1、摘 要 本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中（数量很大,基本上是健人）找出某种病毒的感染者,为减少检验次数（目的是降低费用）,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n,将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验,若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验,以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性,则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E（k）,
2、求解得E（k）=kp+1/k;通过计算,当p0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E（k,m）,通过求导得稳定点函数,解方程组得:k=1/m=p-1/2。关键词 先验概率 平均总检验次数 血样的阴阳性 组的基数1. 问题的提出 血样的分组检验在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p, 为减少检验次数将人群分组。 若 k人一组，当 k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。1.1 当 p固定时（0.1%, 1%, ），k多大可使检验次数最小1.2 p多大就不应再分组
3、1.3 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。1.4 讨论其它分组方案，如半分法、三分法。2. 基本假设2.1血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常 2.2血样检验时仅会出现阴性,阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂 灵敏2.3度很高,不会因为血样组数的增大而受影响.2.4阳性血样与阳性血样混合也为阳性 2.5阳性血样与阴性血样混合也为阳性2.6阴性血样与阴性血样混合为阴性3. 符号说明 变量：N：检验人群总数 P：阳性的先验概率 K:每组的人数 q:阴性先验概率q=1-p L:为一次分组没人的化验次数的最小值X:一次分组每人的化验次数M:组数 E（x）:
4、X的数学期望，即均值 血样检验为阳性（患有某种疾病）的人数为:z=np发生概率:Pi,i=1,2,.,x 检查次数:Ri,i=1,2,.x平均总检验次数:N=4. 问题的分析 根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.由基本假设有p + q = 1,且被测人群全体n为定值,所以为使验血次数最少只需使平均每人的验血次数最少即可1对每一分组的检测结果只有两种结果,若血样为阴性则只需验这一次, 概率为qk , 否则需验k1次,概率为1 - qk
5、1人群全体n中每人的平均需验次数为X 的均值, 需要考虑的问题是: 在0 q 1时，就不应分组,即当E（K）1时，不应分组，即：111kpk 用数学软件求解得检查k=2,3,可知当p0.307不应分组.模型三 将第1次检验的每个阳性组再分y小组,每小组m人（y整除k, m ）.因为第1次阳性组的 平均值为1xp,所以第2次需分小组平均检验1yxp次,而阳性小组的概率为2p=1-qm（为计算2简单起见,将第1次所有阳性组合在一起分小组）,阳性小组总数的平均值为12,这些小组需每人检验,平均检验次数为12,所以平均总检验次数N=x+12,一个人的平均检验次数为N/n： , （3）问题是给定p求k,
6、m使E（k,m）最小. （4）P很小时（3）式可简化为：对（4）对（4）分别对k,m求导并令其等于零,得方程组舍去负数解可得: （5） 且要求k,m,k m 均为整数.经在（5）的结果附近计算,比较E（k,m）,得到k,m的最优值,见表2：pkME（k,m）700 0.0028125250.01612211O.O8971470.1314 0.305表2-1二次分组检验结果与表2-1比较可知,二次分组的效果E（k,m）比一次分组的效果E（k）更好. 模型四（平均概率模型） 5.3.1 主要参数：患病人数:z=np 组的基数:每组需要检验的人数。平均检验次数: i=x i=0 N=PiRi 阳性血
7、样的分组模型:可分为x组,每组k人 12r,r,.,rx分组要满足的条件: 123x rrr.r 1234xr+r+r+r+.+r=z其中y为患病人数。5.3.2 分组人数=患病人数（即:血样呈阳性的人数）时,通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优 2）当zk（ n Kx ）时,一组人不能包括所有的病人数,第一次检验的基数较大. 5.3.3当z k=0:20:400 k= 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 p=1./k+0.0001*k p = Columns 1 thr
8、ough 17 Inf 0.0520 0.0290 0.0227 0.0205 0.0200 0.0203 0.0211 0.0222 0.0236 0.0250 0.0265 0.0282 0.0298 0.0316 0.0333 0.0351 Columns 18 through 21 0.0369 0.0388 0.0406 0.0425 plot（k,p） xlabel（人数k ylabel（E（k） title（图一图二程序： k=26:2:40; p=1./k+0.001*k; plot（k,p） k图二 ，p=0.01%时的，p,k图程序 200 k = 0 20 40 60 8
9、0 100 120 140 160 180 200 p=（1./k）.2;）p p=0.1%时p,k图程序： k=20: plot（k,p,r附录B n=1000.P=1%.分100组阴性组阳性组分组可能情况概率检验次数平均检验次数199P1=1/421102.619298P2=4/4212011.429397P3=8/4213024.763969P4=9/421403095P5=7/42150694P6=5/4216019.04893P7=3/4217012.14392P8=2/421808.57191P9=1/421904.52490P10=1/424.762 平均检验次数： 1 142.
10、9 x iNPiRi 个人平均检验次数：E=N/1000=0.1429 n=1000,p=1%,分125组，每组8人124123P1=4/4014114.100122P2=8/4014929.800121P3=9/4015735.325P4=7/4016528.875119P5=5/4017321.625118P6=3/4018113.575117P7=2/401899.450116P8=1/401974.925115P9=1/402055.125平均检验次数： 1 162.8 x iNPiRi E=N/1000=0.1628 n=1000,p=1%,分为50组，每组20人700.1321P2=10/421.698133P3=33/426.849164P4=64/4215.698184P5=84/4223.7736P6=90/4228.867982P7=82/4229.3962P8=70/4221027.735854P9=54/4223023.434042P10=42/4225019.8113 1 177.40 x iNPiRi E=N/1000=0.1774
