1、高中数学函数专题训练第2章函数21函数的概念与性质一、映射与函数2.1.1已知映射f：AB，其中集合A3，2，1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是()(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7解析由已知得3和3的象都是3；2和2的象都是2；1和1的象都是1，而4的象是4，所以，B1，2，3，4，B中有4个元素，答案为A2.1.2已知f(x)，则下列关系中不正确的是()(A) f(x)f(x) (B) f(x)f(C) f(|x|)f(x) (D) f(|x|)f解析f(x)f(x)，ff(x)，f
2、(|x|)f(x)f，所以，答案为B2.1.3对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定(a，b)(c，d)当且仅当ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b) (c，d)(ac，bd)设p，qR，若(1，2)(p，q)(5，0)，则(1，2) (p，q)()(A) (4，0) (B) (2，0) (C) (0，2) (D) (0，4)解析由已知可得解得则(1，2) (p，q)(2，0)，答案为B2.1.4在下列各组函数中，两个函数相同的是()(A) f(x)与g(x)(B) f(x)与g(x)(C) f(x)2x，x0，1，2，3与g(x)
3、1，x0，1，2，3(D) f(x)|x|与g(x)解析对于f(x)与g(x)，应有f(x)x，g(x)|x|，它们的对应法则不同，是两个不同的函数；函数f(x)的定义域是(，11，)，而函数g(x)的定义域是1，)，它们是两个不同的函数；对于函数f(x)2x，f(0)1，f(1)2，f(2)4，f(3)8，而对于函数g(x)1，g(0)1，g(1)2，g(2)4，g(3)8，所以，这是两个相同的函数；函数f(x)|x|的定义域是R，而函数g(x)的定义域是(，0)(0，)，它们是两个不同的函数所以，答案为C2.1.5函数yx的图象是()解析函数y所以，答案为C2.1.6函数y的图象是()解析
4、函数y即为y1，它的定义域是x|x1，xR，值域是y|y1，yR，由描点法可得此函数的图象是B2.1.7已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321 (1) 求fg(1)的值；(2) 求满足fg(x)gf(x)的x的值解析(1) 由已知可得g(1)3，则fg(1)f(3)1(2) fg(1)1，而gf(1)3；fg(2)3，gf(2)1；fg(3)1，gf(3)3，所以，满足fg(x)gf(x)的x的值是x22.1.8已知函数f(x)若ab，则(ab)(ab)f(ab)的值()(A) 一定是a (B) 一定是b(C) 是a，b中较大的数 (D) 是a，b
5、中较小的数解析若ab则(ab)(ab)f(ab)(ab)(ab)a；若ab，则(ab)(ab)f(ab)(ab)(ab)b，所以，答案为C2.1.9已知函数f(x)g(x)则f(x)g(x)解析f(x)g(x)2.1.10已知f(x)x5ax3bx8，f(2)10，则f(2)解析由已知可得328a2b810，即8a2b50，f(2)328a2b8262.1.11设函数f(x)若f(x)3，则x解析若x23，则x1，与x1矛盾；若x23，则x，由1x0或y1(4) 函数yx1 (1x4且xZ)的值域是0，1，2，32.1.13已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达
6、B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离s(千米)表示成时间t(小时)的函数为()(A) s60t (B) s60t50t(C) s (D) s解析由匀速运动中路程与时间的关系可得答案为D2.1.14设x表示不超过x的最大整数，对于给定的nN*，定义，x1，)，则当x，3)时，函数的值域是()(A) (B)(C) 28，56) (D) 解析若x2，则x1，此时，则4；若2x3，则x2，则28于是，所求值域是，答案为D2.1.15在下列四个函数中，满足性质：“对于区间1，2上的任意x1，x2 (x1x2)，|f(x1)f(x2)|x1x2|恒成立”的只有()(
7、A) f(x) (B) f(x)|x| (C) f(x)2x (D) f(x)x2解析任取x1，x21，2(x1x2)，对于函数f(x)，|f(x1)f(x2)|1|x1x2|；对于函数f(x)x2，|f(x1)f(x2)|x1x2|x1x2|2|x1x2|x1x2|，所以，答案为A2.1.16函数f(x)的定义域是解析函数自变量x应满足解得所以，函数f(x)的定义域是x|x3或x12.1.17已知a0，则函数f(x)的定义域是解析函数f(x)的自变量x应满足由a0及x2a2得axa，则xa0，于是，由|xa|a0得xaa0，所以，原函数的定义域是a，0)(0，a2.1.18设满足y|x1|的
8、点(x，y)的集合为A，满足y|x|2的点(x，y)的集合为B，则AB所表示的图形的面积是解析函数y|x1|和y|x|2的图象形成的封闭区域是由函数yx1，yx1，yx2，yx2围成的矩形，此矩形的顶点是，(1，0)，(0，2)，它的面积是2.1.19从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行如果倒完第k次(k1)时共倒出纯酒精x升，设倒完第k1次时共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为解析由于倒完第k次共倒出纯酒精x升，则第k1次倒时，容器中还有纯酒精20x升，第k1次倒出了纯酒精(20x)，所以，f(x)x(20x)1x (1x
9、0，所以，a和b应满足b2且a02.1.22记实数a1，a2，an中的最小值是mina1，a2，an，例如min1.1，2.3，62.3，那么，定义域为R的函数f(x)minx，2x2的最大值是题2.1.22解析由函数f(x)的定义可作出其图象(如图所示)：抛物线y2x2与直线yx的一个交点是(1，1)，所以，当x1时，f(x)取得最大值12.1.23求函数y的定义域解析函数的自变量x应满足若20，则有x8445x20，x2，解得x1或x4，经检验，x4是方程 2的增根，亦即使得20成立的实数只有x1，所以，函数的定义域是x|x4且x12.1.24 求函数y的定义域(其中k是常数)解析函数的自
10、变量x应满足即所以，若2k2，即k1时，函数f(x)的定义域是2k，)；若22k2，即1k1时，函数f(x)的定义域是(2，)；若2k2，即k1时，函数f(x)的定义域是2k，2)(2，)2.1.25作出下列函数的图象：(1) y (2) y；(3) y (4) y2|xx2|解析(1) 函数y的图象如图2.1.25(1)所示题2.1.25(1) 题2.1.25(2) (2) 函数y即为y其图象如图2.1.25(2)所示(3) 函数y的图象如图2.1.25(3)所示题2.1.25(3)题2.1.25(4)(4) 函数y2|xx2|即为y其图象如图2.1.25(4)所示2.1.26作函数y的图象
11、题2.1.26解析函数应满足|x|x0，即此函数的定义域是x2时有f(x)0，于是有a0，所以，b0，答案为A2.1.31函数yf(2x1)的定义域是0，1)，则函数yf(13x)的定义域是(A) (B) (C) (D) 解析由0x1得12x11，令t2x1，于是，函数yf(t)的定义域是1，1)，则函数yf(13x)的自变量应满足113x1，所以，它的定义域是，答案为C2.1.32已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()(A) (0，2) (B) (0，8) (C) (2，8) (D) (，0)解
12、析若m0，则f(x)8x1，g(x)0，不符合要求；若m0时，g(x)0，当x0，而此时函数f(x)2mx22(4m)x1的图象是开口向下的抛物线，一定存在x00有f(x0)0，所以，m0，则g(x)mx，当x0时，g(x)0，当x0时，g(x)0，函数f(x)2mx22(4m)x1当x0时必须有f(x)0恒成立，而此时函数f(x)的图象开口向上，于是，必须有或解得4m8或0m4，所以，m的取值范围是0m8，答案为B2.1.33给出下面三个函数：(1) y；(2) y|x1|x3|；(3) y，在这些函数中，其值域中仅含有有限个整数的函数有()个(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解
13、析函数y即y的定义域是R，值域是1，)，值域中有无穷多个正整数；函数y|x1|x3|即为y它的值域是4，4，其中只有有限个整数；由函数y可得(y1)x2(23y)x3y40，若y1，则x1，若y1，则关于x的方程其判别式(23y)24(y1)(3y4)0，即3y216y120，解得y，其中满足y1的整数有y2，3，4，并且当y2时，解得x2，y3时，x1或x，y4时，x2或x，所以，在函数y的值域中，有且仅有4个整数所以，在给出的三个函数中，值域中仅含有有限个整数的函数有2个，答案为C2.1.34已知函数yf(x)的定义域是R，则函数yf(x1)的图象与函数yf(1x)的图象一定关于()(A)
14、 直线y0对称 (B) 直线x0对称(C) 直线y1对称 (D) 直线x1对称解析设(x0，y0)是函数yf(x1)图象上的任意一点，则y0f(x01)，点(x0，y0)关于直线x1的对称点是(2x0，y0)，f1(2x0)f(x01)y0，所以，点(2x0，y0)在函数yf(1x)的图象上，函数yf(x1)的图象与函数yf(1x)的图象一定关于直线x1对称，答案为D2.1.35已知集合Ay|yx24x6，xR，yN*，集合By|yx22x18，xR，yN*，则AB解析yx24x6(x2)22，于是A2，3，4，5，6，yx22x18(x1)219，则B19，18，17，16，15，1，所以，
15、AB2，3，4，5，15，16，17，18，192.1.36若函数y3x231x10的自变量都是正整数，则此函数的最小值是解析函数y3x231x10即为y3 ，而xN*，所以，当x5时，y最小值702.1.37已知函数f(x)x2axb满足|f(1)|f(2)|f(3)|，则f(x)解析由已知可得二次函数f(x)的图象的顶点坐标是，并有f(1)f(3)，则a4，b，所以，f(x)x24x2.1.38已知f(x)ax2bxc (a0)当x3时取得最小值4，且其图象在y轴上的截距是13，则a，b，c解析由已知可设f(x)a(x3)24，当x0时y13，解得a1，即f(x)x26x13，所以，a1，
16、b6，c132.1.39已知一个二次函数，当x1时有最大值2，它的图象截x轴所得到的线段长是，则此二次函数的解析式是解析由已知可得二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别是1和1，则可设其解析式为f(x)a，并有f(1)2，解得a4，所以，该二次函数的解析式是f(x)4x28x22.1.40若函数f(x)的定义域是R，则k的取值范围是解析若k0，则f(x)，定义域是R若k0，则应有16k212k0，解得0k，所以，k的取值范围是0k2.1.41函数f(x)的定义域是0，1，则函数f(12x)的定义域是解析由已知得函数yf(12x)应满足012x1，即它的定义域是2.1.42函数f(x)2x1的最
17、大值是解析f(x)(1)25，而 0，所以，当x时，f(x)取得最大值2.1.43函数y(x2x)24(x2x)3的最小值是解析y(x2x2)21，而x2x2，所以，y1，当x时，y取得最小值2.1.44已知t为常数，函数y|x22xt|在区间0，3上的最大值为2，则t解析记f(x)(x1)21t，可得函数y|f(x)|的图象关于直线x1对称若1t0即t1时，则函数y|x22xt|在0，3上最大值为f(3)3t2，则t1，矛盾若1t0且f(3)3t0，即1t3时，如果1t3t，亦即13t，亦即1t3时，函数y|f(x)|当x1时取得最大值1t2，矛盾如果3t0，于是，y5，若y5，则4x24x
18、10，解得x所以，当x时，函数yx3取得最小值52.1.47设f(x)f1(x)，且fn(x)fn1f(x)，则f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1) fn(1)解析f2(x)f1f(x)，f3(x)f2f(x)，f4(x)f3f(x)由此可得fn(x)，则f(k)fk(1)1，所以，f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1) fn(1)n2.1.48定义在N*上的函数f(n)满足f(1)1，且f(n1)则f(2008)解析f(2008)f(20071)f(2007)f(2006)f(2005)f(2004)f(2003)f(2002)f(2001)f(2)f(1)2.1.49集合A(
19、x，y)|ya|x|，xR，B(x，y)|yxa，xR，已知集合AB中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是解析由函数f(x)a|x|的图象和函数g(x)xa的图象的位置关系可知，使集合AB中有且仅有一个元素的常数a的取值范围是1a12.1.50已知函数f(x)满足2f(x)3f(x)2x23x5，则f(x)解析由已知可得解得f(x)x23x12.1.51如图所示，已知四边形ABCD在映射f：(x，y)(x1，y2)作用下的象集为四边形 ABCD，四边形ABCD的面积等于6，试求四边形 ABCD的面积题2.1.51解析映射f：(x，y)(x1，y2)的作用是将点P(x，y)向左平移一个单位并向
20、上平移两个单位，四边形ABCD与四边形 ABCD必定全等，所以，四边形 ABCD的面积等于62.1.52已知m为实数，将函数f(x)x22mxm1 (0x2)的最小值记为g(m)，试求g(m)的最大值解析f(x)(xm)2m2m1，若m2，则当x2时f(x)取得最小值33m，所以，g(m)当m0时，g(m)2时，g(m)3，当0m2时，g(m)，此时3g(m)，所以，g(m)的最大值是2.1.53已知m，都是实数，m，求22的最小值解析22()22m2(m2)，而，是关于x的方程x2mx0的两个实数根，于是，m2(m2)0，解得m2或m1，所以，当m1时，22取得最小值2.1.54已知函数f(x)x22kx2在x1时恒有f(x)k，求实数k的取值范围解析关于x的不等式x22kx2k，即x22kx2k0在x1时恒成立，则有或解得1k1或3k1，所以，k的取值范围是3k12.1.55已知f(x)ax2bx(a、b为常数，a0)满足f(2)0，且f(x)x有相等的实数根，(1) 求f(x)；(2) 是否存在m、n (mn)，使f(x)的定义域为m，n，而值域为2m，2n?解析(1) f(x)x即为ax2(b1)x0有相等的实数根，则(b1)20，又f(2)4a2b0，解得a，b1，即f(x)x2x(2) 因为f(x)x2x(x1
