1、2）在某些求积函数中，用数值积分求解一些原函数 F（x） 不能用初等函数表示成有限形式 。3）熟练掌握用复化梯形法 ,复化辛甫生法和龙贝格法求解积分。4）编程实现复化梯形法 ,复化辛甫生以及龙贝格算法对积分的计算。二、课程设计内容（题目）数值积分收敛速度的比较分别按下述计算方案求积分 Ie x cosxdx 的近似值，并列表给出对分节点的积分值，从而比较其收敛速度。积分的准确值为：I12.070346316方案 I复化梯形法方案 II复化辛甫生法方案 III龙贝格算法三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等）1）复化梯形公式 :把积分区间 a,b等分为 m个小区间，令步长h= b a ，求积节
2、mxi a ih, i=0 ，,1,2 m，等距节点复化梯形公式为T mhm 1f （ xj ） f （b）（ f （a） 2j 1先分段 ,通过避开直接算积分的繁琐步骤 ,直接计算函数值 ,再通过复化梯形公式求得积分的近似值 ,当 n 达到一定程度时 ,所得的结果就近似等于积分的值了 . 计算步骤 :算出 f（a）,f（b） 以及 f（x k）相应的值 ,将所有值相加后乘以 h/2.即得到积分的值2）复化辛甫生公式 :将区间 a,b分成 n 等分 ,每等分称为一个子区间 ,其长度为h=（b-a）/n,分点为 xk=a+kh,k=0,1,2,.即 a=x0x1x2.xn=b记子区间 x k,x
3、 k+1 的中点为 xk+1/2,即 xk+1/2 =（xk+xk+1 ）/2=xk+h/2（k=0,1,2,.,n-1）3复化辛甫生公式Snn 1 h （ f （xk ） 4 f （xk1 ） f （ xk 1）0 6n 1（ f （ a） 4 f （ x1 ）2 f （xk ） f （b）6k 1k 0和复化梯形公式的算法类似,依次算出函数的值 ,最后得出积分的近似值 ,当 n 较大时 ,结果近似等于积分的值 . 3）龙贝格算法1.算出 f（a）和 f（b）,根据数值计算方法教材公式 5.26 计算 T1;2.将 a,b分半 ,算出 f（a+b）/2）后,根据公式 5.26 计算 T2;3
4、.再将区间分半 ,算出 f（a+（b-a）/4）及 f（a+3*（b-a）/4）, 并根据公式 5.26 计算 T4.4.将区间再次分半 ,计算 T8.5.将区间再次分半 ,类似上述过程计算 T16.四、计算过程（含涉及编写的程序、运行环境、计算结果截屏等）流程图 1 复化梯形公式输入 a,b,nh=（a-b）/n k=1X=a+kh f（x）=exp（x）*cos（x）F（x）=F（x）+f（x）k+n=k?是否Tn=0.5h（f（a）+f（b）+2F（x）输出 Tn4图 1：复化梯形公式计算结果 1图 2:复化梯形公式计算结果 25辛甫生公式复化求积 :流程图 2 复化辛普森公式X1=a+
5、（k-1）h+X/2 f（x1）=exp（x1）*cos（x1）F（x）=F（x）+f（x） F1（x）=F1（x）+f（x1）是 k+KSn=（h/6）（f（a）+f（b）+2F（x）+4F1（x）输出 Sn图 3 复化辛普森公式计算结果图 4 龙贝格算法计算结果五、问题求解结果的分析与结论三种算法对分节点的积分值表7表 1 三种算法对分节点的积分值表复化梯形公式n=1-34.77851492-11.59283831n=2-17.38925746-11.98494282n=3-14.35266097-12.05157185n=4-13.33602148图 5 复化辛普森公式收敛8结果分析 :
6、通过计算发现 ,三种解法中 ,用复化辛甫生公式计算积分时收敛速度较快 ,复化梯形公式和龙贝格算法的收敛速度较慢 ,且后面两者的结果基本一致 ,但相对来说 , 龙贝格算法的计算量更少 ,更加方便 . 如果用折线图来描述的话 ,那么辛甫生算法的图像较为平整 ,变化幅度比较小 .六、课程设计的总结与体会（含每位同学承担的主要工作等）1）组员分别承担的任务张云华 :写报告 ,用复化辛甫生公式计算积分的编程 ,分别用三种算法计算节点的积分值并完成列表 .心得与体会 :在课程设计的同时不仅巩固了以前所学过的知识， 而且可以学到很多在书本上所没有学到过的知识， 特别是团队合作能力。 通过这次课程设计使我懂得
7、了理论与实际相结合是很重要的， 增强了我们处理问题的能力。 还有只有理论知识是远远不够的， 只有把所学的理论知识与实践相结合起来， 从理论中得出结论， 才能真正的掌握，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。刘贞宇 :用复化梯形公式和龙贝格算法计算积分的编程， ppt 的制作学习必须通过实践， 通过实践发现了自己的不足之处， 并及时纠正。 在求解过程中也遇到了各种各样的问题， 还有在编写程序是要注意代码， 要仔细，一个数字弄错了就可能导致运行时结果出错或不合实际。 因此我们应多课外实践来加深我们对课本的 理解。附录 :源代码复化梯形公式 :#include stdio.hmath.hvoi
8、d main（）int k;double a,b,n,h,x;double f,f1,f2,T,F=0.0;printf（ 请输入 a b n :）;scanf（%lf%lf%lf,&a,&b,&n）;h=（b-a）/n;for（k=1;kn;k+）x=a+k*h;f=exp（x）*cos（x）;nf=%0.7f,f）;F+=f;nF=%0.7f,F）;if（a!=0.0）f1=exp（a）*cos（a）;else（f1=1.0）;nf1=%0.7f,f1）;f2=exp（b）*cos（b）;nf2=%0.7f,f2）;T=0.5*h*（f1+2*F+f2）;nT=%0.7f,T）;复化辛普森
9、公式double a,b,n,h;double x,f,f1,f2,F1=0.0,F2=0.0,S=0.0;for（k=0;x=a+k*h+0.5*h;F1+=f;nF1=%0.7f,F1）;f=0;F2+=f;nF2=%0.7f,F2）;=0）f2=exp（b）cos（b）;S=h/6.0*（f1+4*F1+2*F2+f2）;nS=%0.7f,S）;龙贝格算法 :#include math.h#define e 1e-5#define a 0 / 积分下限 a#define b 3.14159 /积分上限 b#define f（x） exp（x）*cos（x） / 被积函数 f（x）double t100100;int main（）int n,k,i,m;double h,g,p;h=（double）（b-a）/2;t00=h*（f（a）+f（b）;k=1;n=1;do /Romberg 算法g=0;for （i=1;i=n;i+）g+=f（a+（2*i-1）*h）;tk0=（tk-10/2）+（h*g）;for （m=1;me）; /自定义误差限 e printf（%.8lf,t0m）;return 0;12
