1、圆与相似的结合资料讲解圆与相似的结合1如图，在ABC中，ABBC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC， 交AB的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线DE是O的切线；(2)当AB5，AC8时，求cosE的值2已知：如图，ACO是的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）若OPBC，且OP=8，BC=2求O的半径3如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E.（1）求证：BCA=BAD；（2）求DE的长；（3）求证:BE是O的切线。4如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，P
2、D切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC（1）求证：BC平分PDB；（2）求证：BC2=ABBD；（3）若PA=6，PC=6，求BD的长5如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长6如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长7如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是A
3、BC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径及sinACE的值参考答案1（1）证ODDE即可。（2）cosE=【解析】试题分析：如图，在ABC中，ABBC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC， 交AB的延长线于E，垂足为F连结OD。易知OA=OD=r，且ABBC，OAD=ODA=C所以ODCB。所以ODE=BFE=90。所以ODDE，垂足为D。所以直线DE是O的切线。 (2)当AB5，AC8时，求c
4、osE的值解：连结BD。由（1）知ODDE，又因为ADB=90（直径所对圆周角）所以ADO+ODB=ODB+BDE。因为ODCB，则ODB=DBO=DBF所以RtADBRtDFB。则，已知AB=BC，BDAC。所以AD=AC=4.所以在RtADB中，BD=3.故33=5BF，解得BF=。易知RtEDORtEFB则，解得BE=所以在RtEFB中，cosE考点：圆及相似三角形等点评：本题难度较大，主要考查学生对圆的切线问题与三角形相似判定与性质的掌握。为中考常考题型要牢固掌握。2解：（1）证明：连接OB，AC是O直径，ABC=90。 OC=OB，OBC=ACB。PBA=ACB，PBA=OBC。PB
5、A+OBA=OBC+ABO=ABC=90。OBPB。OB为半径，PB是O的切线。（2）设O的半径为r，则AC=2r，OB=R，OPBC，OBC=OCB，POB=OBC=OCB。PBO=ABC=90，PBOABC。，即，解得。O的半径为。【解析】试题分析：（1）连接OB，求出ABC=90，PBA=OBC=OCB，推出PBO=90，根据切线的判定推出即可。 （2）证PBO和ABC相似，得出比例式，代入求出即可。3解：（1）证明：BD=BA，BDA=BAD。BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD。（2）BDE=CAB（圆周角定理），BED=CBA=90，BEDCBA，。BD=BA =12，BC
6、=5，根据勾股定理得：AC=13。，解得：。（3）证明：连接OB，OD，在ABO和DBO中，ABODBO（SSS）。DBO=ABO。ABO=OAB=BDC，DBO=BDC。OBED。BEED，EBBO。OBBE。OB是O的半径，BE是O的切线。【解析】试题分析：（1）根据BD=BA得出BDA=BAD，再由圆周角定理BCA=BDA即可得出结论。（2）判断BEDCBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度。（3）连接OB，OD，证明ABODBO，推出OBDE，继而判断OBDE，可得出结论。4解：（1）证明：连接OC，PD为圆O的切线，OCPD。BDPD，OCBD。OCB=CBD。OC=OB，OC
7、B=OBC。CBD=OBC，即BC平分PBD。（2）证明：连接AC，AB为圆O的直径，ACB=90。ACB=CDB=90，ABC=CBD，ABCCBD。，即BC2=ABBD。（3）PC为圆O的切线，PAB为割线，PC2=PAPB，即72=6PB，解得：PB=12。AB=PBPA=126=6。OC=3，PO=PA+AO=9。OCPBDP，即。BD=4。【解析】（1）连接OC，由PD为圆O的切线，由切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证。（2）连接AC，由AB为圆O的直径，
8、利用直径所对的圆周角为直角得到ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及（1）的结论得到一对角相等，确定出ABC与BCD相似，由相似得比例，变形即可得证。（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PBPA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到PCO与DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长。5解：（1）证明：连接OA ，BC为O的直径，BAC=90。B+ACB=90。 OA=OC，OAC=OCA。CAD=B，CAD+OAC=90，即OAD=90。OAAD。点A在圆上 AD是O的切线 。（2）CEAD ，CED=OAD=90 。
9、CEOA。CEDOAD。CE=2，设CD=x，则OD=x+8， ，解得x=。经检验x=是原分式方程的解，CD的长为。【解析】试题分析：（1）连接OA ，证明OAAD即可。（2）由CEDOAD得比例式，求解即可。6解：（1）证明：如图，AD是ABC的角平分线，1=2。ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3，ADE=DAE。ED=EA。ED为O直径，DFE=90。EFAD。点F是AD的中点。（2）连接DM，EF：FD=4：3，设EF=4k，FD=3k。在RtDEF中，根据勾股定理理，得ED=5k。AE= ED=5k，AD=2 FD=6k。ADEF=AEDM，。在RtDEM中，根据勾股定理理，得，
10、。（3）B=3，AEC为公共角，AECBEA。AE：BE=CE：AE，即AE2=CEBE。由（2）设定得，（5k）2=k（10+5k）。k0，k=2。CD=k=5。【解析】试题分析：（1）由AD是ABC的角平分线，B=CAE，易证得ADE=DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EFAD，由等腰三角形三线合一的性质，即可判定点F是AD的中点。（2）连接DM，设EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案。（3）易证得AECBEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k（10+5k），解
11、此方程即可求得答案。7解：（1）证明：连接CD，AD是O的直径，ACD=90。CAD+ADC=90。又PAC=PBA，ADC=PBA，PAC=ADC。CAD+PAC=90。PAOA。又AD是O的直径，PA是O的切线。（2）由（1）知，PAAD，又CFAD，CFPA。GCA=PAC。又PAC=PBA，GCA=PBA。又CAG=BAC，CAGBAC。，即AC2=AGAB。AGAB=12，AC2=12。AC=。（3）设AF=x，AF：FD=1：2，FD=2x。AD=AF+FD=3x。在RtACD中，CFAD，AC2=AFAD，即3x2=12。解得；x=2。AF=2，AD=6。O半径为3。在RtAFG中，AF=2，GF=1，根据勾股定理得：。由（2）知，AGAB=12，。连接BD，AD是O的直径，ABD=90。在RtABD中，sinADB=，AD=6，sinADB=。ACE=ACB=ADB，sinACE=。【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出ACD=90以及利用PAC=PBA得出CAD+PAC=90进而得出答案。（2）首先得出CAGBAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的长，根据勾股定理得即可得出sinADB=，利用ACE=ACB=ADB，求出即可。
