1、数值分析 课程设计多项式插值的振荡现象指导教师 学院名称 专 业 名 称 提交日期 一、 问题的提出使用差值多项式来近似函数时，由余式可见，其逼近的程度不单与插值节点的个数及其分布情况有关，还有函数本身有关。直觉上，似乎插值节点愈密，相应的插值多项式的次数愈高，被插值函数与插值函数间的差别愈小。因此，我们自然关心插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的： 因此，本课程设计针对 以及其他函数做出探讨和分析。二、 实验内容考虑区间-1,1的一个等距划分，节点为 ，则拉格朗日插值多项式为 ，其中的ai(x),i=0,1,2,n是n次Lagran
2、ge插值基函数。.选择不断增大的分点数,取n=2,3,5,10,13,15,201.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像；2.给出每一次逼近的最大误差；3.比较并分析实验结果。.选择其它函数，例如定义在区间-5,5上的函数: 重复上述实验,看其结果如何。.区间a ,b上切比雪夫点的定义为 以x1,x2,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。三、 实验结果及分析. （1）图像图表 1 n=2图表 2 n=3图表 3 n=5图表 4 n=10图表 5 n=13 图表 6 n=15 图表 7 n=20 （2）每次逼近的最大误差n23510
3、131520误差r0.64620.70700.43271.91561.07002.107659.8223（3）比较并分析实验结果图表 8 误差波动情况由1的实验结果图像可知，随着n的增大，插值多项式函数的在区间中部的拟合情况逐渐趋优，而端点附近的拟合情况却逐渐趋劣。通过每次拟合，可以得出在区间内原函数值与插值多项式函数值的最大误差，记录得出2中表格。图表8为每次拟合的误差值的波动情况，可以看出随着n的增大，误差值不断上下波动，且逐渐走高。. （1）图像图表 9 n=2图表 10 n=3图表 11 n=5图表 12 n=10图表 13 n=13图表 14 n=15图表 15 n=20（2）每次逼
4、近的最大误差n23510131520误差r0.56870.47660.65840.8547 6.02871.52299.7538（3）比较并分析实验结果由实验结果可知，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。. （1）图像图表 16 n=2图表 17 n=3图表 18 n=5图表 19 n=10图表 20 n=13图表 21 n=15图表 22 n=20（2）每次逼近的最大误差n23510131520误差r0.57280.35930.32640.20261.42972.46242.6527（3）比较并分析实验结果由实验结果可知，
5、随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。. （1）图像图表 23 n=2图表 24 n=3图表 25 n=5图表 26 n=10图表 27 n=13图表 28 n=15图表 29 n=20（2）每次逼近的最大误差n23510131520误差r0.60060.75030.55590.10920.12340.08310.0153（3）比较并分析实验结果由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好， 且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。. （1）图像图表 30 n=2图表 31 n
6、=3图表 32 n=5图表 33 n=10图表 34 n=13图表 35 n=15图表 36 n=20（2）每次逼近的最大误差n23510131520误差r0.56770.50920.35140.34310.10190.06000.0462（3）比较并分析实验结果由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好， 且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。. （1）图像图表 37 n=2图表 38 n=3图表 39 n=5图表 40 n=10图表 41 n=13图表 42 n=15图表 43 n=20（2）每次逼近的最大误差n23510131520误
7、差r0.51730.23250.13780.06220.01720.01020.0057（3）比较并分析实验结果由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好， 且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。四、 关于本设计的体会从龙格现象中得出启发，对于一些应用性的结论，要注意应用的现实情形，避免出现特殊现象，影响了实验结果。例如，在数学建模比赛的时候，有时可以套用一系列的算法，但是要注意是否会出现特殊的情况，避免不必要的误差。另外，学会借助一些变换，例如，切比雪夫点的变换，可以使结果更精确，这也是在平时应用时必不可少的方法。通过这次的课程报告，在今
8、后的学习中，我也会更加注意类似方法的积累，在今后的应用中，做出更好的数学模型。最后，就是学会抓主要因素，快速得出结果。例如，如果只需要一个区间的中部的拟合情况，那只需要尽可能地增大n值，从而忽略端点的振荡情况；而如果需要精确的结果，则可以通过变化，花多一点时间，得出理想的结果。综上所述，本设计的体会就是在应用一些方法的时候，自习思考应用的实用性，并注重积累更多更优的方法，并根据不同的需要选择相应的方法，得到理想的结果。五、 参考文献1MATLAB 7.6从入门到精通/张琨，毕靖，丛滨编著/电子工业出版社/2009.52精通MATLAB科学计算/王正林，龚纯，何倩编著2版/电子工业出版社2009
9、.8六、 附录拉格朗日插值代码f(x)代码h(x)代码g(x)代码切比雪夫点f(x)代码切比雪夫点h(x)代码切比雪夫点g(x)代码计算机型号： 程序运行时间（制图取点精度为0.001）f(x)h(x)g(x)切比雪夫f(x)切比雪夫h(x)切比雪夫g(x)nt/snt/snt/snt/snt/snt/s20.109020.109020.109020.156020.109020.109030.140030.156030.125030.172030.172030.109050.171050.187050.203050.202050.187050.1720100.3430100.3430100.3
10、280100.3900100.3740100.3750120.4990120.4830120.4840120.4990120.4990120.4990130.5460130.5610130.5620130.5930130.5930130.6080150.6860150.7170150.6870150.7330150.7330150.7480201.1700201.1080201.1230201.2790201.3580201.3110算法步骤叙述 输入分点数，由插值点求出插值点对应函数值； 由被插值点求出对应的原函数值，作图； 由插值点和被插值点求出对应的拉格朗日插值多项式值，作图； 求原函数与插值多项式函数差的绝对值，即误差绝对值的函数，作图。变量说明n分点数k切比雪夫点定义中的kx插值点x0区间左端点x1被插值点y插值点函数值y1被插值点函数值z拉格朗日插值多项式值d误差绝对值函数r误差绝对值七、 教师评价36
