1、a b c dx 9d c b a因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1; d和9相乘 的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上 的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0 （1已经用过）；再由b=0,可 推知c=8。练习三求下列各题中每个汉字所代表的数字。（1） 1华罗庚金杯X 3 华二 罗二 庚二（2）盼望祖国早日统一x 一 盼= 望= 祖= 国=盼盼盼盼盼盼盼盼盼 早二 日= 统= 一=例 4：在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这九个数字中间加上“、”两种运算符号，使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。1 2 3 4 5 6 7
2、8 9 = 100先凑出与 100 比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。比如： 123与 100比较接近，所以把前三个数字组成 123，后面的数字凑出 23 就行。因为 45 与 67 相差 22， 8 与 9 相差 1，所以得到一种解法：123 45 67 8 9=100再比如： 89与 100比较接近， 78与 67正好相差 11，所此可得另一种解法： 123 45 67 8 9=100练习四（ 1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。（ 2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。1 2 3 4 5 = 100例 5：在
3、下面的式子里添上括号，使等式成立。7X9+12+3 2 = 23采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等 25,又因为25X 3=75,而前面7X9+12又正好等于75,所以，应给前面两步运算加括 号。（7X9+12） +3 2 = 23练习五88+ 33- 11+11X2 = 5第 2 讲 变化规律例 1 ：两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12，减数应有什么变化？分析与解答：被减数减少 8，假如减数不变，差也减少 8；现在要使差减少 12，减数应增加 12 8=4。练习一1、两数相减，如果被减数增加 20，要使差减少 12，减数
4、应有什么变2、两数相减，减数减少 9，要使差增加 16，被减数应有什么变化？例 2：两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是 8,余数是20X 10=200。1、 两个数相除，商是 9，余数是 3。如果被除数和除数同时扩大 120倍，商是多少？2、两个数相除，商是 8，余数是 600。如果被除数和除数同时缩小 100例 3：两数相乘，积是 48。如果一个因数扩大 2倍，另一个因数缩小 3倍，那么积是多少？一个因数扩大 2 倍，积扩大 2 倍；另一个因数缩小 3 倍，积
5、缩小3倍。所以最后的积是48X2 + 3=32。1、 两数相除，商是 19。如果被除数扩大 20倍，除数缩小 4倍，那么商是多少？2、两数相除，商是 27。如果被除数扩大 12 倍，除数扩大 6 倍，那么商是多少？小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的 1 错误地写成 7，把另一个加数十位上的 3 错误地写成 8，所得的和是 1996。原来两个数相加的正确答案是多少？根据题意，一个加数个位上的 1 被写成了 7，这样错写一个加数比原来增加了 6；另一个加数十位上的 3 写成 8，增加了 50。这样，所得的结果就比原来增加了 6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是： 1996（ 6
6、56） =1940。1、 小强在计算加法时，把一个加数十位上的 7 错写成 1 ，把个位上的 8错写成 0，所得的和是 285。正确的和是多少？2、小亮在计算加法时，把一个加数个位上的 5 错写成 3，把另一个加数十位上的 3 错写成 8，所得的和是 650。王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3 错写成 5，把十位上的 6 错写成 0，这样算得差是 189。正确的差是多少？根据题意，被减数个位上的 3写成 5，因此增加了 2；十位上的 6 写成 0，因此减少 60。这样错写的被减数比原来减少了 60 2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多 50。正确的差
7、 189 58=247。1、小刚在做题时，把减数个位上的 9 错写成 6，把十位上的 3 错写成8，这样算得的差是 268。2、小红在做题时，把被减数十位上的 0 错写成 8，把减数个位上的 8 错写成 3，这样算得的差是 632。第 3 讲 较复杂的和差倍问题前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。例 1：两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的
8、千克数是甲箱的 3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克？由“两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96+ （1 3） =24 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶 24 12=36千克，乙箱原来有茶叶 96 36=60 千克。1、甲、乙两人共储蓄 2000 元，甲取出 160 元，乙又存入 240元，这时甲储蓄的钱数比乙的 2 倍少 20 元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？2、某畜牧场共有绵羊和山羊 3561 只，后来卖了 60只绵羊，又买来山羊 100 只，现在绵羊的只数比山羊的 2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只？甲、乙
9、、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做 5 道，丙做的是甲的 2 倍，比乙多做 20 道。他们一共做了多少道数学题？甲比乙多 5 道，丙比乙多 20 道，丙做的是甲的 2倍，因此，20 5=15道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了 15X 2=30道，乙做 了 15 5=10 道。他们共做了： （ 20 5） X （1 + 2） + （20 5） - 5=55 道。1、甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做 12 个，丙做的比甲的 2 倍少 20 个，比乙做的多 38 个。这批零件共有多少个？2、果园里的苹果树是桃树的 3 倍，管理员每天能给 25 棵苹果树和 15棵桃树洒农药。几天后，当桃
10、树喷完农药时，苹果树还有 140 棵没有喷药。果园里共有多少棵树？某工厂一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10人，第二车间比第三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少 10 人，第三车间增加 15人，那么 280 10 15=285人是第二车间人数的 3倍，由此可以求出第二车间有285+3=95人，第一车间有95+ 10=105人，第三车间有95 15=80人。1、一个三层柜台共放皮鞋 120 双，第一层比第二层多放 4双，第二层比第三层多 7 双，三层各多皮鞋多少双
11、？2、四个数的和是 152，第一个数比第二个数多 16，比第三个数多 20，比第四个数少 12。第一个数和第四个数是多少？两个数相除，商是 4，被除数、除数、商的和是 124。被除数和除数各是多少？从 124里去掉商，是 124 4=120，它是除数的 1 4=5倍，除数是120 + 5=24,被除数是24X 4=94。1、两个数相除，商是 5，余数是 7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。2、两个数相除，商是 17，余数是 8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少。甲的存款是乙的 4 倍，如果甲取出 110 元，乙存入 110元，那么乙的存款是甲的 3 倍。甲
12、、乙原来各有存款多少元？由“乙存入 110 元，甲取出 110 元”，可知乙存入 110 元后相当于甲存款数的3倍，取出110X3=330元；而由甲的存款是乙的4倍， 可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4X3=12倍，乙现在存入110 元后相当于甲原有的12倍，取110X3=330元，所以，330+110=440元， 相当于乙原有的121 = 11倍。所以，乙原有存款440+11=40元，甲原有 存款40X 4=160元。1、 刘叔叔的存款是李叔叔的 6 倍，如果刘叔叔取出 1100 元，李叔叔存入 1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的 2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？2、有大、
13、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16千克，大筐装的是小筐的 4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？第 4 讲 错中求解在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。小玲在计算除法时，把除数 65 写成 56，结果得到的商是 13，还余52。正确的商是多少？要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：13X56 + 52=780。所以，正确的商是：780+ 65=12。1、 甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用 12 去除，蜜蜜用
14、15 去除，甜甜得到的商是 32 还余 6，蜜蜜计算的结果应该是多少？2、小虎在计算除法时，把被除数 1250写成 1205，结果得到的商是 48，余数是 5。正确的商应该是多少？小芳在计算除法时，把除数 32 错写成 320，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？根据题意，把除数 32 改成 320 扩大到原来的 10 倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的 10 倍。所以正确的商应该是48X 10=480。1、小马在计算除法时，把被除数 1280 误写成 12800，得到的商是 32。2、小欣在计算除法时，把被除数 420错写成 240，结果得到商是 48。正确的
15、商应该是多少？小冬在计算有余数的除法时，把被除数 137错写成 173，这样商比原来多了 3，而余数正好相同。正确的商和余数是多少？因为被除数 137 被错写成了 173，被除数比原来多了 173137=36,又因为商比原来多了 3,而且余数相同，所以除数是 36+ 3=12。又由137+12=115,所以余数是5。1、 李明在计算有余数的除法时，把被除数 171 错写成 117，结果商比原来少了 3，而余数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。2、刘强在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 174，结果商比原来多 3，余数比原来多 1。求这道除法算式的除数和余数。小龙在做两位数乘两
16、位数的题时，把一个因数的个位数字 4 错当作1，乘得的结果是 525，实际应为 600。这两个两位数各是多少？一个因数的个位 4 错当作 1，所得的结果比原来少了（ 4 1 ）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差 600 525=75, 75+3=25, 600+25=24。所以一个因数是24,另一个因数是25。1、 小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字 1 误写成7，结果得 646，实际应为 418。2、李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的 3 误当作 8，结果得 2150，这道题的正确积应是 900。这两个两位数各是多少？方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将
17、一个因数增加 14，计算的积增加了 84，圆圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168。那么，正确的积应是多少？由“方方将一个因数增加 14，计算结果增加了 84”可知另一个因数是84+ 14=6;又由“圆圆误将另一个因数增加 14,积增加了168”可知，这个因数是168+ 14=12。所以正确的积应是12X6=72。1、 两个数相乘，如果一个因数增加 3，另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数不变，另一个因数减少 4，那么积减少 200。原来的积是多少？2、小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 5 误写成 3，得出的乘积是 552；另一个学生却把这个 5 写成 8，得出
18、的乘积是672。正确的乘积是多少？第 5 讲 图形问题解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：1、细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。改造后，长增加 10 米，宽增加5 米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10） X （45+5） =5000平方米，操场原来的面 积是90X45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加 5000- 4050=950
19、 平方米。1、一块长方形铁板，长 18 分米，宽 13 分米。如果长和宽各减少 2 分米，面积比原来减少多少平方分米？2、 一块长方形地，长是 80米，宽是 45米。如果把宽增加 5米，要使面积不变，长应减少多少米？一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54平方米；如果长不变，宽减少 3米，那么它的面积减少 36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？由“宽不变，长增加 6米，面积增加 54平方米”可知，它的宽为54+6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36 + 3=12米。所以，这个长方形原来的面积是 12X9=108平方 米。1、一个长
20、方形，如果宽不变，长增加 5 米，那么它的面积增加 30 平方米；如果长不变，宽增加 3米，那么它的面积增加 48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？2、一个长方形，如果它的长减少 3 米，或它的宽减少 2米，那么它的面积都减少 36 平方米。求这个长方形原来的面积。下图是一个养禽专业户用一段 16 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于 16米。而宽是4米，那么长是（16 4） +2=6米，占地面积是6X4=24平方1、用 56 米长的木栏围成长或宽是 20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？2、用 15
21、米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？街心花园中一个正方形的花坛四周有 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 12 平方米，中间花坛的面积是多少平方米？把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积是12 + 4=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3+1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是31=2米。中间花坛的面积是2X2=4平方1、 四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如上图），大正方形的面积是 64 平方米，小正方形的面
22、积是 4 平方米，长方形的短边是多少米？2、已知大正方形比小正方形的边长多 4 厘米，大正方形的面积比小正方形面积大 96 平方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少？一块正方形的钢板，先截去宽 5 分米的长方形，又截去宽 8 分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少 181 平方分米。原正方形的边长是多少？把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是 8 分米、 5 分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8X5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，原来正方形的边长是 221 +13=17分米。1、一个长方形的木板
23、，如果长减少 5 分米，宽减少 2 分米，那么它的面积就减少 66 平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。2、一块正方形的的玻璃，长、宽都截去 8 厘米后，剩下的正方形比原来少 448 平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？第 6 讲 巧妙求和某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将 题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。刘俊读一本长篇小说，他第一天读 30 页，从第二天起，他每天读的页数都
24、前一天多 3 页，第 11 天读了 60页，正好读完。这本书共有多少页？根据条件“他每天读的页数都比前一天多 3 页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即 30、33、36、57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项 =60，项数 =11，因此可以很快得解：（30 + 60） X 11 + 2=495 （页）想一想：如果把“第 11 天”改为“最后一天”该怎样解答？1、胡茜读一本故事书，她第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 5 页。最后一天读了 50 页恰好读完，这本书共有多少2、丽丽学英语单词，第一天学会了 6
25、 个，以后每天都比前一天多学 1个，最后一天学会了 16 个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 30 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？开第一把锁时，如果不凑巧，试了 29 把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试 29 次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试 29 28 27十 + 2+1= （29+ 1） X 29-2=435 （次）。1、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试 28 次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？2、有
26、 10只盒子， 44只羽毛球。能不能把 44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？某班有 51 个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？假设 51 个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了 50 次，第二个依次和剩下的人握手，共握了 49 次，第三个人握了48 次。依次类推，第 50 个人和剩下的一人握了 1 次手，这样，他们握手的次数和为：50+ 49+ 48+ - + 2+ 1= （50+1） X 50 + 2=1275 （次）1、在一次同学聚会中，一共到 43 位同学和 4 位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少
27、次手？2、假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了 78 次电话，问有多少位同学相约互通电话？求 1 99 这 99 个连续自然数的所有数字之和。首先应该弄清楚这题是求 99 个连续自然数的数字之和，而不是求这 99 个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把 0 算进来 （它不影响我们计算数字之和） 计算 099这 100个数的数字之和。这 100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是 9+9=18, 一共有100+2=50 对，所以，199这99个连续自然数的所有数字之和是18X50=900。1、求 1999 这 999 个连续自然数的所有数字之和。2、求 13000这 3000个连续自然数的所有数
