1、1qn1qa1&qn1&q1a1qnq1a1q1.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_自我检测“bac”是“a、b、c成等比数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件c充要条件D既不充分也不必要条件2若数列an的前n项和Sn3na，数列an为等比数列，则实数a的值是A3B1c0D13设f2242723n1，则f等于A.27B.27c.27D.274已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则an等于A8&32nB8&23nc8&32n1D8&23n15设an是公比为q的等比数列，|q|&1
2、，令bnan1，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列an中，a1an66，a2&an1128，Sn126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN*.证明数列an1是等比数列；求an的通项公式以及Sn.变式迁移2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nanSn2n求a2，a3的值；求证：数列Sn2是等比数列探究点三等
3、比数列性质的应用例3在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且1a11a21a31a41a52，求a3.变式迁移3已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列an的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项【答题模板】解设数列an的公比为q，若q1，则Snna1，S2n2na12Sn.S2n65602Sn160，q1，2分由题意得a1&1q80，a1&1q
4、2n&1q6560.4分将整体代入得806560，qn81.6分将qn81代入得a180，a1q1，由a1&0，得q&1，数列an为递增数列8分ana1qn1a1q&qn81&a1q54.a1q23.10分与a1q1联立可得a12，q3，a2n232n112分【突破思维障碍】分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1&0,0&1时为递增数列；1时为递减数列；当q&0时为摆动数列；当q1时为常数列函数的思想：等比数列的通项公式ana1qn1a1q&qn常和指数函数相联系整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11q当成
5、整体求解本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1&1q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用等比数列的通项公式、前n项公式分别为ana1qn1，Snna1，q1，a1&1q，q1.2等比数列的判定方法：定义法：即证明an1anq中项法：证明一个数列满足a2n1an&an23等比数列的性质：anam&qnm；若an为等比数列，且klmn，则ak&alam&an；设公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或
6、q1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若an是等比数列，且an&0，则lgan构成等差数列一、选择题设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于A.152B.314c.334D.1722设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2等于A11B8c5D113在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5等于A33B72c84D1894等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T
7、17，T25中也是常数的项是AT10BT13cT17DT255记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则S10S5等于A3B5c31D33题号2345答案二、填空题6设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_7在等比数列an中，公比q2，前99项的和S9930，则a3a6a9a99_.8在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.三、解答题9已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列求数列an的通项；求数列2an的前n项和Sn.0已知数列log2为等差数列，且a13，a25.数列an1是等比
8、数列；求1a2a11a3a21an1an的值1已知等差数列an的首项a11，公差d&0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3cXX.公比q2.a1&qn14.qnmak&an递增递减常摆动6.qnD2.B3.B4.c5.9课堂活动区例1解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1
9、和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：a21q42a21q6a21q8100，a21q42a21q6a21q836.，得4a21q664，a21q616.代入，得16q221616q2100.解得q24或q214.又数列an为正项数列，q2或12.当q2时，可得a112，an122n12n2，Sn12122n112；当q12时，可得a132.an3212n126n.Sn32112n1126426n.方法二a1a5a2a4a23，a2a6a3a5，a3a7a4a6a25，由a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，可得a
10、232a3a5a25100，a232a3a5a2536，即2100，236.a3a510，a3a56.解得a38，a52，或a32，a58.当a38，a52时，q2a5a32814.q&0，q12，由a3a1q28，得a132，an32Sn3226n121126426n.当a32，a58时，q2824，且q&0，q2.由a3a1q2，得a12412.2n12n2.Sn12212n112.变式迁移1解由题意得a2&an1a1&an128，a1an66，解得a164，an2或a12，an64.若a164，an2，则Sna1anq1q642q1q126，解得q12，此时，an264&12n1，n6.
11、若a12，an64，则Sn264q1q126，q2.an642&2n1.n6.综上n6，q2或12.例2解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：an1anqa2n1anan2证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法证明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn21，即an12an1，从而an112，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212，故总有an112，nN*，又a15，a110，从而an11an12，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列解由得an16&2n1，
12、所以an6&2n11，于是Sn6&12n6&2nn6.变式迁移2解a12a23a3nanSn2n，当n1时，a1212；当n2时，a12a24，a24；当n3时，a12a23a326，a38.证明a12a23a3nanSn2n，当n2时，a12a23a3an1Sn12得nanSnSn12nSn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22S1240，Sn120，Sn2Sn122，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例3解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am&anap&aq”，可以减少运算量，提高解题速度
13、解由已知得a11a21a31a41a5a1a5a1a5a2a4a2a4a3a23a1a2a3a4a5a238a232，a234，a32.若a32，设数列的公比为q，则2q22q22q2q28，即1q21q1qq21q122q122124.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.变式迁移3解a3a11a274a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.a1a2a3a4a1&a1q&a1q2&a1q3a41q61.a13a14a15a16a1q12&a1q13&a1q14&a1q15a41&q548.：a41&q54a41&q6q488⇒q162，又a41
14、a42a43a44a1q40&a1q41&a1q42&a1q43q166a41&q6&q160&101&2101024.课后练习区Ban是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q&0，且a231，即a31.S37，a1a2a31q21q17，即6q2q10.故q12或q13，a11q24.S541128314.2A由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则S5S2a1a111.3c由题可设等比数列的公比为q，则31q21&1qq27&q2q60&0，根据题意可知q&0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4ca3a6a18a31q25173a39，即a9为定值
15、，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值5D因为等比数列an中有S32，S618，即S6S3a11qa11q1q31829，故q2，从而S10S5a11qa11q1q512533.6127解析公比q4a5a116，且q&0，q2，S712712127.7.1207解析S9930，即a130，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a994a1184a1747301207.84n1解析等比数列an的前3项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a121a121，a11，an14n14n1.9解由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比
16、数列，得12d118d12d，解得d1或d0故an的通项an11n.由知2an2n，由等比数列前n项和公式，得Sn222232n2122n12.0证明设log2log2d，因为a13，a25，所以dlog2log2log24log221，所以log2n，所以an12n，所以an1an112，所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列解由可得an1&所以an2n1，所以1a2a11a3a21an1an12221232212n12n1212212n112n.1解由已知有a21d，a514d，a14113d，2解得d2an1&22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn3&3n23n1.由c1b1c2b2cnbnan1得当n2时，c1b1c2b2cn1bn1an.两式相减得：当n2时，2bn2&3n1又当n1时，c1b1a2，32&3n1.c1c2c3cXX3623XX1333XX.
