1、立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题其一般方法有：1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；ABCDEFGPOMNS2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界
2、性，以及不等式的均值定理等，求出最值轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥SABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可能的是 ( )PPPPSCDSCDSCDSCDABCD解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是SCD的中位线FG由正四棱锥可得SBAC，EFAC又EGSBEGACAC平面EFG，PFG，E平面EFG，ACPE另解：本题可用排除法快速求解B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成角，
3、显然不满足PEAC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，
4、有MN平面B1BDD1(2) 正方体ABCD A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持APBD1，则动点P的轨迹是 线段B1C (3) 正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是 线段MN(M、N分别为前右两面的中心)(4) 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1
5、)(2)(3)(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ABCDD1C1B1A1P【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( D )A A直线 B圆 C双曲线 D抛物线lABC变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)(2)(06北京)平面的斜线A
6、B交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是 (A )A一条直线B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支ABCDD1C1B1A1MP解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A(3)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=，点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹为 抛物线 ABCDD1C1B1A1MN3323(4)已知正方体ABCD A1B1
7、C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 【例4】 (04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是：( D )ABCPABCPABCPABCPABCD【例5】 四棱锥P-ABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是()A圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分PABCD分析：AD面PAB，BC平面PABADBC
8、且ADPA，CBPBAPD=CPBtanAPD=tanCPB=PB=2PA在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3，0)、B(3，0)，设P(x，y)(y0)，则(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2(y0)即(x+5)2+y2=16(y0)P的轨迹是(B)立体几何中的轨迹问题（教师版）1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D） A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义因为B1C1面AB1，
9、所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B） A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分3在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C） A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成
10、等角，则点P的轨迹有可能是（A） A圆或圆的一部分 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分5已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A） A抛物线B双曲线 C直线D圆 简析在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2
11、=PF2，从而PMPF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线6在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为_ 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹7在正四棱锥S-ABCD中
12、，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_ 答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）8若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是_（除去两点的圆）9若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D） 简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离
13、，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内只能选D10已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B） A圆B椭圆 C双曲线D抛物线 解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等11已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_ 简析以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为12已知长方体中，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是 提示轨迹的图形是一个
14、平行四边形13已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积 简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即14已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）A一个圆B两条平行直线C四个点D两个点简析：如图，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的
15、公垂线，OP=4在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点因此所求点的轨迹是四个点，故选C16在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）A圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分简析：因为面PAB，面PAB，所以AD/BC，且又，可得，即得在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）
16、设点P（x，y），则有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B17如图，定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点且，那么动点C在平面内的轨迹是（ ）A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC在内的射影为BC，所以，即所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B18如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）A直线B圆C双曲线D抛物线简析：因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等由圆
17、锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D19已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）A抛物线B双曲线C椭圆D直线简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系设P（x，y），作于E、于F，连结EF，易知又作于N，则依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B20如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB
18、的距离也是定值由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆P的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 21如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数22已知异面直线a，b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中
19、垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点由已知MN=2，AB=4，易知得则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系图6设，则消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力立体几何中的轨迹问题1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 （ ） A线段 B一段
20、椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（ ） A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分3在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（ ） A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（ ） A圆或圆的一部分
21、 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分5已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（ ） A抛物线B双曲线 C直线D圆6若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 （ ）A B C D7已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A圆B椭圆 C双曲线D抛物线8已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到
22、点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）A一个圆B两条平行直线C四个点D两个点9在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）A圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分10如图，定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点且，那么动点C在平面内的轨迹是（ ）A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点11已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）A抛物线B双曲线C椭圆D直线
23、12如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线13如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO14在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为_15在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_16若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是_17已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_18已知长方体中，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是 19已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 20已知异面直线a，b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程
