1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）棱锥的体积，其中为底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（2012年江苏省5分）已知集合，则 【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。2（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分
2、层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。3（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由得，所以， 。4（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k循环前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5 最终输出结果k=5。5（2012年江苏省5分）函数的定义域
3、为 【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。6（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。7（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形
4、，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。由8（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。9（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。 ，。 记之间的夹角为，则。 又点E为BC的中点，。 。 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的
5、值为 【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。 联立，解得，。11（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。12（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】圆C的方程可化为：，圆C的圆心为，半径为1。由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即。即为点到直线的距
6、离，解得。的最大值是。13（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即， 。 解得，。不等式的解集为，解得。14（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为：。 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围。 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须。 的最小值在处，为。此时，点在上之间。 当（）对应点时， ， 的最大值在处，为7。 的取值范围为，即的取值范围是。二、解答题：本大题共6小
7、题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（2012年江苏省14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。16（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：
8、（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。（lb ylfx） 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 （2）要证直线平面，只要证平面上的即可。17（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点
9、的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，（不考虑另一根）。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。18（2012年江苏
10、省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，
11、于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）
12、由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。19（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。 （ii）证明：，即。 。 由点在椭圆上知，。 同理。 由
13、得， 。 是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件，用待定系数法求解。20（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
