1、6. 187.（2018朝阳二模理）设等差数列的前项和为若，则数列的通项公式可以是_7.（答案不唯一） 8.（2018东城二模理）设等比数列的公比，前n项和为Sn，则=_8.9.（2018顺义二模理）（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“陪伴数列”.（）写出数列的“陪伴数列”；（）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.（）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.9.（）解：. 3分（）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为 ， 将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得 即 故所以成等差数列. 8分（）证明： 因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
2、 即，. 13分10.（2018海淀二模理）（本小题共13分）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.（）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（）若数列具有“性质P”，求证：且；（）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由10.（本小题13分） 解：（）若，公差，则数列不具有性质1分理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，3分（）若数列具有“性质P”，则 假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！4分 假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中
3、仅有项小于等于0，矛盾！6分 假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！8分 综上，（）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数， 这与数列具有“性质P”矛盾，故 设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设 ， 则，因为，所以，即数列的每一项均是整数由（）知，故数列的每一项均是自然数，且是正整数 由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则即 因为，故是的约数 所以，, 当时，得，故，共2019种可能；，共1010种可能；，共3种可能；，共2种可能；当时，得，故当时，得，故，共1种可能；，共1种可能；，共1种可
4、能综上，满足题意的数列共有（种）经检验，这些数列均符合题意13分11.（2018丰台二模已知数列的前项和为，当时， 其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数（）若，求，的值；（）若为常数，求的取值范围；（）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）11.（本小题共13分）（）因为， 所以 ，所以 1分因为 ，所以 2分因为 ，所以 4分所以 ，（）当 时， 5分当 时，因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以 7分因为 ，所以 ，所以 9分所以 时，为常数的必要条件是 当时，因为当 时，都有 ，所以当 符合题意，同理 和也都符合题意 10分所以的取值范围是 （）或
5、13分（若用其他方法解题，请酌情给分）12.（2018房山二模理）（本小题分） 已知集合，其中，中所有不同值的个数.（）设集合,分别求；（）若集合求证：；（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由12.解：（）由由 3分（）证明: 最多有个值,又集合任取当时,不妨设即当当且仅当即所有的值两两不同， 9分（）存在最小值，且最小值为，不妨设可得，中至少有个不同的数，即，取，即的不同值共有个，故的最小值为 13分13.（本小题满分13分）数列：的各项均为整数，满足：，且，其中 （）若，写出所有满足条件的数列；（）求的值；（）满足条件的数列为： 3分 （） 4分否则，假设，因为，
6、所以又，因此有 这与矛盾！所以 8分（）先证明如下结论：，必有.否则，令 ，注意左式是的整数倍，因此 所以有：所以 10分因此有： 将上述个不等式相加得 ， 又 ， 两式相减即得 13分14.（2018朝阳二模理） 若无穷数列满足：存在（，），并且只要，就有（为常数，），则成具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列的前项和为，且（），证明存在无穷多个的不同取值，使得数列具有性质；（3）设是一个无穷数列，数列中存在（，），且（），求证：“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质”的充分不必要条件.14.【解析】（）因为具有性质,且所以由,得,所以,经检验符合题意.（）因为无穷数列的前项
7、和为,且,所以当时,若存在则,取（且为常数）,则,对,有所以数列有性质,且的不同取值有无穷多个.（）证明:当为常数列时,有（常数）,对任意正整数,因为存在,则由,必有,进而有,这时,所以都具有性质.所以,“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的充分条件.取,对任意正整数,由,得,因为为正整数,所以,且.当时,对任意,则同为奇数或同为偶数,若同为偶数,则成立;若同为奇数,则成立;所以若对于任意满足,则取,故具有性质,但不为常数列,所以“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的不必要条件.证毕.15.（2018东城二模理）（本小题13分）设均是正整数，数列满足：（I）若，写出的值；（II）若
8、，为给定的正奇数，求证：若为奇数，则；若为偶数，则；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数，使得.15.（20）（共13分）（I）1或12. 4分（II）当时，为奇数，成立，为偶数，.假设当时，若为奇数，则，若为偶数，则.那么当时，若是奇数，则是偶数，；若是偶数，.此时若是奇数，则满足，若是偶数，满足.即时结论也成立.综上，若为奇数，则；若为偶数，则. 9分（III）由（II）知，中总存在相等的两项.不妨设是相等两项中角标最小的两项，下证.假设.若，由知和均是由和除以2得到，即有，与的最小性矛盾；若，由知和均是由和加上得到，即有，与的最小性矛盾；综上，则.即若，是正奇数，则存在正整数，
9、使得. 13分16.（2018昌平二模已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中的任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”（I）若数列：是“倒置系数”为的“倒置数列”，求和的值；（II）若等比数列的项数是，数列所有项之积是，求证：数列是“倒置数列”，并用和表示它的“倒置系数”；（III）是否存在各项均为整数的递增数列，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由16.（共13分）（I）因为数列：是“倒置系数”为的“倒置数列”.所以也是该数列的项，且.故，即. -3分（II）因为数列是项数为项的有穷正项等比数列，取，对数列中的任意一项，也是数列中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列是“倒置数列”；又因为数列所有项之积是，所以即. -9分（III）假设存在这样的等差数列为“倒置数列”，设它的公差为，“倒置系数”为p.因为数列为递增数列，所以则又因为数列为“倒置数列”，则正整数也是数列中的一项（），故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则，得，即由，故，与矛盾.所以，不存在满足条件的数列，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”.-13分
