1、函数的幂级数的展开与技巧docx1引言函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位，在研究泵级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地 位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。2泰勒级数泰勒定理指出：若函数/在点兀。的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数，则/(x) = /(x0) + /(x0)(x-x0) + /(xQ)X= 广“+1）兀+0（兀_观卄（_0） （兀_观）这里心（兀）=。（兀-兀）称为皮亚诺型余项。如果增加条件“/（X）有H + 1阶连续 导数”，那么心（
2、0还可以写成三种形式（柯西余项） （积分型余项）如果在（1）中抹去余项心（X）,那么在兀。附近/可用（1）式中右边的多项式来近似代 替。如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数，这吋称形式为：的级数为函数/在x0的泰勒级数，对于级数（2）是否能够在X。附近确切地表达/, 或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问 题。下面我们先看一个例子：例1山由于函数/(%)= 八，心 ,0, x = 0,在x = x0处的任何阶导数都为0,即/叫0) = 0/= 1,2,，所以/在x = 0处的泰 勒级数为：C C 0 2 . 0 “0 + 0 X H X + X +，2! nl显然
3、，它在(- oo,+oo)上收敛，且其和函数S(X)= 0,由此看到对一切* 0都有/(x)hS(x),这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有lim Rn (x) = 0HT8时才能够。在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。这时(2)也可以写成刑)+以乩+皿宀+创乩+，1! 2! /1!称为麦克劳林级数。3函数的幕级数展开与技巧3.1 -般的泰勒展开法(直接展开法)我们主要通过例题來表现幕级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等 函数的幕级数展开形式。通常有三种展开思路：1、统-用柯西余项来估计余项 R (%); 2、统一用积分余项来估计余项R” (x) ； 3、
4、柯西余项(或积分余项)结 合拉格朗口余项來估计余项心(对。本文采用第二种思路。例2求k次多项式f(x) = c()+ cm + c2x2 + 卜 ckxk, (kw N)的展开式。解：由于（77 T 8）；=C()+ + + $ ,即多项式函数的幕级数展开就是它本身。例3求函数f（x） = ex的展开式。解：因为严）&） =，/叫0）=1（21,2,）,Vxe (汽+)有从而xe （一汽+8）o1 1 2 1 e =1 x Hx + x +,1! 2! nl例4求函数/(%) = sinx的展开式。解：由于/叫x) = sin , n = 1,2,-,Vxg(+)有恥2 丄 Vf(n+i)(t
5、)(x-t)ndt + V sin(f + 兀)(% - t)dt所以/(x) = sin x在(-oo,+8)内能展开为麦克劳林级数:r3 r5 2-1 儿 儿 / 八+1 久sin X = X + + + ( 1) 7 7 + 3! 5! (2/7-1)!同样可证(更简单的方法是对上面sin x的展开式逐项求导):COSX =例5川求函数/(x) = ln(l + x)的展开式。解：注意到，函数/(x) = ln(l + x)的各阶导数是.严(曲廿絆从而/W(O) = (-lf1(n-l)!,&(珂=2/网(XT)力n J1ex fTex x t11 (1) !(1 + r) (x_ t)
6、n dt=(-r dtnJoJo 1 + x1 + (注意到，当reO,x或兀,0时，口不变符号且关于变量/单调，因此|口|总是1 + / |l + r|在1 = 0时取最大值卜从而Rn (x) x dt = xn ln(l + x) T 0 , ( t 8)；J() + r所以/的麦克劳林级数是r2 r3 4 ”/(x) = ln(l +无)r-手 + 专-才 + (-1)冷 +， (3)用比式判断法容易求得的收敛半径R = l,且当x = l吋收敛，x = -l吋发散, 故级数域（-1, 1 o将式屮兀换成兀-1就得到函数/（x） = lnx在x = 1处的泰勒展开式:1论）=（兀-1）-
7、匕厶+匕丄+ （-1匕+ .,它的收敛域为（0, 2o例6讨论：二项式函数y（x） = （i + xf展开式。解：当加为正整数时，有二项式定理直接展开得到/的展开式，这已经在前 面例2中讨论过了。下面讨论加不等于正整数时的情形，这时：严）（兀）=加（用一 1）（加一n + l）（l + x）L, = 1,2,广（0） = +1）, = 1,2,；于是/（兀）的麦克劳林级数是n(1 +兀)=1 +加+ - *+ 疋+.， 2!运用比式判别法可得（4）的收敛半径R设血gN* （由二项式定理易证me N*的情形），Vxg （-1,1）有B Ijn+xtx-tydtnn（1+0心力=+(：m(m-!)
8、(/?-/?)(! + 丫卄 (x 一 /) dt(72!2 o” 一 1)(加 一 h+1)x + x + ,n对于收敛区间端点的情形，它与加的取值有关，其结果如下：当加51时，收敛域为(-1,1)；当-lm0时,m m7=7=i+r24v44xlv6+-(-u(9)趋于0,因此lim Rn(x) =0 oT8收敛域为-1,1;在(5)式中，令m = -l就得到= l-x + x1 2 + + (1)X +,(1,1),1 +兀当吋，得到例7以孫与-辟分别代入得到1 = 1 兀2“ 口)， (8)1+JC对于(9)分别逐项可积，可得函数arctanx与arcsin兀的展开式L dtarcta
9、n x = 7Jo 1 + r一1川，十兰+兰+ (_1)兰3 5 v 7 2川 + 1arcsin x= xL=Jo(2/7-1)!严+ (2町!！ 2卄1十这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幕级数展开是极为方便的，、/?+ixn+13 特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幕级数展开式特别有 用。3. 2通过变形、转换、利用已知的展开式例8将函数f(x) = ln(x +4兀+ 3)展开式兀的幕级数并指出收敛半径。分析:将卅)变为ln(l +兀)的形式。解：因为/(x) = In (%2 +4x + 3)=ln(3 + x)(l + x) =ln(3 + x)
10、+ ln(l + x)y Y= ln3 1 + +In(l + x) =ln3 + ln 1 + +ln(l + x)g 1= ln3 + (-l)n=08 1 1 13+歌-1)荷亍宀R例9求y = 4 的麦克劳林展开式(至含的项)。解：由于(3) “+*+ 宀y = y/1 x2=1 + *(-疋)+黑(*-1)( - 扌+拮G j)(*-2)( 一 砂+ 十丄兀J宀丄八2 8 16解：由COSX的展开式得3.3利用逐项积分方法例11将函数/(x) = ln(x + 7i77)展开成兀的幕级数，并求其收敛区间。分析：该题可化为ln(l + x)的形式展开，但这样的展开式中变成7丁的 幕次，
11、而不是兀的幕次，我们知道：ln(x+J1 +兀2)=, ,L 丿将展开再积分就方便了。Vi?解：因为f (x) = Ilnx +V1 + % = / ,L 丿Vl + x2而宀=(1 + 戶，(无 + Jl + X)=兀一InUI + jt显然有un un+i且limwn =0 ,依莱布尼茨判别法知:当兀=1时,级数收敛,9 HT8因此收敛区间为-1,1。3. 4逐项微分法分析：先展开，再逐项微分。解：因为n2!注意到/（0）= 1,所以cosx-l_W/ 1)(2!XE (一8,+8),解：因为ddx1 2 1 2n-22 (2a?)!cosx-12x8n-1所以注：值得注意的是逐项积分法或
12、逐项微分法，常常在区间内部进行，但并不 是绝对的，这里就不再证明了。3.5待定系数法例14国求下列函数的幕级数展开。ln(x +a/I + x2 )(1) J(2)xsina1-2xcos6Z + x2解：设In( x + Vl + x* | 8y 二 厂u anx， 1 + X n=0因为l + x2lnlx+Vl + x2 )1 一兀 一La/1 + x2所以(l + x2)y =l-xy ,故(1 + F) antvcn- = 1 -送 anxn AJ=I ?J=()oo4 + 2吋 + E 色+l S + 1) + an-l S - 1)兀n=2co= -ax-an_xxH ,w=0比
13、较系数得:3如 + % = -aA, 4a4 + 2a2 = -a2,.由 y(0)= 0 = a()= 0 得:2 _2 4 _/ 1V (2/t)!3,分亍丁，严(7Z(-Tn=0(2町!！严(2/2 + 1)!-1 X 1 o从而设xsinal-2xcos( + x2二E,/?=()8x sin a = （1 - 2xcos a+x2 ）n=02 3=d。十axx + a2x十他才H一（2勺cosa）x -（2 cosz）x2 （2a2 cosz）%3 +2 . 3+d（）X + ClX +，比较等式两边同次幕系数得：6Z0 = 0 , d=sina,，an = sin na,这里利用了
14、三角恒等式sin （斤 +1）况=2 sin q cos G sin （斤 一 1） a , n = 2,3,所以xsinxl-2xcosx + x2=xsin a + 兀$ sin 2a + + xn sin na。8=工 xn sin na/：=i3. 6微分方程法ln（x + 71 + 2 |例15求 丿的幕级数展开形式。J1 + 兀2计算/（0）,从而得到 工戶（叭n noo注：在前面例14中用待定系数法已求出幕级数展开式，现在用微分方程法解：设ln（x + Jl + Fvr+j因此令兀=0,矢 口 y = -y0 = 0 ,得:1-兀一 ln(x+J1 + /由1两边同吋求阶导数得:
15、这儿下标“0”表示在x = 0处的值，在1式中令x = 0得:在3）式两边微商一次得,2xy + (1 + 兀$ )=_)，_ xy ,(2卄1)%丿代入公式3得:ln(x +J1 + F)(-1)(2)!，( = 1,2,),Vf-iV （）宀+17177 幺I 丿（2/7+1）!这里表示右边的级数为左边函数的泰勒级数，容易证明右边的级数的收敛 半径R = 1,利用逐项微分法可以验证级数的和函数y = S（x）是1给定的微分方程的解，且S（0）= 0,而函数ln(x + Vl + x2J1 +兀 $在x = l处连续，故4）式中改为“二”对兀=1也成立。3.7利用级数的运算例16利用函数的幕
16、级数展开，求下列极限。XT8lim x in (x 4-1) - In x j所以=limxXT8 111x21 d 31x3、 z（兀21111、=lim1-+ 一=1 ,-Voo2JT3X丿（2）由基本初等函数的幕级数展开式得In - = -ln(l-x) = x4-x2 x3一 + 一 + 2 3X 1,代入工一恥讪，即得sin x故级数在|.Y|r,(rl)一致收敛，故可逐项积分。当兀vl时有fln J/= + + +Jo 1-t 1-2 2-3 3-4而当兀=1吋有X X + +1x2 2x31 1 1 1 1 1x2 2x3 3x4+1 +1 1、+1 2丿23/lim I InX
17、T1-0 J（）x+2-3 34 t 11一0（ 2由阿贝尔定理得4结论我们是在泰勒级数基础上研究幕级数的展开式，利用以上几种方法可以对“幕级数的展开式”这一块内容有深刻的认识，且利用这些展开式解决问题，为 我们在今后研究幕级数中提供了工具。致谢对在研究及撰写论文过程中给予帮助的组织或个人表示衷心感谢!参考文献：1 数学分析第三版.华东师范大学数学系，2002, 52-5&2 高等数学试题精选题解.华屮理工大学出版社，2000, 492-498.3 数学分析内容方法与技巧华中科技大学出版社,2003, 164-178.4 裴礼文.数学分析中的典型问题与解法.第二版.高等教育出版，2003, 447-453.5 刘玉琏，傅沛仁数学分析讲.北京:高等教育出版社，1982, 125-162.6 数学分析.复旦大学数学系编.第二版（下册）高等教育出版社，2002, 324-336.7 钱吉林.数学分析题解精粹.武汉：崇文书局，2003, 213-238.8 吴良森,毛羽铭数学分析习题精解.北京：科学出版社,2004, 58-127.1 X3 1 3 X5 1 3 5=兀 卜 1 2 3 2 4 5 2 4 6
