1、初二数学最新教案华师大八年级数学下第17章函数及第17章函数及其图象17、1变量与函数第一课时 变量与函数教学目标 使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义，能应用方程思想列出实例中的等量关系。教学过程一、由下列问题导入新课 问题l、右图(一)是某日的气温的变化图 看图回答：1这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗? 2这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少? 3这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低? 从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(
2、)也随之变化。 问题2 一辆汽车以30千米时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s与t具有什么关系呢? 问题3 设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系问题4 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的下面是一些对应的数：波长l（m）30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200 同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?二、讲解新课 1常量和变量 在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量? 第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化 第
3、2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量路程随着时间的变化而变化。 第3个问题中的体积V和R是变量，而是常量，体积随着底面半径的变化而变化 第4个问题中的l与频率f是变量而它们的积等于300000，是常量 常量：在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量 变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量 2函数的概念 上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如： 在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t是自变量，T因变量(T是t的函数) 在上述的2个问题中，s30t
4、，给出变量t的一个值，就可以得到变量s惟一值与之对应，t是自变量，s因变量(s是t的函数)。 在上述的第3个问题中，V2R2，给出变量R的一个值，就可以得到变量V惟一值与之对应，R是变量，V因变量(V是R的函数) 在上述的第4个问题中，lf300000，即l，给出一个f的值，就可以得到变量l惟一值与之对应，f是自变量，l因变量(l是f的函数)。函数的概念：如果在个变化过程中；有两个变量，假设X与Y，对于X的每一个值，Y都有惟一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是因变量，此时也称 Y是X的函数 要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解 变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于X的每一个值
5、，Y都有唯一的值与它对应，如果Y有两个值与它对应，那么Y就不是X的函数。例如y2x 3表示函数的方法 (1)解析法，如问题2、问题3、问题4中的s30t、V=2 R3、l，这些表达式称为函数的关系式， (2)列表法，如问题4中的波长与频率关系表；(3)图象法，如问题l中的气温与时间的曲线图三、例题讲解例1用总长60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m2)与边l(m)之间的关系式，并指出式中的常量与变量，自变量与函数。例2下列关系式中，哪些式中的y是x的函数?为什么?(1)y3x2 (2)y2x (3)y3x2x5四、课堂练习课本第26页练习的第1、2，3题， 五、课堂小结关于函数的定义的理解
6、应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有惟一的值与它对应对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式。六、作业 课本第28页习题17.1第1、2题。第二课时 变量与函数教学目标使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。教学过程 一、复习1填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。2如图(二)，请写出等腰三角形的顶
7、角y与底角x之间的函数关系式 3如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式二、求函数自变量的取值范围 1实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。 从右边的分析可以看出，第n排的 排数 座位数 座位 l 18一方面可以用18(
8、n1)表21813182 示，另一方面可以用m表示，所以 m18(n1) n 18(n1)n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数，所以n取1n30的整数或0n31的整数。请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。 2用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y=3xl (2)y2x27 (3)y= (4)y= 分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x2)必须是非负数式子才有意
9、义 3函数值 例2在上面的练习(3)中，当MA1cm时，重叠部分的面积是多少?请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值三、课堂练习课本第28页练习的第1、2、3题四、小结通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数五、作业课本第29页的第3、4、5、6题17、2函数的图象1平面直角坐标系第一课时 平面直角坐标系教学目标 使学
10、生了解直角坐标系的由来，能够正确画出直角坐标系，通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点。教学过程 同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?如果从门口算起依次是第1列，第2列、第8列，从讲台往下数依次是第l行、第2行、第7行，那么同学的位置就能用一对有序实数来表示。 1分别请一些同学说出自己的位置 例如，同学是第3排第5列，那么(3，5)就代表了这位同学的位置。 2再请一些同学在黑板上描出自己的位置，例如右图中的黑点就是这些同学的位置 3显然，(3，5)和(5，3)所代表的位置不相同，所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才
11、能确定点在平面上的位置。问题：请同学们想一想，在我们生活还有应用有序实数对确定位置的吗?二、关于笛卡儿的故事 直角坐标系，通常称为笛卡儿直角坐标系，它是以法国哲学家，数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的。介绍笛卡儿。三、建立直角坐标系 为了用一对实数表示平面内地点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系，水平的轴叫做轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴的交点是原点，这个平面叫做坐标平面 在平面直角坐标系中，任意一点都可以用对有序实数来表示如右图中的点 P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N这时，点P在x轴对应的数2，称为点P的横坐标；点P
12、在y轴上对应的数为3，称为P点的纵坐标依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(2，3)，称为点P的坐标，这时点户可记作P(2，3)。建立了平面直角坐标系后，两条坐标轴把平面分四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴不属于任何一个象限四、课堂练习 1请同学们在直角坐标系中描出以下各点，并用线依次把这些点连起来，看看是什么图案 (4，5)、(3，1)、(2，2)、(0，3)、(2，2)、(3，1)、(4，5)、(0，6)2写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标3课本第32页的第3、4题 五、小结本节课我们认识了平面直角坐标系，通过上面的讲解和练习可以知道，平面上的点
13、都可以用有序实数来表示，也必须用有序实数表示；反过来，任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，所以，在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系。 六、作业课本第37页习题172的第1、2、3题第二课时 平面直角坐标系教学目标使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的求法，明确点在x轴、y轴上坐标的特点，能运用这些知识解决问题，培养学生探索问题的能力教学过程一、复习 在直角坐标系中分别描出以下各点：1、 A(3，2)、B(3，2)、C(3，2)、D(3，2)2、分别写出点P、Q、R、S、M、N的坐标。 3、写出点E、F的坐标
14、。二、探索与思考 通过以上练习，鼓励同学们自己提出问题，进而得出结论。若没有办法，可以通过以下思考题给予启发。 1在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的? 2两条坐标轴上的点的坐标有什么特点? 3若点在第一、三象限角平分线上或者在第二、四象限角平分线上，它的横、纵坐标有什么特点? 4关于x轴、y轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系? 通过对照以上图形讲解，启发学生得到如下结论： 第一象限(，)，第二象限(，)第三象限(、)第四象限(，)； x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上， 若点在第一、三象限角平分线
15、上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。三、例题讲解 例1，如果A(1a，b1)在第三象限，那么点B(a，b)在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 分析：若要判断点在第几象限，关键是看横纵坐标的符号，从这题来看，就是要判断a、b的符号。四、课堂练习 1求点A(2，3)关于x轴对称y轴对称、原点对称的坐标； 2若A(a2，3)和A1(1，2b2)关于原点对称，求
16、a、b的值。3已知：P(，)点在y轴上，求P点的坐标。五、小结这节课通过开始的练习探讨坐标轴、各个象限角平分线上的点的坐标有什么特点、各个象限的点的横纵坐标的符号以及关于x轴、y轴；原点对称的点横纵坐标的关系，知识比较零散，需要同学们理解后加以记忆。六、作业 补充习题2函数的图象第一课时 函数的图象(一)教学目标使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形，能够在平面 直角坐标系内画出简单函数的图象教学过程一、引入 问题：右边的气温曲线图给了我们许多信息，例如，那一时刻的气温最高，那一时刻的气温最低，早上6点的气温是多少?也许许多同学都可以看出来，那么请同学们说说你是如何从上面的气温
17、曲线图中知道这些信息的待同学回答完毕，教师给予解释： 在上面的图形中，有一个直角坐标系，它的横轴与轴，表示时间；它的纵轴是轴，表示气温，这一气温曲线图实质上给出某日气温T()与时间，(时)的函数关系，因为对于一日24小时的任何一刻，都有惟一的温度与之对应。例如，上午10时的气温是 2，表现在曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标(10，2)，也就是说，当t=10时，对应的函数值T2由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系，因此，气温曲线图是由许许多多的点(t，T)组成的。二、函数的图象 1.函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，
18、即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2画函数的图象 例1画出函数yx2的图象 分析：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，要取一些自变量的值，并求出对应的函数值第一步，列表。第二步，描点。第三步，连线。 用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象。三、课堂练习课本第34页练习的第1、2题四、小结 1函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值。 2根据列表、描点、连线这三个步骤画出简单函数的图象五、作业课本第37页习题172的第4、5题第二课时 函数的图象(二)教
19、学目标通过观察函数的图象，深刻领会函数中两个变量的关系，能够从所给的图象中获取信息，从而解答一些简单的实际问题教学过程一、从所给的函数图象中获取信息 例1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷；右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 (米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)，看图回答下列问题： 1小强让爷爷先上多少米? 2山顶距离山脚多少米?谁先爬上山顶? 3小强通过多少时间追上爷爷? 分析：从题意可以知道，线条表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系，线条表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系(这两条线并不是
20、小强与爷爷的爬山路线)。刚开始计时时，爷爷已经在小强的前方60米处，小强让爷爷先上60米；从上图来看，山顶距离山脚300米，因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少，所以，小强比爷爷快登上山顶；小强经过8分钟追上爷爷。 例2如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图，请根据示意田回答下列问题： 1学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长? 211:00时该车离开学校有多远? 3学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少?分析：从图象上可以看出，该校学生上午8点出发，8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化，说明学生是在路途中，而9点到
21、l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化，说明学生在参观景区或休息。如果同学们能够从图象上获取这些信息，对于上述的几个问题就容易得到解决。二、课堂练习 课本第35页练习的第1、2题，等待学生思考后，解答。 三、小结本节课进一步认识函数的图象，懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息，希望同学们多观察图象，应用所学的知识来获得信息，解决问题四、作业 1课本第35页练习的第2题。 2课本第38页习题172的第6题。173 一次函数1一次函数教学目标 1经历探索过程，发展学生的抽象思维能力 2理解一次函敷和正比例函数的概念。 3能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的
22、数学应用能力 教学过程一、创设问题情境 问题l：小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米时巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离 分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值显然，应该探究这两个量的变化规律为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是 S57095t (1) 说明：找出问题中的变量并用字母表示是探
23、求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s为因变量。 问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式 分析：我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为9元，得到所求函数关系式为 y_ (2) 问题3：以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点?(上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)二、一次函数的定义函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为ykx+b的形式，其中k、b是常数，k0。当b=0时，一
24、次函数ykx(常数k0)也叫做正比例函数正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例。三、范例 例1梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm，写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式，并问这是一次函数吗?是正比例函数吗?例2写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式，利用这函数关系式求边数取多少时，其内角和等于900度?四、课堂练习P40页练习1、2以及P41页练习3。五、作业 P47页习题173 2、3。2一次函数的图象第一课时 一次函数的图象(一)教学目标1经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象2探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力。
25、教学过程一、复习 1作函数图象一般步骤是什么? 2在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)yx (2)yx2 (3)y3x (4)y3x2教学要点：要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象；请两位同学板演；在学生互相评判的基础上教师加以评析二、提出问题，解决问题问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢? 让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线 问题2：一次函数ykxb(k0)的图象都是一条直线吗?举例验证 让学生猜想，举例验证，发现一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线。教师指出这条直线通常也称为直线ykxb(b0)，特别地，正比例函数ykx(k0)的图象是经过(
26、0，0)的一条直线 问题3：几个点可以确定一条直线? 问题4：画一次函数图象时，只要取几个点? 只要取两点。教师指出，今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可问题5：观察“做一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点 (1)y3x与y3x2(2)yx与yx2(3)y3x2与yx2能否从中发现一些规律? 让学生分组讨论、交流，教师引导观察，总结。 问题6：对于直线ykxb(k、b是常数，k0)常数k和b的取值对于直线的 位置各有什么影响? 让学生讨论，交流，发表意见，达成共识，然后填空：两个一次函数，当k一样，b不一样时，有共同点：_不同
27、点:_当两个一次函数，b一样，k不一样时，有共同点：_不同点：_在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。 (1)y2x与y2x3 (2)y2xl与yx1 请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样 提问：你取的是哪几个点?和同学比较一下，怎样取比较简便?通过比较，教师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x，y轴的交点比较简便。三、课堂练习P42页练习l、2。四、小结 1一次函数的图象是什么形状呢? 2画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?3两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?五、作
28、业 P47页习题173第4、5题。第二课时 一次函数的图象(二)教学目标 1、使学生熟练的作出一次函数的图象。 2、探索一次函数作图过程。教学过程一、复习 1一次函数的图象是什么形状呢? 2正比例函数ykx(k0)的图象是经过哪一点的一条直线? 3画一次函数图象时只要取几点? 4在同一直角坐标系中画出下列函数的图象并说出它们有什么关系。y4x y4x2二、范例 例l：求直线y2x3与x轴和y轴的交点并画出这条直线 提问： 平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征? 让学生分组讨论、交流，发表意见，教师引导并归纳为x轴上的点的坐标为(x，0),y轴上的点坐标(0,y) 说明:1.画出直线后，要
29、在直线旁边写出一次函数解析式。 2在坐标轴上取点有什么好处?例2，画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数s57095t的图象。 提问： 1这里s和t取的数悬殊较大，怎么办?让学生分组讨论，然后发表意见，教师引导并归纳为：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示2作图要取几点?如何取点最好? 3你能画出这个函数图象吗?试试看 让学生动手画出函数s57095t的图象，教师巡视指导，及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。 画出这个函数图象后，讨论以下几个问题： 1.这个函数是不是一次函数? 2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?函数的图象是什么? 3.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形?你能不能找出几个例子加以说明?对于以上第1和第2个问题，可让学生在讨论的基础上发表自己的看法，教师引导并归纳为：函数y57095t是一次函数，函数中自变量的取值范围是0t6，函数的图象是一条线段对于第3个问
