1、2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二 先做后对答案2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二（时间：120分钟 满分：150）姓名_一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设，则的值为_2若，则的取值范围是_3设，在这些函数中，周期函数的个数是_4已知、是两个相互垂直的单位向量，而，；则对于任意实数，的最小值是_5设有两个集合：，则_6已知数列，满足，且，则_7设函数，则_8设命题：和命题：对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是_9在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2014个等边三角形的边
2、长是_10根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定假定机器人行走速度为每分钟10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是_二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11设双曲线的左、右焦点分别为、，若的顶点在第一象限的双曲线上移动，求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹12设，定义：；（1）求的最小值；（2）在条件下，求的最小值；（3）在条件下，求的最小值，并加以证明13设、分别为锐角的外心和垂心，在上截取，在上截取；求证：等于外接圆半径14在一次实战军事演习中，红方的一条直线防
3、线上设有20个岗位为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案一、填空题：1设，则的值为_解：令，得；（1）令，得 ； （2）令，得 ； （3）（2）（3）得 ，故，再由（1）得 2若，则的取值范围是_解：设 ，；又由 ，故 ；因此有，即；由于，所以有，即3设，在这些函数中，周期函数的个数是_解：是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数；因为是以为周期的周期函数，是以为周期的周期函数，
4、而与之比不是有理数，故不是周期函数不是周期函数；因为是以为周期的周期函数，是以为周期的周期函数，而，故是周期函数不是周期函数；因此共有2个周期函数4已知、是两个相互垂直的单位向量，而，；则对于任意实数，的最小值是_解：；当时，所以所求的最小值为125设有两个集合：，则_解：由已知可以解出，故6已知数列，满足，且，则_解：由，推出；因此有：即有；从而可得：7设函数，则_解：令，得；把改为得： （1） （2）联合（1）（2）消去 ，可得8设命题：和命题：对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是_解：命题成立，可得：； 命题成立，可得：；因此，要使命题和命题有且仅有一个成立，实数的取值范围是9在
5、轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是_解：设第个等边三角形的边长为；则第个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为：，再从第个等边三角形上，又可得的纵坐标为：；从而有：，即有；由此可得： （1）以及： （2）（1）（2）即得：，变形可得，由于，所以；在（1）式中取，可得，而，故；因此第2014个等边三角形的边长为10根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定假定机器人行走速度为每分钟10米，则行走2分钟时，
6、机器人所在位置的可能范围的面积是_xyAP(x，y)O解：如图，设机器人行走2分钟时的位置为；设机器人改变方向的点为，；则由已知条件有：，以及，所以有：；即所求平面图形为弓形，其面积为平方米二、解答题11设双曲线的左、右焦点分别为、，若的顶点在第一象限的双曲线上移OPyxABGHK动，求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹解：如图，记双曲线在轴上的两顶点为，；为的内切圆在边上的切点，为的内切圆在边上的切点，为的内切圆在边上的切点；则有 5分由双曲线的定义知，必在双曲线上，于是与重合，是定点而；根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧
7、- 10分因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是；即：；故点的轨迹方程为（极坐标形式），（） - 15分也可以用直角坐标形式由于与重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为：（） - 20分12设，定义：；（1）求的最小值；（2）在条件下，求的最小值；（3）在条件下，求的最小值，并加以证明解：（1）- 5分（当时，取到最小值）（2）；（当时，取到最小值）-10分（3）因为所以； （当时，取到最小值）-20分每小题指出什么时候取到，5分13设、分别为锐角的外心和垂心，在上截取，在上截取；求证：等于外接圆半径证明：设的外接圆的半径为，易知：；由余弦
8、定理：故等于外接圆半径14在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？解：设20个岗位按先后排序为1，2， ，20，且设第种新式武器设置的序号为：；令，则有 （*）其中， - 5分作代换：，从而有，（*）其中 - 10分以下求解问题（*）:方法一：设为的正整数解的全体，为中满足的解的全体；则；上式成立的原因是，因为没有同时满足，的的正整数组所以， - 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于 - 20分方法二 ：问题（*）的解数等于展开式中的系数；而，故只须求展开式中的系数因此的系数为 6152020615 580 - 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于 - 20分9
