好者对
19、蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 A, C处作圆弧的切线，两条切线交于 B点，测得如下数据： AB= 6.9 cm ,BC= 7.1 cm , AC= 12.6 cm，根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间 （ ）n 5 nC.亍乜解析 取 AB= BO7,设/ ABC= 2 0 ,n 3 n 2 n 3 n3，三，20 T，7设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 a ,则a + 2 0 = n,二an n ,3 .故选b.二、填空题13. （2019 陕西四校联考 ）已知sin a = 2co
20、s a，贝U cos2 a答案3cos a sin a2 . 2 =sin a + cos a1 tan a 1 42 tan a +1 4 + 1解析 由已知得 tan a = 2, cos2 a = cos a sin a14. （2018 全国卷 n ）已知 sin a + cos 卩=1, cos a + sin （3 0，贝U sin（ a + 卩）因为 sin a + cos卩=1, cos a + sin卩=0,所以（1 Sin a ） + （ cos a ） = 1 ,所以 sin a = 2，cos 卩=2,15.在厶 ABC中, AD是 BC边上的中线，/ ABD=-6.若
21、 AB=（3BD 则/ CAD= 若AC= 2AD= 2，则厶ABC的面积为 答案才3解析 设 BD= m 则 AB=Q3m BC= 2m 根据余弦定理， aD= aB + bD 2AB- BDcos/ ABD= m，aC= aB + bC 2AB- Bos / ABD= mi，二 AD= DC= AC= m 即厶 ACD是正三角形，二n 1/ CAD=.记厶ABC的三内角/ BAC / ABC / ACB所对的三条边分别为 a，b, c，贝U BD= -a，由余弦定理可得， AD= AB+ bD 2AB- BOios / ABD： 1 = c2+ *a 2 ac,即卩 4= 4c2+ a2
22、23ac，又 aC= aB + bC 2AB BCbos / ABC 4 = c + a 3ac,于是，4c + a 3ac =c2 + a2 3ac，: a= ,3c,代入 c2 + a2 , 3ac= 4 可得 c= 2, a = 2 , 3,： Sbc= acsin /ABC= 3.16.（2019 潍坊模拟）校运动会开幕式上举行升旗仪式， 旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和30第一排和最后一排的距离为 10 ,6 m（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s ,升旗手应以 m/s的速度匀速升旗.答案 0.6解析 依题意可知/ AE（= 45, / ACE= 180 60 15= 105, ：/ EAC= 18045 105= 30由正弦定理可知CE = ACsin Z EAC sin Z CEAAG=CEsin / EAC Sin在 Rt ABC中, AB= AC- sin/ ACB= 20 3X=30 m.国歌时长为50 s ,30升旗速度为百=0.6 m/s.50
