1、定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y轴统称为坐标轴；坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对（x，y）之间可以建立一一对应关系（3）距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段 P1P2的中点为 P，填表：两点间的距离公式中点 P 的坐标公式|P1P2|（x1x2）2（y1
2、y2）2xx1x22yy1y222.平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx（0）yy（0）的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（x，y），称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换第 2 页二极坐标系（1）定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系（2）极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向（3）图示2极坐标（1）极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|
3、OM|叫做点 M 的极径，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为.有序数对（，）叫做点 M 的极坐标，记作 M（，）（2）极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是（0，），（R），若点 M 的极坐标是 M（，），则点 M 的极坐标也可写成 M（，2k），（kZ）若规定 0，02，则除极点外极坐标系内的点与有序数对（，）之间才是一一对应关系3极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为（x，y），（，）（1）极坐标化直角
4、坐标xcos，ysin.（2）直角坐标化极坐标2x2y2，tan yx（x 0）.三简单曲线的极坐标方程1曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f（，）0，并且坐标适合方程 f（，）0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f（，）0 叫做曲线C 的极坐标方程2圆的极坐标方程（1）特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点（0，0）r（02）第 3 页圆心在点（r，0）2rcos_（22）圆心在点（r，2）2rsin_（0）圆心在点（r，）2rcos_（232）圆心在点（r，32）2rsin_（0）（2）一般情形：设圆心 C（0，0），
5、半径为 r，M（，）为圆上任意一点，则|CM|r，COM|0|，根据余弦定理可得圆 C 的极坐标方程为 220cos（0）2 0r20即）cos（2002022r3直线的极坐标方程（1）特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为（1）（R）或（R）（2）（0）和（0）过点（a，0），且与极轴垂直cos_a（22）过点（a，2），且与极轴平行sin_a（0）过点（a，0）倾斜角为 sin（）asin（0）（2）一般情形，设直线 l 过点 P（0，0），倾斜角为，M（，）为直线 l 上的动点，则在OPM 中利用正弦定理可得直线 l 的极坐标方程为 sin（）0sin（0）第 4 页四柱
6、坐标系与球坐标系简介（了解）1柱坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用（，）（0，02）表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（，z）（zR）表示这样，我们建立了空间的点与有序数组（，z）之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（，z）叫做点 P 的柱坐标，记作 P（，z），其中0，02，zR（2）空 间 点 P 的 直 角 坐 标（x，y，z）与 柱 坐 标（，z）之 间 的 变 换 公 式 为xcos ysin zz2球坐标系（1）定义：一般地，如图建立空
7、间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为，这样点 P 的位置就可以用有序数组（r，）表示，这样，空间的点与有序数组（r，）之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组（r，），叫做点 P 的球坐标，记作P（r，），其中 r0，0，0b0）的参数方程是xacos ybsin（是参数），规定参数 的取值范围是0，2）（2）中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆y2a2x2b21（ab0）的参数方程是
8、xbcos yasin（是参数），规定参数 的取值范围是0，2）（3）中心在（h，k）的椭圆普通方程为（xh）2a2（yk）2b21，则其参数方程为xhacos ykbsin（是参数）2双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1双曲线的参数方程（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线x2a2y2b21 的参数方程是xasec ybtan（为参数），规定参数 的取值范围为 0，2）且 2，32（2）中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线y2a2x2b21 的参数方程是xbtan yasec（为参数）2抛物线的参数方程（1）抛物线 y22px 的参数方程为x2pt2y2pt（t 为参数）（2）参数 t
9、的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数三直线的参数方程第 7 页 1直线的参数方程经过点 M0（x0，y0），倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos yy0tsin（t 为参数）2直线的参数方程中参数 t 的几何意义（1）参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M0的距离（2）当M0M 与 e（直线的单位方向向量）同向时，t 取正数 当M0M 与 e 反向时，t 取负数，当 M与 M0重合时，t03直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0（x0，y0），倾斜角为 的直线，选取参数 tM0M
10、 得到的参数方程xx0tcos yy0tsin（t 为参数）称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义一般地，过点 M0（x0，y0），斜率 kba（a，b 为常数）的直线，参数方程为xx0atyy0bt（t 为参数），称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义四渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程（1）渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆（2）圆的渐开线的参数方程以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为（x，y），则有xr（cos sin），yr（sin cos）（是参数）这就是圆的渐开线的参数方程2摆线的概念及参数方程（1）摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线（2）半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为xr（sin），yr（1cos）（是参数）
