1、空间图形的位置关系空间图形的位置关系一、选择题1若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.2如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面P
2、AD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案：A解题思路： DAAB，DAPA，ABPAA， DA平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥PABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1DAPB， CD1D90，故平面PAD与平面PBC不垂直3设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件
3、的判断，意在考查考生的逻辑推理能力解题思路：依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A.4若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列结论正确的是()A若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线B若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线C已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则nDm，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直答案：B解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题；在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题；在C中：n可以平行于，
4、也可以在内，也可以与相交，故C为假命题；在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题故选B.5如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为()A4 B2C D.答案：D解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论MDN如何变化，点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面，其面积为.
5、技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡6如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线；直线BE与直线AF是异面直线；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是()A BC D答案：B解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EF
6、AD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线；直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确；直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的；由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确故选B.技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的二、填空题7如图，四边形AB
7、CD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE1，AED30，则异面直线BC与AE所成角的大小为_答案：45解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，所以EC平面ABCD.在RtECD中，EC1，CD1，故ED.在AED中，AED30，AD1，由正弦定理可得，即sin EAD.又因为EAD(0，90)，所以EAD45.故异面直线BC与AE所成的角为45.8给出命题：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线；两异面直线a，b，如果a平行于平面，那么b不平行于平面；两异面直线a，b，如果a平面，那么b不垂直于平面；
8、两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线上述命题中，真命题的序号是_答案：解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题；两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题；若b，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题；两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题9如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_答案：
9、16命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x3，正六棱锥的体积V(9x2)6(x3)(x33x29x27)，其中0x3，则V(3x26x9)0，令x22x30，解得x1或x3(舍)，故VmaxV(1)(13927)16.10已知三棱锥PABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，则三棱锥与球的体积之比为_答案：命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力解
10、题思路：依题意，AB2R，又，ACB90，因此ACR，BCR，三棱锥PABC的体积VPABCPOSABCRRRR3.而球的体积V球R3，因此VPABCV球R3R3.三、解答题11.如图，四边形ABCD与AABB都是正方形，点E是AA的中点，AA平面ABCD.(1)求证：AC平面BDE；(2)求证：平面AAC平面BDE.解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行；第二问由AA与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面AAC垂直，从而得到平面与平面垂直解析：(1)设AC交BD于M，连接ME. 四边形ABCD是正方形， M为AC的中点又 E为AA的中点，
11、ME为AAC的中位线， MEAC.又 ME平面BDE，AC平面BDE， AC平面BDE.(2) 四边形ABCD为正方形， BDAC. AA平面ABCD，BD平面ABCD， AABD.又ACAAA， BD平面AAC. BD平面BDE， 平面AAC平面BDE.12.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，
12、从而证明线线的垂直关系并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系解决本题的关键是学会作图、转化、构造解析：(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D， DCDD1， 四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D， AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1， ADD1C. AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D， D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1， D1CAC1.(1)题图(2)题图(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1A1DM，BDAEN，连接MN. 平面AD1E平面
13、A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点又易知ABNEDN， ABDE.即E是DC的中点综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.13.已知直三棱柱ABCABC满足BAC90，ABACAA2，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥CMNB的体积命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力解析：(1)证明：如图，连接AB，AC， 四边形ABBA为矩形，M为AB的中点， AB与AB交于点M，且M为AB的中点，又点N为BC的中点 M
14、NAC.又MN平面AACC且AC平面AACC， MN平面AACC.(2)由图可知VCMNBVMBCN， BAC90， BC2，又三棱柱ABCABC为直三棱柱，且AA4， SBCN244. ABAC2，BAC90，点N为BC的中点， ANBC，AN.又BB平面ABC， ANBB， AN平面BCN.又M为AB的中点， M到平面BCN的距离为， VCMNBVMBCN4.14.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积命题立意：本题主要考查线面垂直的判
15、定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想解析：(1)证明：在ABD中，因为AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB2.故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，所以平面MBD平面PAD.(2)过点P作OPAD交AD于点O，因为平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因此PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，所以PO42.在四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四边形ABCD是梯形在RtADB中，斜边AB上的高为，此即为梯形ABCD的高所以四边形ABCD的面积S24.故四棱锥PABCD的体积VPABCD24216.
