1、2.简单理解：般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1.奇偶性辨析例1.下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的 图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=O（xR）,其中正确命题的个 数是A. 1 .2 C分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一沱相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若y二f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f （x）二0,但不一泄xR,如例1中的（3）,故错 误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关
2、于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） = x （x2l）;（2）f （x） =&+；（3）f （x） =Jx-2+2-x；（4）f （x）=寸 lx? Jx2-1 ；（5）f （x） = （x1）解析（1）此函数的定义域为R.Vf（-） = -（-）2+l = x （x2+l）=f（x）,f（-）=f （x）,即 f（x）是偶函数.（2）此函数的定义域为x0,由于定义域关于原点不对称，故f（x）既不是奇函数 也不是偶函数.（3）此函数的定义域为2,由于定义域关于原点不对称，故f（x）既不是奇函数也 不是偶函数.（4）此函数的定义域为1, - 1,且f（x）=O,可
3、知图像既关于原点对称，又关 于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数.l-x0（5）定义域：+ C -lxl是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非 偶函数.2.奇偶性的应用例 3.已知函数/（）对一切XiyeRr 都有 f（ + y） = f（） + f（y）,（1）求证:/（A）是奇函数；（2）若/（-3）= “，用表示/（12）解： 显然/（）的定义域是，它关于原点对称在f（+y） = f（） + JXy）中，令y = _x,得/（O） = （x）+（-）1 4 = j=o, /（O） = （O）+/（0）,.（0） = 0, A/（X）+ /（-X）= O1 即 f （-X） =-f （
4、X）t . /（）是奇函数（2）由 /（-3） = 5 f（+y） = f（）+f（y）及/（X）是奇函数，得/（12） = 2/=4/（3） = -4/（-3） = -4“例4. （1）已知./V）是上的奇函数，且当x（0,+od）时，/（x） = （1 + 7）,则/（）的解析式为/JE呻g（l-.v）,0时，/3为增函数，x,0,且Ix1KIx2I,则 0例5设为实数，函数f（x） = x +x-a+ , XeR（1）讨论/（x）的奇偶性；（2）求/（）的最小值（1）当 G=O 时，/（-） = （-X2）+I-A-1+1 =/（A）1 此时/3 为偶函数；当工0 时，f（a） = a
5、+ , f（-a） = a + 2 Ir/1+1,/（-） /），/（-d） 此时函数/（X）既不是奇函数也不是偶函数1r 3（2）1 当 xa 时，函数 f（x） = X2 -x + a + = （x-）2 + a + - I24若as,则函数/（）在（,上单调递减，.函数/在上的最小值为厶f（a） = a2 + ；1 1 3 1若 亍 函数/（x）在（o,上的最小值为/（-） = - + ,且/（-） fa）（2）当X 2, 4时，求f（x）的解析式；（3）计算 f（0） +f（l） +f（2） +*+f（2 011）解（1）证明:Tf（X+ 2）=f（x）,f （x+4） = f （x
6、+ 2） =f （x）f（x）是周期为4的周期函数.（2）当 x 2, 0时，x 0, 2,由己知得f （x） =2（x） （X）2=2xX2,又 f （x）是奇函数,.f （-X）=f （x） =2xx,.*. f （x） =x + 2x.又当 W2,4时,-4-2, 0,f （-4） = （x-4）2 + 2（x-4）又f（x）是周期为4的周期函数， f （x） =f（-4） = （x-4）2+2（x-4） =x2-6x+8.从而求得 X 丘2, 4时，f（x） =x26x+8.（3）f（0）=0, f（2）=0, f（l）=l, f（3）=-l. f （0） +f（l） f （2） +f
7、（3） =f（4） +f（5） +f （6） +f（7） = = f （2 008） +f（2 009）+f （2 010）+f（2 011）=0.f（0） +f（l） +f（2） + + f（2 011） =0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R的函数f （x）=亍趙是奇函数.1求a、b的值；2若对任意的tWR,不等式f（F-2t）+f（2t2-k）0恒成立，求k的取值范 围.解:（DVf（X）是定义在R上的奇函数,f（0） =0,l-2xa + 2x+u_112 1_2 又由f（l）=-f（-l）知冷=寸，解得a = 2.易知f（x）在（一8, +）上为减函数.又Vf（X）是
8、奇函数,从而不等式f（-2t）+f（2t2-k）0等价于f（t2-2t）k2t2,即对任意的 t R 恒有：3t-2tk0,从而 =4+12k0, k0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2.已知y =（x+l）是偶函数，则函数y =f（x）的图象的对称轴是（ ）A X= 1 B X 1C.兀=* D. X=*选A.Vy=（x+l）是偶函数，J（l+x）=（l-）,故/关于直线x=l 对称.3.函数U）=x3 + siul（R）,若Jta） = 2,则J（a）的值为（ ）A.3 B. 0C. 一1 D. -2选（fl）=3sin 1,）=（-）3+sin（-d）+1 = Rsin+1,
9、 +得 /（d）+-） = 2,J（-d） = 2-（d） = 2-2=0.24.函数Q）=I有去（xR）（ ）A.既不是奇函数又不是偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.是偶函数但不是奇函数D.是奇函数但不是偶函数2 2A-I选D.=市一汀，、2r-l 1-2 2- 1/（_町=2-*+ = +2X= -2 I =/S）又其定义域为R, ：.JIX）是奇函数.5.定义在R上的偶函数y=Jx）满足yU+2）=（X）,且当x（0,l时单调递 增，贝J（）A- 4）-5）D- -5）4IJ0时，Q）=&+1,则当X 0l,几r）=0+l, 当XVO时，一x0,JIX） =-）= （- + 1）, 即
10、x（2g）= x=O, L-X2-2-3 XV0.（Ig）的定义域为T,1,关于原点对称 又人一1）=/（1）=0.（T）=（1）且/（1）=-/（1）,J（x）既是奇函数又是偶函数.当兀=O时，一x=0,/（x）=O） = O,人一X）=/（O）=0,D =/（%）2当x0时，一xv,:.A-X）=-（-）1-2（-）-3= -（x2-2x3） = -y（x）.3当XVO时，一 ./（-X）= （-）2-2（-X）+3=（-22-3）= -J（X）由可知，当xR时，都有Jt-X） =-f（x）,（x）为奇函数10.已知奇函数/的定义域为 2,2,且在区间-2,0内递减，求满足： /（1一加）
11、+/（1加2）Vo的实数7的取值范围.Vy（X）的定义域为-2,2,-2l-n有 ;-2Ym22 解得-13 又/W为奇函数，且在一2,0上递减， 在-2,2递减，.*./（ 1 n）nr 1,即 2m.综合可知，一197V1.1. （2012.高考天津卷）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数 的为（）A. y=cos 2r, xR B. y=log2刘，xR 且x0QXe XC. y=T）, xR D. J=X3 1, xR选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间（1,2）内为增函 数，而此时y=log2xl=log2-为增函数，所以选择B.2.（2011-高考山东卷
12、）己知/（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当 OSrV2时，fM=x3-,则函数y=Jx）的图象在区间0,6上与兀轴的交点的个数为 （）A. 6 B. 7C. 8 D. 9选 B.令 JlX）=X3-=0f即 （x+1）（x-1）=0,所以 x=0J, 1,因为0a2,所以此时函数的零点有两个，即与X轴的交点个数为2.因为/（x）是R上最小正周期为2的周期函数，所以2 4,4x6上也分别有两个零点，由 y（6）=y（4）=2）=）=o,知x=6也是函数的零点，所以函数y =J（X）的图象在区间0,6上与X轴的交点个数为7.二、 填空题3.若人兀）=+是奇函数，则= （x）为奇函数，V（x
13、）=/W，即。丄+=尹+_位，得：2 =1, Cl = 2I4.（2013-长春质检）设用）是（一8, +oo）上的奇函数，且-+2）=-y（x）,下面关于7U）的判定：其中正确命题的序号为 .14） = 0；2是以4为周期的函数；3ZU）的图象关于X= 1对称；4/的图象关于X=2对称.了（x+2）=/U）, = -J（X +2） = -（-y（x+22）=x+4）,即人切的周期为4,正确.Q）为奇函数，（4）=0） = 0,即正确.又.（+2）=-U）=（-）,VAX）的图象关于x=l对称，正确，又7（l）=-（3）,当l）0时，显然/的图象不关于x=2对称，错 误.三、 解答题5.己知函数/（x）=x2 + l-l+1, R.（1）试判断/（x）的奇偶性；（2）若一壬dwy求yu）的最小值.（1）当=0时， 函数 /（X）=（X）2+1 xl +1 =J（X）, 此时，几r）为偶函数.当 0 时，/（）=2+l, 7（-）=2+2II+1,心）冯（一a）, Ja）-J-a）f此时，几X）既不是奇函数，也不是偶函数.（2）当 xa 时，函数/（）=x2x-+1 =x2- V-,故函数/在, +o）上单调递增， 从而函数/（X）在, +oo）上的最小值为/（）=R+1. 综上得，当一*令时，函数r）的最小值为2I.
