1、 考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2018湖州）已知抛物线y=ax2+bx-3（a0）经过点（-1，0），（3，0），求a，b的值【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3（a0）经过点（-1，0），（3，0），可以求得a、b的值，本题得以解决【解答】解：抛物线y=ax2+bx-3（a0）经过点（-1，0），（3，0）， ，解得， ，即a的值是1，b的值是-2【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018德州）如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a0）在同一平面直角坐标系的
2、图象可能是（）ABCD【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可A、由一次函数y=ax-a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax-a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=-0，故选项正确；C、由一次函数y=ax-a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=-0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax-a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，故选项错误故
3、选：B【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax-a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等例3 （2018新疆）如图，已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2当x2时，M=y2；当x0时，M随x的增大而增大；使得M大于4的x的值不存在；若M=2，则x=1上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）【思路分析】观察函数图象，可知：当x2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下
4、方，进而可得出当x2时，M=y1，结论错误；观察函数图象，可知：当x0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论正确；利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论正确；利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论错误此题得解当x2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，当x2时，M=y1，结论错误；当x0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，当x0时，M
5、=y1，M随x的增大而增大，结论正确；y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，M的最大值为4，使得M大于4的x的值不存在，结论正确；当M=y1=2时，有-x2+4x=2，解得：x1=2-（舍去），x2=2+；当M=y2=2时，有2x=2，x=1若M=2，则x=1或2+，结论错误综上所述：正确的结论有故答案为：【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 （2018滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴
6、交于点A、点B（-1，0），则二次函数的最大值为a+b+c；a-b+c0；b2-4ac0；当y0时，-1x3，其中正确的个数是（）A1B2C3D4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故正确；当x=-1时，a-b+c=0，故错误；图象与x轴有2个交点，故b2-4ac0，故错误；图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0），A（3，0），故当y0时，-1x3，故正确【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等
7、知识，正确得出A点坐标是解题关键考点四：抛物线的平移例5 （2018广安）抛物线y=（x-2）2-1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x-2）2-1的顶点为（2，-1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象D【点评】本
8、题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向考点五：二次函数的应用例6 （2018衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱
9、的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的
10、函数表达式为y=a（x-3）2+5（a0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，a=-，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-（x-3）2+5（0x8）（2）当y=1.8时，有-（x-3）2+5=1.8，x1=-1，x2=7，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内（3）当x=0时，y=-（x-3）2+5=设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，该函数图象过点（16，0），0=-162+16b+，解得：b=3，改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+3x+=-（x-）2+扩建改造后
11、喷水池水柱的最大高度为米【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式考点六：二次函数综合题例7（2018郴州）如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边
12、形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）过点P作PFy
13、轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c， ，解得： ，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1当t=2时，点C、P
14、关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，点P的横坐标t=12-0=2又t2，不存在（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n（m0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n， ，解得：直线BC的解析式为y=-x+3点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点F的坐标为（t，-t+3），PF=-t2+2t+3-（-t+3）=
15、-t2+3t， ，当 时，S取最大值，最大值为 点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），线段 ，P点到直线BC的距离的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ）【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t2两种情况考虑；（3）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值【备考真题过关】一、选择题1. （2018长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax
16、2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），则符合条件的点P（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无穷多个2. （2018河北）对于题目“一段抛物线L：y=-x（x-3）+c（0x3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确3. （2018青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）4. （2018临安区）抛物线y=3（x-1）2+1的顶点坐标是（）A（1，1
17、）B（-1，1）C（-1，-1）D（1，-1）5. （2018上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是（）A开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的6. （2018成都）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（）A图象与y轴的交点坐标为（0，1）B图象的对称轴在y轴的右侧C当x0时，y的值随x值的增大而减小Dy的最小值为-37. （2018宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）8. （2018白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数
18、，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）；当-1x3时，y0，其中正确的是（）ABCD9. （2018凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A4a+b=0Ba+b0Ca：c=-1：5D当-1x5时，y010. （2018恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b2-4ac0；9a-3b+c=0；若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1y2；5a-2b+
19、c0其中正确的个数有（）A2B3C4D511. （2018阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（-1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（）Aac0Bb2-4ac0C对称轴是直线x=2.5Db012（2018哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）Ay=-5（x+1）2-1By=-5（x-1）2-1Cy=-5（x+1）2+3Dy=-5（x-1）2+313（2018曲靖一模）抛物线y=2（x+3）2向右平移2个单位后，得到抛物线y=2（x-h）2，则h为（）A-1B1C-5D514（2018潍坊）已知二次函数y=-（x-h
20、）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（）A3或6B1或6C1或3D4或615（2018黄冈）当axa+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A-1B2C0或2D-1或2二、填空题16（2018广州）已知二次函数y=x2，当x0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）17（2018哈尔滨）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 18. （2018广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有 abc0方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=32a+b=0当x0时
21、，y随x的增大而减小19 （2018乌鲁木齐）把拋物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 20. （2018淮安）将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 21 （2018自贡）若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 22 （2018长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A恰好落在抛物线上过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C若点A的横坐标为1，则AC的长为 23（2018长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+m
22、x交x轴的负半轴于点A点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A恰好落在抛物线上过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C若点A的横坐标为1，则AC的长为 24（2018淄博）已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为 三、解答题25（2018宁波）已知抛物线y=- x2+bx+c经过点（1，0），（0，）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达
23、式26（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围27（2018十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）合作社规
24、定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？28 （2018福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中ADMN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值29（2018葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（
25、元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5x5.5，另外每天还需支付其他费用80元销售单价x（元）3.55.5销售量y（袋）280120（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？30. （2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN，连接MN，试确定MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；第十四讲 二次函数的图象和性质参考答案1.【思路分析】根据题意可以得到相应的不等式，
