1、它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变量的变化下的不变性。如果这些变量随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性。数学上,利用群论来研究对称性。,对称性的性质,对称性可以是分离的（具有有限的数目）例如:八面体分子的转动、分子的转动与反射、晶格的平移。也可以是连续的（具有无限的数目）例如:原子或核子的转动。对称性可以是更一般的和抽象的，如与规范理论相关的对称性。,对称性分类,自然界的四类对称性:（1）全同粒子的互换（2）连续时空变换,如平移,旋转和加速（3）分立变换,如空间反演,
2、时间反演,粒子-反粒子共轭（4）规范变换,如U（1）（电荷,超荷,重子数和轻子数守恒）,SU（2）（同位旋）和SU（3）（色和味）对称对称性都是植根于某些物理量是不可观测的假设,不可观测量存在的直接后果是出现守恒律或选择定则.相反,一旦一个不可观测量变成可观测的,对称性就破缺了.,对称性与守恒定律,物理系统的每一个对称性都有相对的守恒定律-诺特定理。反过来说：物理系统有某守恒性质就代表它具有相应的对称性。例如，空间位移对称造成动量守恒。而时间平移对称造成能量守恒：为何过去和现在事物运动的规律是相同的？那是因为运动规律在时间平移的变动中能够保持不变。,对称破缺,对称性破缺（symmetry br
3、eaking）系指物理学里，在具有某种对称性的物理系统之临界点附近发生的微小振荡，通过选择所有可能分岔中的一个分岔，打破了这物理系统的对称性，并且决定了这物理系统的命运。,自发对称性破缺,自发对称性破缺（spontaneous symmetry breaking）描述物理系统的拉格朗日量或哈密顿量具有某种对称性，但是物理系统的最低能量态（真空态）不具有此种对称性。通常，这种对称性破缺会具有一种有序参数。,自发对称性破缺,对称破缺与Goldstone 定理,与对称性破缺相关的一个结论是Goldstone 定理:它是指在具有连续对称性破缺的相对论量子场论中必然存在无质量的粒子-Goldstone玻
4、色子。在固体理论中,Goldstone玻色子是集团激发的声子。晶体只有离散的平移对称性，破缺了连续的平移对称性。周光召先生:“对称性和对称破缺是世界统一性和多样性的根源”,生命起源中的对称破缺：DNA,左右镜像对称破缺！,右手双螺旋A-DNA、B-DNA,左手双螺旋Z-DNA,艺术中的对称性破缺维纳斯女神,向日葵梵高 1888（荷兰）,自然界中的对称破缺,凝聚态中的对称性破缺,凝聚态物质世界大多数是对称破缺的产物:晶体是平移对称破缺的产物（原子位置的周期性破坏了任意平移的不变性）;空间反演对称性的破缺产生了铁电体;时间反演对称性的破缺产生磁有序结构;规范对称性的破缺产生了超流体与超导电体.,序
5、参数,序参量:低温有序相的一个标志,描述偏离对称的性质和程度.为某个物理量的平均值,可以是标量,矢量,复数或更加复杂的量，是一个局域的量.随对称性的不同,它在高温时为零,而低温下取有限值,在Tc处转变.对称破缺意味着序参量不为零的有序相的出现.,相变和临界现象,相变:定义：一个多粒子系统在不同的温度和压强或其他外部条件下可以处在不同的状态,不同状态之间的转变叫相变.相变的分类标志:热力学势及其导数的连续性.热力学势:自由能,内能一阶导数:压力（体积）,熵（温度）,平均磁化强度等二阶导数:压缩系数,膨胀系数,比热,磁化率等.,一级相变或不连续相变:热力学势连续,一阶导数不连续的状态突变,二级相变
6、或连续相变:,热力学势和一阶导数连续,二阶导数不连续的状态突变,连续相变理论：平均场理论（唯象理论）平均场理论:被多次发明的理论1873:van de Waals 气液状态方程1907:Wiess 铁磁相变的“分子场理论”1934:二元合金有序-无序转变的Bragg-Williams近似1937:Landau 相变理论,Landau的二级相变理论,Landau的二级相变理论:强调对称性的重要性,对称性的存在与否是不容模棱两可的，高对称性相中某一对称元素突然消失，就对应于相变的发生，导致低对称相的出现。核心：对称破缺特例：连续相变不存在对称性上的差别（汽-液相变）对于没有破缺对称性的系统，应选取
7、某个对相变点上下两相之间的差别敏感的量与它在相变点的差别为序参量。,（1）自由能作为序参量的函数。序参量：标量、矢量、张量或复数。：矢量，在相变点，将自由能展开：,Landau的二级相变理论Formula,不含奇次幂项要求：高于相变温度时，0使系统自由能达到极小；低于相变温度时，使系统自由能达到极小。能取到极小值表明：,（2）因子使自由能达到极小，,使自由能达到极小，,连续变化要求，,（3）有序和无序：将自由能F对取极小,F,是出现极小值的唯一解，对应无序态!上述方程有非零解,对应有序态!F,（4）点,均为温度的缓变函数,（不参与求导）比热在相变温度点不连续：,传统凝聚态物理中的对称破缺现象,
8、Landau Fermi Liquid Theory,Fermi 气体：均匀的无相互作用的自由电子气。,较强关联下，电子系统被称为电子液体或费米液体或Luttinger液体（1D）,费米温度：,均匀的无相互作用的三维系统，费米温度：,费米简并系统：费米子系统的温度通常远低于费米温度室温下金属中的传导电子,Landau Fermi Liquid Theory,The key ideas behind Landaus theory are the notion of adiabaticity and the exclusion principle.Consider a non-interactin
9、g fermion system（a Fermi gas）,and suppose we turn on the interaction slowly.Landau argued that in this situation,the ground state of the Fermi gas would adiabatically transform into the ground state of the interacting system.By Paulis exclusion principle,the ground state of a Fermi gas consists of f
10、ermions occupying all momentum states corresponding to momentum ppF with all higher momentum states unoccupied.As interaction is turned on,the spin,charge and momentum of the fermions corresponding to the occupied states remain unchanged,while their dynamical properties,such as their mass,magnetic m
11、oment etc.are renormalized to new values.Thus,there is a one-to-one correspondence between the elementary excitations of a Fermi gas system and a Fermi liquid system.In the context of Fermi liquids,these excitations are called quasi-particles”.,朗道费米液体理论：单电子图象不是一个正确的出发点，但只要把电子改成准粒子或准电子，就能描述费米液体。准粒子遵从
12、费米统计，准粒子数守恒，因而费米面包含的体积不发生变化。假设激发态用动量表示,朗道费米液体理论的适用条件：（1）.必须有可明确定义的费米面存在,（2）.准粒子有足够长的寿命,朗道费米液体理论是处理相互作用费米子体系的唯象理论。在相互作用不是很强时，理论对三维液体正确。二维情况下，多大程度上成立不知道。一维情况下，不成立。Luttinger液体一维：低能激发为自旋为1/2的电中性自旋子和无自旋电荷为的波色子的激发。Luttinger液体非费米液体行为：与费米液体理论预言相偏离的性质。,凝聚态中的新发展,量子霍尔效应（IQH,FQH）的发现完全出乎人们的意料，揭开了凝聚态发展的新篇章。这些新奇的量
13、子态在零温或者低温时包含了许多对称性相同而本质又不同的态。所以这些相就不能用对称性加以区分，故也不能用朗道对称破缺理论描述。这时，描述体系的相更多的依赖整体的性质，而不是local的序参 量。引入了拓扑的概念。如symmetry protected phases（SPT），包括拓扑绝缘体，拓扑超导体，拓扑半金属等。,电子在电磁场中的运动（经典）,运动方程等式左边第一项是加速度项，第二项是碰撞项；右边是电子受到的Lorenz 力。当磁场B平行于z轴时，上述运动方程如下：对于静电场中的稳态，时间导数为0，于是漂移速度为,回旋共振频率。,霍尔效应（Hall effect）by Ed当w施i加n了外H
14、磁a场lBl的i导n体1中8通7过9传导电流j,时,将会产生横跨导体两个面的电场，其方向为jxB，该电场称为Hall电场。如右图，x方向的电流，z方向的磁场。y方向不能传导电流，则vy0。则有如下横向（Hall）电场：,漂移速度刚建立,漂移速度稳恒,所谓的Hall系数如下定义：,所谓的Hall系数如下定义，并利用jx=ne2tauEx/m：对于电子，取负号。可用于载流子浓度测量，种类测定（h or e？）,霍尔效应（Hall effect）,利用上面的漂移速度公式，可以得到如下的静态电流密度表达式：,其中的系数即为静态磁致电导率张量。在强磁场下，wc*tau1，Hall电导率如下,此时，Hal
15、l电导率反比于磁场。磁导率为,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,（近）自由电子在磁场中的量子理论,量子霍尔效应（QHE）by Klaus von Klitzing in 1980,在低温、强磁场、高样品质量,B,电导呈现极其高精度的整数平台。the von Klitzing constantRK=h/e2=25812.807557（18）.被用作电阻标准。用于测量精细结构常数e2/hc.要解释
16、为什么会有如此高精度的量子化电导平台（即使在有一些杂质的情况下），这就涉及了本课程的重点：几何相位，拓扑能带理论的知识。,播放动画,Geometric angle and parallel transport,v never rotates about e3 parallel transport:,Wave function,parallel transport:,Gauge covariant derivative:,Geometric angle 和傅科摆,Parallel transport of a vector arounda closed loop（from A to N to B
17、 and back to A）on the sphere.The angle by which it twists,alpha,is proportional to the area insidethe loop.,傅科摆,傅科摆摆动平面偏转的角度：=15*t*sin代表当地地理纬度，t为偏转所用的时间，用小时作单位,播放动画,Berry phase:General formalism,Q23454r,Several remarks:,Equation（2.12）includes only the eigenstate|n and its derivatives,but Equation（2.
18、15）shows that the Berry curvature can be thought of as the result of the interaction with the level|n of the other levels|m that have been projected out by the adiabatic interaction.If we sum over the Berry phase of all energy levels,we get 0,showing that the sum of all bands can have only zero Berr
19、y phase（Homework）.The current formalism is valid for the case where the level En is singly degenerate.For degenerate energy levels,the Berry vector potential becomes a matrix of dimension equal to the degeneracy of the levels it becomes non-Abelian.,One of the most important applications of the Berr
20、y phase is the classification of degeneracies.This will be one of the main ingredients of band crossings in topological band theory.If the denominator of Equation（2.15）is close to zero,we now show that this level degeneracy point corresponds to a monopole in the parameter space.If there is a monopol
21、e,what are the forms of the Maxwell equations?（Homework）,Example:two-level system,Two-Level System Using the Berry Curvature,General case,1,Two-Level System Using the Hamiltonian Approach,If C enclose the monopole,Berry phase=+/-2*pi;If C does not,Berry phase=0.,Spin in a Magnetic Field,The Berry ph
22、ase is the flux through the area bounded by C of a monopole of strength n located at the origin of the degeneracy.The Berry phase is equal to n times the solid angle that the closed contourC subtends at B=0.For half-integer spin fermions（n=（2m+1）/2）,a whole turn of B（i.e.,a rotation through 2p,in a
23、plane）gives X=2p,which in turn gives exp（icn（C）=1.Hence,for half-integer spin fermions,the sign change of spinors from a 2*pi rotation and the sign change of wavefunctions around a degeneracy point of a two-level system have identical origin.,Can the Berry Phase Be Measured?,No physical property is
24、experimentally interesting if it cannot be measured.Experimental setup:Split a beam of particles,all prepared in a definite spin state n in two paths.On onepath,B is constant,whereas on the other path B is constant in magnitude,but its direction slowly varies around a closed path C subtending a soli
25、d angleAfter passing through this field configuration,the two beams are combined at detector.The dynamical phase factor is identical between the two beams because the energyEn（B）depends only on the magnitude of B which is the same.The beam that has undergone the B change acquires a Berry phase.The i
26、ntensity of the diffraction patterns will beThe intensity variation can be measured as the magnetic field is slowly varied to undergo the path C.,Can the Berry Phase Be Measured?AB effect,Anomalous velocity,Effective dynamics of Bloch electron,Duality betweenReal and Momentum Spaces,k-space curvatur
27、e,r-space curvature,Time reversal symmetry,Spinless case,Time Reversal in Crystals for Spinless Particles,Spinful case,Kramers Theorem,=,backscattering is forbidden,Time-Reversal Symmetry in Crystals for Half-Integer Spin Particles,Vanishing of Berry Phase（Hall Conductance）for T-Invariant Fermions,B
28、erry curvature:,odd function,The Nobel Physics laureates in 1933,linear dependence of momentum,Square dependence of momentum,一般认为：前者适用于固体材料，后者适用于高能物理。真是这样的吗？,The Nobel Physics laureates in 1933,linear dependence of momentum,Square dependence of momentum,一般认为：No！,2D massless Dirac equation in graphen
29、e,The low-energy effective model is 2D massless Dirac equation!,Dirac comes back！,不仅graphene的低能物理遵循 Dirac 方程；其它二维材料，如硅烯、锗烯、锡烯；最近凝聚态物理出现的拓扑绝缘体；拓扑半金属5.这些都需要用 Dirac 方程来描述！,Review of Dirac Equation,in,Energy spectrum,By Taylor expansion of the dispersion relation E=root（m2c4+p2c2）mc2+p2/2m for small momentum p（i.e.,low-energy limit）,we can get the Schrodinger Equation.,Dir
