1、傅立叶变化的原理；（1）原理正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅
2、氏变换。引入衰减因子e（-st），从而有了Laplace变换。（2）计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。这是将频率域的函数F（）表示为时间域的函数f（t）的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换 （inverse Fourier transform）为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F（）的积分。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F（）为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。实例应用：例一平稳信号：x=2*sin（2*pi*20*t）+4*sin（2*pi*60*t）+8*cos（2*pi*9
3、0*t）+10*sin（2*pi*120*t）利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：clcclear allfs=100;N=128; %采样频率和数据点数n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列x=2*sin（2*pi*20*t）+4*sin（2*pi*60*t）+8*cos（2*pi*90*t）+10*sin（2*pi*120*t）; %信号y=fft（x,N）; %对信号进行快速Fourier变换mag=abs（y）; %求得Fourier变换后的振幅f=n*fs/N; %频率序列subplot（2,2,1）,plot（t,x）;xlabel（时间/s）;ylabel（振幅
4、title（滤波前时域图subplot（2,2,2）;plot（f,mag）;频率/Hz滤波前频域图N1=11;wc=0.5;hd=fir1（N1,wc）;z=filter（hd,1,x）;subplot（2,2,3）;plot（t,z）;滤波后时域图subplot（2,2,4）;plot（f,abs（fft（z）;滤波后频域图在matlab中运行后，实验结果如图：例二：（一）对原图像进行傅立叶变换，实验结果如图1：图1 分析：图像显示了原图像及其傅立叶频谱。观察傅立叶谱中心对称，在此图像进行傅立叶变换的计算之前被乘以，以此增强了灰度级细节。 （二）输出彩色图像greens.jpg的傅立叶频谱
5、，实验结果如图2：图2图像显示了原图像和其彩色图像傅立叶频谱。可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）（三）对彩色图像football.jpg进行二维DCT变换，实验结果如图3:图3二维DCT变换后的频谱图亮点在左上角。%傅立叶变换Matlab图像的DFTclc;figure（1）;load imdemos saturn2;imshow（saturn2）;原图像figure（2）;S=fftshift（fft2（saturn2）;imshow（log（abs（S）,）;原图
6、像傅立叶频谱%彩色图像的傅立叶频谱A=imread（greens.jpgB=rgb2gray（A）;imshow（B）;S=fftshift（fft2（B）;彩色图像的傅立叶频谱%二维DCT变换RGB=imread（football.jpgimshow（RGB）;彩色图像GRAY=rgb2gray（RGB）;imshow（GRAY）;灰色图像DCT=dct2（GRAY）;figure（3）;imshow（log（abs（DCT）,）;二维DCT变换例三：利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下:x=imread（C:UserskjDesktop1.jpgX=rgb2gray（x）;su
7、bplot（3,2,1）;imshow（X）;原图y=fft2（X）;Y=log（1+abs（y）;subplot（3,2,2）;imshow（Y,）;傅里叶变化图m,n=size（y）;for i=1:m for j=1:n if im/2-140 & in/2-250 & jn/2+250 y1（i,j）=y（i,j）; else y1（i,j）=0; endendsubplot（3,2,3）;imshow（log（1+abs（y1）,）;对傅里叶变化后处理图z1=real（ifft2（y1）;Z1=uint8（z1）;subplot（3,2,4）;imshow（Z1）;对频率图处理之后的
8、反变化图 y2（i,j）=0; y2（i,j）=y（i,j）;subplot（3,2,5）;imshow（log（1+abs（y2）,）;z2=real（ifft2（y2）;Z2=uint8（z2）;subplot（3,2,6）;imshow（Z2）; 原图例四：Matlab源程序如下：clcclearallimg=imread（Dolphin.jpgsubplot（2,2,1）,imshow（img）;f=rgb2gray（img）;F=fft2（f）;subplot（2,2,2）,imshow（F）;傅里叶变换%二维傅里叶变换FS=fftshift（F）;%频率图%频谱 S=log（1+a
9、bs（FS）;imshow（S,）直接变换频谱图%二维傅里叶逆变换fr=real（ifft2（ifftshift（FS）;%频域的图反变ret=im2uint8（mat2gray（fr）;%取其灰度图subplot（2,2,4）,imshow（ret）;逆傅里叶变换I=imread（logo.tifimshow（I）;DCT=dct2（I）;imshow（log（abs（DCT）,）;总结：因各个科学技术领域广泛的使用了FFT技术，它大大推动了信号处理技术的进步，现已成为数字信号处理强有力的工具，本论文将比较全面的叙述快速傅里叶变换算法原理、特点，并完成了基于MATLAB的实现。参考文献：【1】曾光奇 工程测试技术 华中科技大学出版社
