1、 BE 与 DF 之间的关系： （2）请证明你的猜想16如图， E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEDF求证： 1=218如图， BD 是 ?ABCD 的对角线， ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E， CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F求证： 四边形 DEBF 为平行四边形19如图，在 ?ABCD 中，对角线 AC 与 BD交于点 O，已知点 E、F分别为 AO、OC 的中点，证明：四边形 BFDE 是平行四边形20如图所示， A，E，F，C在一条直线上， AE=CF ，过 E，F分别作 DEAC，BFAC，若 AB=CD ，可以得到 BD 平分 E
2、F，为什么？说明理由21如图， ABC 的中线 BD、CE交于点 O，F、 G分别是 OB、OC 的中点 求证： EF=DG 且 EF DG22已知如图所示， ?ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，GH过点O，分别交 AD、BC于G、H，E、F在AC 上且参考答案与试题解析考点 ： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质分析： 根据平行四边形性质求出 AD BC ，且 AD=BC ，推出 ADE=CBF，求出 DE=BF ，证 ADE CBF， 推出 DAE=BCF 即可解答： 证明： 四边形 ABCD 为平行四边形， AD BC ，且 AD=BC ， ADE= CBF又
3、 BE=DF ， BF=DE ， 在 ADE 和 CBF 中，ADE CBF ， DAE= BCF 点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出 ADE 和 CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力 根据平行四边形的性质得出 AB=CD，B=D，根据 SAS证出ABECDF 即可推出答案 解答： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， B= D ， BE=DF ，ABE CDF ， AE=CF 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出 ABE CDF 是证此题的关键3如图，四边形 A
4、BCD 是平行四边形， E、 F分别是 BCAD 上的点， 1=2求证： ABE CDF全等三角形的判定 利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件 解答： B=D ，AB=CD ， 在： ABE 与 CDF 中，ABE CDF （ASA ） 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解 决本题的关键4如图，已知：平行四边形 ABCD 中， E 是 CD 边的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于 F 点求证： BC=DF 考点：平行四边形的性质；由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AD BC，根据平
5、行线的性质即可求得 EBC= F，C=EDF，又 由 E 是 CD 边的中点，根据 AAS 即可求得 EBC EFD ，则问题得证证明： AD BC ， EBC= F， C=EDF，又 EC=ED ，EBCEFD（AAS ）， BC=DF 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结 合思想的应用5（2013?莒南县二模）如图，在 ?ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，点 E、点 F分别是 OA、OC 的中点，请判断线段 根据平行四边形的性质对角线互相平分得出 OA=OC ，OB=OD ，利用中点的意义得出 OE=OF ，从而利用平行四边形的判
6、定定理 “对角线互相平分的四边形是平行四边形 ”判定 BFDE 是平行四边形， 从而得出 BE=DF ， BE DF 解：由题意得： BE=DF ， BEDF理由如下： 连接 DE 、BF ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OB=OD ， E， F分别是 OA，OC 的中点， OE=OF ， BFDE 是平行四边形， BE=DF ， BEDF 本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用性质： 平行四边形两组对边分别平行； 平行四 边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边
7、形是平行四边形； 两组对角 分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形6已知：如图， ?ABCD 中， E、F 是对角线 AC 上的点，且 AE=CF 求证： 根据平行四边形的性质得出 AB DC，AB=CD ，根据平行线的性质推出 BAC= DCF，根据 SAS证出即 可 AB DC ， AB=CD ， BAC= DCF， AE=CF ，ABE CDF 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证 ABE CDF 的三个条件是解此题的关键7如图，已知在 ?ABCD 中，过 AC
8、 中点的直线交 CD， AB 于点 E，F求证： 根据平行四边形的性质得到 DC=AB ，DCAB，根据平行线的性质得到 ECA= BAC ， CEO= AFO ， 能推出 AOF COE，得到 CE=AF ，即可证出答案 DC=AB ， DC AB ， ECA= BAC ，CEO=AFO， OA=OC ， AOF COE ， CE=AF ， DC=AB ， DE=BF 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解 此题的关键是根据平行四边形的性质证出 AOF 和 COE 全等 等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判
9、定 根据等腰三角形性质求出 B=C，根据等腰三角形性质推出 AEC= B= C，推出 AECD，根据平行 四边形的判定推出即可是平行四边形，理由： 四边形 ABCD 是等腰梯形， AD BC， AB=DC ， B= C， AB=AE ， AEB= B ， AEB= C， AEDC ， 又ADBC ， 四边形 AECD 是平行四边形 本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应 用，关键是根据题意推出 AE CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强全等三角形的判定与性质；连接 BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形
10、性质求出 OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF ，根据平 行四边形的判定推出四边形 BEDF 是平行四边形即可连接 BE，DF， BD，BD 交 AC 于 O， 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OD=OB ， 四边形 BEDF 是平行四边形， 本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此 题的证明方法二是证 AED CFB ，推出 DE=BF 四边形 ABCD 是平行 四边形 平行四边形的判定； 求出AED=CFB=90，根据 HL 证RtAEDRtCFB，推出 ADE=CBD，得到 AD BC ，根据平 行四边形的判定
11、判断即可 AEBD，CFBD ， AED= CFB=90 在 Rt AED 和 RtCFB 中 Rt AED Rt CFB（ HL ）， ADE= CBD ， AD=BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出 AD BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力11如图，在ABC 中，AD 是中线，点 E是 AD 的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE 的延长线于点 F，连接 BF 求证：四边形 AFBD 是平行四边形平行四边形的判定；专题 ：证明题求出 AE=DE，AFE=DCE，证AEFCED，推出 A
12、F=DC ，得出 AFBD，AF=BD，根据平行四边 形的判定推出即可 E 为 AD 中点， AE=DE ， AF BC ， AFE= DCE ， 在 AEF 和 CED 中AEFCED（AAS ）， AF=DC ， AD 是 ABC 的中线， BD=DC ， AF=BD ，即 AFBD ，AF=BD ， 故四边形 AFBD 是平行四边形 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出 AF=DC=BD 12如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC，AB=DC ，DEAB，AD+DC=BC 求证：（2） DEC 是等边三角形等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质 （
13、 1）证出平行四边形 ABED ，推出 DE=AB ，即可推出答案；（2）根据 BE=AD ，AD+DC=BC ，BE+EC=BC ， 推出 DC=EC 即可证出答案（1）AD BC，DEAB， 四边形 ABED 是平行四边形， DE=AB ， AB=DC ， DE=DC （ 2）证明： BE=AD ，AD+DC=BC ， BE+EC=BC ， DC=EC ， 由（ 1）知： DE=DC ， DE=DC=EC ， DEC 是等边三角形 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握， 证出平行四边形 ABED 和 DC=EC 是解此题的关键如图， E
14、、F是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AE=CF 求证：（2）连接 DE、 BF，试判断四边形 DEBF 的形状，并说明理由 平行四边形的判定与性质； （ 1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到 AD与BC平行且相等，由AD 与BC平行得到内错角 DAF与BCA 相等，再由已知的 AE=CF ，根据 “SAS”得到 ADF 与CBE 全等；（2）由（ 1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到 DF与EB 相等且DFA与BEC相等，由内错角相等两直线平行得到 DF与BE 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形 DEBF的形状（ 1） ABCD 是平行
15、四边形， AD=BC ，ADBC（1 分）DAF=BCA（2 分）， AE=CF ， AE+EF=CF+EF ，即 AF=CE （ 3 分）ADFCBE（4 分）（ 2）四边形 DEBF 是平行四边形（ 5 分）ADF CBE ，DFA=BEC，DF=BE ， DF BE，四边形 DEBF 是平行四边形（ 6 分） 本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质其中第 2 问是一道先试验猜想， 再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热 点试题14如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在 AB、BC、CD、A
16、D 边上且 AE=CG ， AH=CF 平行四边形的判定与性质；易证得 AEH CGF，从而证得对应边 BE=DG 、DH=BF 故有BEF DGH ，根据两组对边分别相等 的四边形是平行四边形而得证在平行四边形 ABCD 中， A= C（平行四边形的对边相等） ； 又AE=CG，AH=CF （已知）， AEH CGF（ SAS）， EH=GF （全等三角形的对应边相等） ； 在平行四边形 ABCD 中， AB=CD ，AD=BC （平行四边形的对边相等） ， AB AE=CD CG ， AD AH=BC CF，即 BE=DG ，DH=BF 又 在平行四边形 ABCD 中， B= D， BEF
17、 DGH ； GH=EF （全等三角形的对应边相等） ； 四边形 EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法15如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F是对角线 AC 上的点，且 AE=CF （ 1）猜想探究： 平行且相等 （2）请证明你的猜想（ 1）BE 平行且等于 DF；（2）连接 BD 交 AC 于O，根据平行四边形的性质得出 OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF，得出平行四边形 BEDF 即可（ 1）
18、解： BE 和 DF 的关系是： BE=DF ，BE DF， 故答案为：平行且相等连接 BD 交 AC 于 O， AE=CF ， OE=OF ， BFDE 是平行四边形， BE=DF ， BEDF 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行 推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能 力由三角形全等 （ABE CDF）得到 BE=DF ，所以四边形 BFDE 是平行四边形， 根据对角相等即可得证 四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ， AB=CD ， AB CD （平行四边形的对边平行且相等
19、） ， BAE= DCF （两直线平行，内错角相等） ； BE DF （已知）， BEF= DFE（两直线平行，内错角相等） ， AEB= CFD（等量代换），ABE CDF （AAS ）； BE=DF （全等三角形的对应边相等） ， BE DF， 四边形 BEDF 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形） ， 1=2（平行四边形的对角相等） ED=BF 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用平行四边形的判定定理： 对边平行且相等的四边形是平行四边形17如图，已知 E， F分别是?ABCD 的边 AB，CD的中点求证： 平行四边形的判定与性质 根据平行
20、四边形的性质得到 AB CD，AB=CD ，根据线段的中点的定义得到 EB= AB ，DF= CD，即 BE=DF ，BEDF，得到平行四边形 EBFD ，根据平行四边形的性质即可得到答案 AB CD ， AB=CD ， E， F分别是 ?ABCD 的边 AB，CD 的中点， EB= AB ，DF= CD ， BE=DF ， 四边形 EBFD 是平行四边形， ED=BF 本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是 解此题的关键角平分线的定义 根据平行四边形性质和角平分线定义求出 FDB= EBD ，推出 DFBE，根据平行四边形的判定判断即可
21、解答：AD BC，AB CD，CDB=ABD ，DF 平分 CDB，BE 平分 ABD ，ABD FDB= EBD ， AD BC ，即 ED BF， 四边形 DEBF 是平行四边形 本题考查了角平分线定义， 平行四边形的性质和判定等的应用， 关键是推出 DF BE，主要检查学生能否运 用定理进行推理，题型较好，难度适中利用“平行四边形的对角线互相平分 ”的性质推知 OA=OC ， OB=OD ；然后由已知条件 “点 E、F分别为 AO、 OC 的中点 ”可以证得 OE=OF ；最后根据平行四边形的判定定理 “对角线相互平分的四边形为平行四边形 ”即 可证得结论 OA=OC ， OB=OD （
22、平行四边形的对角线互相平分） 又点 E、F分别为 AO、OC 的中点， OE=OF 四边形 BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形） 本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联 系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法垂线；直角三角形全等的判定；求出 AFB=CED=90，DEBF，推出 AF=CE ，连接 BE、DF，根据 HL 证 RtABFRtCDE，推出 DE=BF ，得出平行四边形 DEBF ，根据平行四边形的性质推出即可解： BD 平分 EF，理由是： 证法一、连接 BE、 DF DEAC ，BFAC， AFB= CED=90 ，DE BF， AE+EF=CF+EF ，即 AF=CE ，在 RtABF 和 Rt CDE 中 Rt ABF RtCDE， DE=BF ， DE BF， 四边形
