1、8、周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中；某些特征有规律循环出现.周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期.确定循环周期.闰 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除；则年份必须能被400整除；平 年：一年有365天.年份不能被4整除；但不能被400整除；9、平均数平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和基本算法：求出总数量以及总份数；利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系；确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准；求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；
2、再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和；就是所求的平均数；具体关系见基本公式10、抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里；那么必有一个抽屉中至少放有2个物体.例：把4个物体放在3个抽屉里；也就是把4分解成三个整数的和；那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式；我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体；也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里；其中nm；那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时.k=n/m个物
3、体：当n能被m整除时.理解知识点：X表示不超过X的最大整数.例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；构造物体和抽屉.也就是找到代表物体和抽屉的量；而后依据抽屉原则进行运算.11、定义新运算定义一种新的运算符号；这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算.严格按照新定义的运算规则；把已知的数代入；转化为加减乘除的运算；然后按照基本运算过程、规律进行运算.正确理解定义的运算符号的意义.注意事项：新的运算不一定符合运算规律；特别注意运算顺序.每个新定义的运算符号只能在本题中使用.12、数列求和等差数列：在一列数中；任意相邻两个数的差是一定的；这样的一列数；就叫做等差数列.首项：等差数列的
4、第一个数；一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数；一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差；一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式；一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和；一般用Sn表示等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量；如果己知其中三个；就可求出第四个；求和公式中涉及四个量；就可以求这第四个.通项公式：an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1）公差；数列和公式：sn,= （a1+ an）n2；数列和（首项末项）项数项数公式：n= （an+ a1）d1；项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）；公差=
5、（末项首项）（项数1）；确定已知量和未知量；确定使用的公式；13、二进制及其应用十进制：用09十个数字表示；逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义；十位上的2表示20；百位上的2表示200.所以234=200+30+4=2102+310+4.=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N=N（其中N是任意自然数）二进制：用01两个数字表示；逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义.（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n
6、-5+An-62n-7+A322+A221+A120An不是0就是1.十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点；用2连续去除这个数；直到商为0；然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可.先找出不大于该数的2的n次方；再求它们的差；再找不大于这个差的2的n次方；依此方法一直找到差为0；按照二进制展开式特点即可写出.14、加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法；在第一类方法中有m1种不同方法；在第二类方法中有m2种不同方法；在第n类方法中有mn种不同方法；那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法.确定工作的分类方法.基本特征：每一种方法都可完成任务.乘法原理
7、：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行；做第1步有m1种方法；不管第1步用哪一种方法；第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法；第n步总有mn种方法；m1m2.mn种不同的方法.确定工作的完成步骤.每一步只能完成任务的一部分.直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动；形成的轨迹.直线特点：没有端点；没有长度.线段：直线上任意两点间的距离.这两点叫端点.线段特点：有两个端点；有长度.射线：把直线的一端无限延长.射线特点：只有一个端点；数线段规律：总数1+2+3+（点数一1）；数角规律=1+2+3+（射线数一1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22
8、+33+行数列数15、质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外；没有别的约数；这个数叫做质数；也叫做素数.合数：还有别的约数；这个数叫做合数.质因数：如果某个质数是某个数的约数；那么这个质数叫做这个数的质因数.分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来；叫做分解质因数.通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的.分解质因数的标准表示形式：N= ；其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数；且a1a2a3an.求约数个数的公式：P=（r1+1）（r2+1）（r3+1）（rn+1）互质数：如果两个数的最大公约数是1；这两个数叫做互质数.16、约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被
9、b整除；a叫做b的倍数；b就叫做a的约数.公约数：几个数公有的约数；叫做这几个数的公约数；其中最大的一个；叫做这几个数的最大公约数.最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数；所得的几个商是互质数.2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数.3、 几个数的公约数；都是这几个数的最大公约数的约数.4、 几个数都乘以一个自然数m；所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m.例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6；记作（12；18）=6；求最大公约数基本方法：1、
10、分解质因数法：先分解质因数；然后把相同的因数连乘起来.2、短除法：先找公有的约数；然后相乘.3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除；能够整除的那个余数；就是所求的最大公约数.公倍数：几个数公有的倍数；叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个；叫做这几个数的最小公倍数.12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36；记作12；18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.求最小公倍数基本方法：1、短除法
11、求最小公倍数；2、分解质因数的方法17、数的整除基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a；除以一个自然数b；得到一个整数商c；而且没有余数；那么叫做a能被b整除或b能整除a；记作b|a.2、常用符号：整除符号“|”；不能整除符号“ ”；因为符号“”；所以的符号“”；整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除.2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除.3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除.4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除.5.能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除.逐次去掉最
12、后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除.6.能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除.7.能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除.整除的性质：1.如果a、b能被c整除；那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.2.如果a能被b整除；c是整数；那么a乘以c也能被b整除.3.如果a能被b整除；b又能被c整除；那么a也能被c整除.4.如果a能被b、c整除；那么a
13、也能被b和c的最小公倍数整除.18、余数及其应用对任意自然数a、b、q、r；如果使得ab=qr；且0rb,那么r叫做a除以b的余数；q叫做a除以b的不完全商.余数的性质：余数小于除数.若a、b除以c的余数相同；则c|a-b或c|b-a.a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数.a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数.19、余数、同余与周期同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相同；则称a、b对于模m同余.已知三个整数a、b、m；如果m|a-b；就称a、b对于模m同余；记作ab（mod m）；读作a同余于b模m.同余的性质：自
14、身性：aa（mod m）；对称性：若ab（mod m）；则ba（mod m）；传递性：bc（mod m）；则a c（mod m）；和差性：cd（mod m）；则a+cb+d（mod m）；a-cb-d（mod m）；相乘性：若a b（mod m）；则ac bd（mod m）；乘方性：则anbn（mod m）；同倍性:整数c；c（mod mc）；关于乘方的预备知识：若A=ab；则MA=Mab=（Ma）b若B=c+d则MB=Mc+d=McMd被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M；n表示M的各个数位上数字的和；则Mn（mod 9）或（mod 3）；一个自然数M；X表示M的各个奇数位上数字的和；
15、Y表示M的各个偶数数位上数字的和；则MY-X或M11-（X-Y）（mod 11）；费尔马小定理：如果p是质数（素数）；a是自然数；且a不能被p整除；则ap-11（mod p）.20、分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份；表示这样的一份或几份的数.分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）；分数的大小不变.分数单位：表示这样一份的数.百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数.常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考.对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系.转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答
16、.最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率.常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量.假设思维方法：为了解题的方便；可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立；计算出相应的结果；然后再进行调整；求出最后结果.量不变思维方法：在变化的各个量当中；总有一个量是不变的；不论其他量如何变化；而这个量是始终固定不变的.有以下三种情况：A、分量发生变化；总量不变.B、总量发生变化；但其中有的分量不变.C、总量和分量都发生变化；但分量之间的差量不变化.替换思维方法：用一种量代替另一种量；从而使数量关系单一化、量率关系明朗化.同倍率法
17、：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理.浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况.21、分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同；根据同分子分数大小和分母的关系比较.通分分母法：使所有分数的分母相同；根据同分母分数大小和分子的关系比较.基准数法：确定一个标准；使所有的分数都和它进行比较.分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时；分子或分母越大的分数值越大.倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小；除了运用以上方法外；可以用同倍率的变化关系比较分数的大小.（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较.倍数比
18、较法：用一个数除以另一个数；结果得数和1进行比较.大小比较法：用一个分数减去另一个分数；得出的数和0比较.倒数比较法：利用倒数比较大小；然后确定原数的大小.基准数比较法：每一个数与基准数比较.22、分数拆分将一个分数单位分解成两个分数之和的公式23、完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立.2.除以3余0或余1；3.除以4余0或余1；4.约数个数为奇数；反之成立.5.奇数的平方的十位数字为偶数；6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数.7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数.平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+
19、Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224、比和比例比：两个数相除又叫两个数的比.比号前面的数叫比的前项；比号后面的数叫比的后项.比值：比的前项除以后项的商；叫做比值.比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）；比值不变.比例：表示两个比相等的式子叫做比例.a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）；ad=bc.正比例：若A扩大或缩小几倍；B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）；则A与B成正比.反比例：B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）；则A与B成反比.比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺.按比例分配：把几个数按一定比
20、例分成几份；叫按比例分配.25、综合行程行程问题是研究物体运动的；它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.路程=速度时间；路程时间=速度；速度=时间确定运动过程中的位置和方向.相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）关键是确定物体所运动的速度；参照以上公式.过桥问题：关键是确定物体所运动的路程；主要方法：画线段图法已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇
21、时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量；求第三个量.26、工程问题工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间=工作总量工作效率假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）；利用上述三个基本关系；可以简单地表示出工作效率及工作时间.确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系.27、逻辑推理条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立；然后按照这个假设去判断；如果有与题设条件矛盾的情况；说明该假设情况是不成立的；那么与他的相反情况是成立的.例如；假设a是偶数成立；在判断过程中出现了矛盾；那么a一定是奇数.条
22、件分析列表法：当题设条件比较多；需要多次假设才能完成时；就需要进行列表来辅助分析.列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中；表格的行、列分别表示不同的对象与情况；观察表格内的题设情况；运用逻辑规律进行判断.条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时；就可用连线表示两个对象之间的关系；有连线则表示“是；有”等肯定的状态；没有连线则表示否定的状态.例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态；有连线表示认识；没有表示不认识.逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外；还要进行相应的计算；根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件.简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据；分析其中
23、存在的规律和方法；并从特殊情况推广到一般情况；并递推出相关的关系式；从而得到问题的解决.28、几何面积在一些面积的计算上；不能直接运用公式的情况下；一般需要对图形进行割补；平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等；使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律.1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等.3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点；解题时可把任意点设置在特殊位置上）.4.利用特殊规律等腰直角三角形；已知任意一条边都可求出面积.（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后；两腰部分面积相等.圆的面积占外接正方形面积的78.5%.
24、29、时钟问题快慢表问题1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；30、时钟问题钟面追及封闭曲线上的追及问题.确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差；分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格；每小格我们称为1分格.分针每小时走60分格；即一周；而时针只走5分格；故分针每分钟走1分格；时针每分钟走112分格.度数方法：从角度观点看；钟面圆周一周是360；分针每分钟转 360/60度；即6时针每分钟转360/12X60度；即1/2度.31、浓度与配比经验
25、总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系；进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比.溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质.溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂.溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液.溶液重量=溶质重量+溶剂重量；溶质重量=溶液重量浓度；浓度= 溶质/溶液100%=溶质/（溶剂+溶质）100%32、经济问题利润的百分数=（卖价-成本）成本100%；卖价=成本（1+利润的百分数）；成本=卖价商品的定价按照期望的利润来确定；定价=成本（1+期望利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格=不含税价格（1+增值税税率）；33
