1、用相关点法求轨迹方程 例1. 轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0) 则由M为线段AB中点,可得 即点B坐标可表为(2x2a,2y) 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式1】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】: 设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在
2、RtABP中,|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点,依垂径定理 在RtOAR中,|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 【备选题】已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(II)在轴上是否存在定点
3、,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:由条件知,设,解法一:(I)设,则则,由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时,即又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得,即将代入上式,化简得当与轴垂直时,求得,也满足上述方程所以点的轨迹方程是(II)假设在轴上存在定点,使为常数当不与轴垂直时,设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根,所以,于是因为是与无关的常数,所以,即,此时=当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,此时故在轴上存在定点,使为常数解法二:(I)同解法一的(I)有当不与轴垂直时,设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根,所以 由得当时,由得,将其代入有整理得当时,点的坐标为
4、,满足上述方程当与轴垂直时,求得,也满足上述方程故点的轨迹方程是(II)假设在轴上存在定点点,使为常数,当不与轴垂直时,由(I)有,以上同解法一的(II)【误区警示】1.错误诊断【例题5】中,B,C 坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,求点A的轨迹方程。【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10,满足椭圆的定义。令椭圆方程为,则由定义可知,则,得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。轨迹方程里应除去点,即轨迹方程为2.误区警示1:在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,因此,在
5、求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,将其剔除;另一方面,又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外,要将其“捉拿归案”。2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方法的选择。3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。【课外作业】【基础训练】1:已知两点给出下列曲线方程:;,在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是( )A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲线上存在点P满足,即要使得曲线与MN的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选D2.两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消
6、去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是 .【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时,则抛物线的顶点的轨迹方程为_。【分析】:把所求轨迹上的动点坐标x,y分别用已有的参数m来表示,然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。【解答】:抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得:故所求动点的轨迹方程为。5:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,则点M的轨迹方程为_。【分析】:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等
7、。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。【解答】:依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为1:2的点的轨迹方程为_【分析】:设动点为P,由题意,则依照点P在运动中所遵循的条件,可列出等量关系式。【解答】:设是所求轨迹上一点,依题意得由两点间距离公式得:化简得:7抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求ABC重心P的轨迹方程。【分析】:抛物线的焦点为。设ABC重心P的坐标为,点C的坐标为。其中【解答】:因点是重心,则由分点坐标公式得:即由点在抛
8、物线上,得:将代入并化简,得:(【能力训练】8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,求此双曲线方程。【解答】:设双曲线方程为。将y=x1代入方程整理得。由韦达定理得。又有,联立方程组,解得。此双曲线的方程为。9.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。【解答】:设点P的坐标为(x,y),则由题意可得。(1)当x3时,方程变为,化简得。(2)当x3时,方程变为,化简得。故所求的点P的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】:由题意分析知直线l的斜
9、率一定存在,设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程,得。因为直线和抛物线相交,所以0,解得。设A(),B(),M(x,y),由韦达定理得。由消去k得。又,所以。点M的轨迹方程为。【创新应用】11.一个圆形纸片,圆心为O,F为圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于P,则P的轨迹是( )A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆【答案】:A【解答】:由对称性可知|PF|=|PM|,则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R(R为圆的半径),则P的轨迹是椭圆,选A。(2012山东理21)(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦
10、点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为()求抛物线的方程;()是否存在点,使得直线与抛物线相切于点若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;()若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值(2012山东理科21)解:()依题线段为圆的弦,由垂径定理知圆心的纵坐标,又到抛物线准线的距离为,所以. 所以为所求.()假设存在点,又,设,.变形为因为直线为抛物线的切线,故,解得,即,.又取中点,由垂径定理知,所以,所以存在,.()依题,圆心,圆的半径, 圆心到直线的距离为,所以,.又联立,设,则有,. 所以,.于是, 记,所以在,上单增,所以当,取得最小值,所以当时,取得最小值.