1、高考数学试题分类汇编04三角函数三角函数1.（2020全国卷理 2）若 为第四象限角，则（ ） A. cos20 B. cos20 D. sin202.（2020全国卷文 5）已知sin + sin + =1 ，则sin + = （ ） 3 6 A.1 2 B. 3 3 C.2 3D. 2 23.（2020全国卷理 7、文 7）设函数 f (x) = cos( x + ) 在-, 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正6周期为（ ） A. 10 947 B. 63C. D. 3 24.（2020天津 8）已知函数 f (x) = sin x + 给出下列结论： 3 f (x) 的最小正周期为2
2、 ； 2 f 是 f (x) 的最大值； 把函数 y = sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y = f (x) 的图象 3其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 5.（2020全国卷理 9）已知 (0, ) ，且3cos2 - 8cos = 5 ，则sin = （ ） A. 5 B. 23 3C. 1 D. 536.（2020全国卷理 9）已知 2tantan(+ 49)=7，则 tan=（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 227.（2020全国卷理 7）在ABC 中，cosC=3，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A.1 9B.1 3C.1
3、 22D.2 38.（2020全国卷文 11）在ABC 中，cosC=553，AC=4，BC=3，则 tanB=（ ） 55A. B. 2C. 4D. 89.（2020山东 10、海南 11）（多选）下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （ ） A. sin(x + ） B.3sin( - 2x) 3C. cos(2x + ） D.6cos( 5 - 2x) 610.（2020江苏 8）已知sin2 (4+ )= 2 ，则sin 2 的值是 .311.（2020浙江 13）已知tan = 2 ，则cos 2 = ； tan( -2) = 412.（2020全国卷文
4、13）若sin x =- ，则cos 2x = 313.（2020江苏 10）将函数 y= 3sin(2x ) 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近4 6的对称轴的方程是 .14.（2020北京 14）若函数 f (x) = sin(x + ) + cos x 的最大值为 2，则常数 的一个取值为 315.（2020全国卷理 16）如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC=1， AB = AD = ，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB= .16.（2020山东 15、海南 16）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓
5、圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC= 3 ， BHDG ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和5EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 717.（2020全国卷文 18） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150.（1）3若 a=c，b=2，求 ABC 的面积； （2）若 sinA+sinC= 2 ，求 C.321318.（2020天津 16）在 ABC 中，角 A, B, C
6、 所对的边分别为a, b, c 已知 a = 2 2,b = 5, c = （）求角C 的大小； （）求sin A 的值； （）求sin 2 A + 的值 4 19.（2020全国卷文 17）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知5cos2 ( + A) + cos A = 2 4（1）求 A； （2）若b - c =3 a ，证明：ABC 是直角三角形 320.（2020全国卷理 17） ABC 中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC.（1）求 A； （2）若 BC=3，求 ABC 周长的最大值.21.（2020浙江 18）在锐角ABC 中，角 A，B，C
7、的对边分别为 a，b，c，且2bsin A =3a （I）求角 B； （II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围 22.（2020江苏 16）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知a = 3, c =（1）求sin C 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得cosADC = - 4 ，求tan DAC 的值 52, B = 45 23.（2020北京 17）在 ABC 中， a + b = 11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知， 求： （）a 的值： 1（） sin C 和 ABC 的面积 条件： c = 7, cos A = - ； 71 9
8、条件： cos A =, cos B = 8 16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 324.（2020山东 17、海南 17）在 ac = ， csin A = 3 ， c =3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在 ABC ，它的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且sin A ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 3 sin B ， C = 6 ，三角函数参考答案1.【答案】D【解析】方法一：由 为第四象限角，可得 32所以3 + 4k 2 4 + 4k ,
9、k Z + 2k 2 + 2k , k Z ， 此时2 的终边落在第三、四象限及 y 轴的非正半轴上，所以sin 2 0 ，选项B 错误； =- 6 3 当 时， cos 2 = cos - 2 0 ，选项A 错误； =- 3 3 由 在第四象限可得： sin 0 ，则sin 2 = 2sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.2.【答案】B【解析】由题意可得： sin + 1 sin +3 cos = 1， 2 2则： 3 sin + 3 cos = 1， 3 sin + 1 cos = 3 ， 2 2 2 2 3从而有： sin cos + cos sin = 3 ，
10、6 6 3 36即sin + = . 3故选：B.3.【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点 - 4 ,0 ， 9 将它代入函数 f ( x) 可得： cos - 4 + = 0 9 6 又 - 4 ,0 是函数 f ( x) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 4 3所以- + = - ，解得： = 9 6 22T = 2 = 2 = 4所以函数 f ( x) 的最小正周期为故选：C 3 324.【答案】B【解析】因为 f (x) = sin(x + 23 ) ，所以周期T = = 2 ，故正确； 5 1f ( ) = sin( + ) = sin = 1，故不正确； 2 2 3 6
11、2将函数 y = sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y = sin(x + ) 的图象， 3 3故正确. 故选：B.5.【答案】A【解析】3cos 2 - 8cos = 5 ，得6cos2 - 8cos - 8 = 0 ， 即3cos2 - 4 cos - 4 = 0 ，解得cos =- 2 或cos = 2 （舍去）， 3又 (0, ),sin = 5 .1 - cos2 3故选：A.6.【答案】D【解析】 2 tan - tan + = 7 ，2 tan - tan +1 = 7 ， 4 1- tan 1+ t令t = tan , t 1，则2t - = 7 ，整理得t
12、2 - 4t + 4 = 0 ，解得t = 2 ，即tan = 2 .1- t故选：D.7.【答案】A2【解析】 在 ABC 中， cos C = ， AC = 4 ， BC = 3 3根据余弦定理： AB2 = AC2 + BC2 - 2AC BC cos C AB2 = 42 + 32 - 2 4 3 23可得 AB2 = 9 ，即 AB = 3 AB2 + BC2 - AC2 9 + 9 -16 1由 cos B = = =2AB BC 2 3 3 91故cos B = .9故选：A.8.【答案】C【解析】设 AB = c, BC = a, CA = b c2 = a2 + b2 - 2
13、ab cos C = 9 +16 - 2 3 4 2 = 9c = 331- (1)294 5a2 + c2 - b2 15cos B = = sin B = = tan B = 42ac 9 9故选：C9.【答案】BCT 2 2 2【解析】由函数图像可知：= - = ，则 = = = 2 ，所以不选A, 2 + 2 3 6 2 T 5 3当 x = 3 6= 5 时， y = -1 2 12 + =+ 2k (k Z ) ， 22 122解得： = 2k + (k Z) ， 3即函数的解析式为： y = sin 2x + 2 + 2k = sin 2x = cos 2x + = sin -
14、2x . 3 + 6 + 2 6 3 而cos 2x + = -cos(5 - 2x) 6 6 故选：BC.110.【答案】3【解析】sin2 ( + ) = (2cos +2 sin )2 = 1 (1+ sin 2 )4 2 2 2 1 (1+ sin 2 ) = 2 sin 2 = 1 2 3 31故答案为：32 2 cos2 -sin2 1- tan2 1- 22 311.【解析】cos 2 = cos -sin = cos2 + sin2 = 1+ tan2 = 1+ 22 = - 5 ，tan( - ) = tan -1 = 2 -1 = 1 ， 4 1+ tan3 11+ 2 3
15、故答案为： - ,5 3112.【答案】9【解析】cos 2x = 1- 2sin2 x = 1- 2 (- 2)2 = 1- 8 = 1 .3 9 91故答案 ： .9513.【答案】 x =- 24 【解析】 y = 3sin2(x - ) + = 3sin(2x - )6 4 122x - 7 k= + k (k Z ) x = +12 2 24 25当 k = -1 时 x =- 245故答案为： x =- 24(k Z )p14.【答案】2（ 2k + 2, k Z 均可） cos2 + (sin +1)2【解析】因为 f ( x) = cos sin x + (sin +1)cos
16、 x = sin ( x + ) ，所以p故答案为：2（ 2k + 21= 2 ，解得sin = 1 ，故可取 = .cos2 + (sin +1)22, k Z 均可）.15.【答案】-43【解析】 AB AC ， AB = ， AC = 1 ， AB2 + AC2由勾股定理得 BC = 2 ， 66同理得 BD = ，BF = BD = ， 3在ACE 中， AC = 1 ， AE = AD = ， CAE = 30= 1+由余弦定理得CE2 = AC2 + AE2 - 2AC AE cos 30CF = CE = 1， 6在 BCF 中， BC = 2 ， BF = ， CF = 1，
17、， 3 - 213 3 = 1 ， 2CF 2 + BC2 - BF 2 1+ 4 - 6 1由余弦定理得cosFCB = = = - . 1故答案为： - .42CF BC21 2 416.【解析】设OB = OA = r ，由题意 AM = AN = 7 ， EF =12 ，所以 NF = 5 ， 因为 AP = 5 ,所以AGP = 45 ， 因为 BH / DG ，所以AHO = 45 ， 因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以OA AG ， 即OAH 为等腰直角三角形； 在直角OQD 中， OQ = 5 -2 r ， DQ = 7 -22 r ， 2因为tan ODC = O
18、Q = 3 ，所以21- 3 2 r = 25 - 5 2 r ，DQ 5 2 2解得r = 2 2 ；212等腰直角OAH 的面积为 S1 = 2 2 2 2= 4 ；( )21 3扇形 AOB 的面积 S = 2 22 4= 3 ，1 5所以阴影部分的面积为 S1 + S2 - 2 = 4 + 2 .5故答案为： 4 + .217.【解析】（1）由余弦定理可得b2 = 28 = a2 + c2 - 2ac cos150 = 7c2 ， 31c = 2, a = 2 3,ABC 的面积 S = 2 ac sin B = ； A + C =（2） 30 ， sin A +3 sin C = s
19、in(30 - C) +3 sin C= 1 cosC + 3 sin C = sin(C + 30) = 2 ， 2 2 20 C 30,30 C + 30 60 ， C + 30 = 45,C = 15.18.13【解析】（）在 ABC 中，由a = 2 2,b = 5, c = 及余弦定理得 2a2 + b2 - c2 8 + 25 -132 2 2 5cos C = = = ， 2ab 24又因为C (0, ) ，所以C ； a sin C2 2 2413（）在 ABC 中，由C ， a = 2 2, c = 及正弦定理，可得sin A = = 2 =2 13 ； 13（）由a c 知
20、角 A 为锐角，由sin A = 2 13 ，可得cos A =13c 131 - sin2 A= 3 13 ， 13进而sin 2 A = 2 sin Acos A = 12 , cos 2 A = 2 cos2 A -1 = 5 ， 13 13所以sin(2 A + ) = sin 2 Acos + cos 2 Asin = 12 2 + 5 2 = 17 2 .4 4 4 13 2 13 2 2619.【解析】（1）因为cos2 + A + cos A = 5 ，所以sin2 A + cos A = 5 ， 2 4 4 即1- cos2 A + cos A = 5 ，41解得cos A
21、= ，又0 A c ，解得b = 2c ， 所以a =3c ， 故b2 = a2 + c2 ， 即 ABC 是直角三角形20.【解析】（1）由正弦定理可得： BC2 - AC2 - AB2 = AC AB ， AC2 + AB2 - BC2 1cos A = = - ， 2AC AB 2A(0, ) ， A = 23（2）由余弦定理得： BC2 = AC2 + AB2 - 2AC AB cos A = AC 2 + AB2 + AC AB = 9 ， 即( AC + AB)2 - AC AB = 9 .AC AB AC + AB 22 （当且仅当 AC = AB 时取等号）， 2 2 AC +
22、 AB 2 3 29 = ( AC + AB) - AC AB ( AC + AB ) - = ( AC + AB ) ， 2 4解得： AC + AB 2 3（当且仅当 AC = AB 时取等号）， 3 ABC 周长 L = AC + AB + BC 3 + 2， ABC 周长的最大值为3 + 2 3 .21.【解析】（I）由2bsin A =3a 结合正弦定理可得： 2sin B sin A =p3sin A,sin B = 3 2ABC 为锐角三角形，故 B = .3（II）结合(1)的结论有： cos A + cos B + cos C = cos A + 1 + cos 2 - A2
23、 3 = cos A - 1 cos A + 3 sin A + 1 = 3 sin A + 1 cos A + 12 2 2= sin A + + 1 .2 2 2 6 2 0 2 - A 3 2由 0 A 2 2可得： A ， A + ， 6 2 3 6 3sin A + 3 1 3 +1 3 则 3 2 ,1 ， sin A + 3 + 2 2 , 2 . 即cos A + cos B + cosC 的取值范围是 3 +1 , 3 . 2 2 22.【解析】（1）由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9 + 2 - 2 32 2 = 5 ，所以b = .52由
24、正弦定理得 c= b sin C = c sin B = 5 .sin C sin B b 5（2）由于cosADC = - 4 ， ADC , ，所以sin ADC = 3 .1- cos2 ADC5 2 5 1- sin2 C2 5由于ADC , ，所以C 0, ，所以cos C = = 2 2 5所以sin DAC = sin ( - DAC ) = sin (ADC + C ) = sinADC cosC + cosADC sin C = 3 2 5 + - 4 5 = 2 5 .5 5 5 5 25由于DAC 0, ，所以cosDAC = 1- sin2 DAC1 5= 1 . 2 25sin DAC 2所以tan DAC = = .cosDAC 1123.【解析】选择条件（）c = 7, cos A = - 1 ，a + b = 11 7a = 8+ c2 - 2bc cos Aa2 = (11- a)2 + 72 - 2(11- a) 7 (- 1)a2 = b27（）cos A = - 1 ，A(0, )sin A = 4 3 1- cos2 A7 7a由正弦
