1、概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XPX=x1=p,PX=x2=1-p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布： PX=x1=p,PX=x2=1-p(0p0,k=0,1,2,.，则称X服从参
2、PX=k=e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望： 4.连续型随机变量： -llkk!,l0,k=0,1,2,. E(X)=l；泊松分布的方差：D(X)=l如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)=PXx=f(x)，使得对于任意实数x，有x-f(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。 2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=b-a0,axb其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为XU(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)=b-a0,a
3、+b2ax0l0，则称X服从参数为l的指数分布，记为Xe (l)x0le-lxf(x)=0指数分布的概率密度：l0 指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)=1l；指数分布的方差：D(X)=1l2 f(x)=-(x-m)2s22-x+若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为 m和s2ms2的正态分布，记为XN(,)-(x-m)2s22f(x)=正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)=m-x+ D(X)=s-x22；正态分布的方差： （4）标准正态分布：m=0,s2=1j(x)=，2f(x)=x-e-t22dt 标准正态分布表的使用： （1）x0f(x)=1-f(-x) 2010-2
4、011学年第一学期期末复习资料XN(0,1)Paxb=Paxb=Paxb=Paxb=f(b)-f(a)XN(m,s),Y=2（2）X-m（3）PaXb=Pa-msN(0,1),F(x)=PXx=PX-m故b-m=f(b-m)-f(a-m)sx-ms=f(x-ms) sYsss2Y=ms定理1： 设XN(,),则X-msN(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x)1Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1)x1x2F(x1)0（或恒有g(x)0），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为fh(y)|h(y)|,fY(y)=0ayb
5、；其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，且a=min(g(-),g(+),b=max(g(-),g(+)练习题：2.4 第7、13、14 2010-2011学年第一学期期末复习资料总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19第三章重要知识点：（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似 P71 例3（3）要会根据联合概率分布表求形如PaXb,cYd的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2. 二维连续型随机变量X
6、与Y的联合概率密度:设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对xyF(x,y)=-任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；f(s,t)dsdt(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如率值;P64 例3PXm,q0m+x1qx2e-qdx=x-m+0t1qe-tqdt+21+0-1qtme-tqdt=q+m+0E(X)=m+1qe-qdx=+0(t+m)q2eqdt=t21qe-tqdt+02mt1q-tqdt+0m21q-tqdt=2
7、q+2mq+m22D(X)=E(X)-E(X)=q，由此可推出q=22m=E(X)-，从而参数q，m的矩估计值为q=s,m=x-s （2）似然函数为：L(q)=()exp-qq1n1n(xi=1ni-m),x(1)m(x其对数似然函数为：lnL(q,m)=-nlnq-i=1i-m)q 由上式可以看出，lnL(q,m)是m的单调增函数，要使其最大，m的取值应该尽可能的大，由于限制x(1)m，这给出的最大似然估计值为m=x(1) 将lnL(q,m)关于q求导并令其为0得到关于q的似然方程nni2idlnL(q,m)dq=-n(x+i=1-m)(xi=1-m)=x-x(1)qq=0，解得q=n 20
8、10-2011学年第一学期期末复习资料第四章重要知识点：1.随机变量X数学期望的求法：（1）离散型 E(X)=i=1（2）连续型 E(X)=xipi ；+-xf(x) dx2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：（1）离散型 E(X)=gi=1（2）连续型 E(X)=x(ip)i；+-g(x)f(x) dx3.二维随机向量期望的求法：ij（1）离散型 Eg(X,Y)=g(x,yj=1i=1)pij；（2）连续型 Eg(X,Y)=4.随机变量X方差的求法： +-+-g(x,y)f(x,y )dxdy（1）简明公式 D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-E(X)2（2）离散型 D(X)=i=1
9、xi-EX(2)pi（3）连续型 D(X)=+-x-E(X)f(x )dx25. 随机变量X协方差与相关系数的求法：（1）简明公式 Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)（2）离散型 Cov(X,Y)=（3）连续型 Co(vX,Y)=（4）rXY=i,jx-EX(i+-y)j-EY p(i j)E(Y)f(x, y)dxdy-+-xE(X)-y6.数学期望、方差、协方差重要的性质：(1) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)(2) 设X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)D(XY)=D(X)+D(Y)2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y
10、)2Cov(X,Y) (3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y) 2010-2011学年第一学期期末复习资料(4) D(CX)=C2D(X)(5) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) （6）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) 若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0(7) 若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立，当且仅当rXY=0 7.n维正态分布的几个重要性质：Xi（1）n维正态变量（X1,X2,.,Xn）的每个分量（i=1,2,.n）都是正态变量，反之，若X1,X2,.,Xn都是正态变量，且相互独立，则（X1,X2,.,Xn）是n
11、维正态变量。 （2）n维随机向量（X1,X2,.,Xn）服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,.,Xn的任意线性组合均服从一维正态分布l1X1+l2X2+.+lnXn均服从一维正态分布（其中l1,l2,.ln不全为零）。（3）若（X1,X2,.,Xn）服从n维正态分布，设Y1,Y2,.,Yk是Xj(j=1,2,.n)的线性函数，则（Y1,Y2,.,Yk）服从k维正态分布。（4）设（X1,X2,.,Xn）服从n维正态分布，则“X1,X2,.,Xn相互独立”等价于“X1,X2,.,Xn两两不相关” 练习题：1. 设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=解：E(X)=E(X)=2+-224(
12、1-x)y,0x1,0yx010x0，求CovX(Y,)及rXY3-+-xf(x,y)dxdy=2410x0(1-x)xydydx=2 1012(1-x)xdx=43525 -xf(x,y)dxdy=242(1-x)xydydx=112(1-x)xdx=D(X)=E(X)-E(X)=2321-()= 552510x02同理E(Y)=-+-xf(x,y)dxdy=24(1-x)ydydx=225 2010-2011学年第一学期期末复习资料E(Y)=2-+-1xf(x,y)dxdy=24x010x0(1-x)ydydx=415415315 又因E(XY)= xy24(1-x)ydydx=-625=
13、275从而Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2752523 rXY=2. 习题4.3第10题 8.中心极限定理（1）定理4（棣莫佛拉普拉斯定理） 设随机变量nX1,X2,.Xn,.相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有limPnXi-npx=x-t22dt=F(x)（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X1,X2,.Xn,.相互独立，服从同一分布，且nE(Xi)=m,D(Xi)=s2(i=1,2,.),X则limPni-nmx=x-1-t22dt练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题第五章重要知识点确定或求证统计量所服从
14、的分布 1.三大分布22222（1）c分布：设X1,X2,.Xn是取自总体N(0,1)的样本，称统计量c=X1+X2+.+Xn服从自由度为n的c分布。（2）t分布：设XN(0,1), Yc(n)，且X与Y相互独立，则称t=n的t分布。22（3）F分布：设Xc(m),Yc(n)，且X与Y相互独立，则称F=22服从自由度为X/mY/n服从自由度为（m,n）的F分布。 2.三大抽样分布2（1）设总体XN(m,s),X1,X2,.,Xn是取自X的一个样本，X为该样本的样本均值， 2010-2011学年第一学期期末复习资料则有XN(m,s2/n)，U=X-mN(0,1)（2）定理2设总体XN(m,s2)
15、,X1,X2,.,Xn，是取自X的一个样本，X与S2为该样本的样本均值与样本方差，则有c2=n-1s2S=21ns2(Xi=1i-X)c(n-1)，22X与S相互独立2（3）定理3 设总体XN(m,s2),X1,X2,.,Xn，是取自X的一个样本，X与S2为该样本的样本均值与样本方差，则有c=21ns2i=1(Xi-m)c(n)，T=22t(n-1)练习题：1.设X1,X2.X2n是来自正态总体XN(0,1)的样本，求统计量Y= 2解：因为X1+X3+.+X2n-1N(0,ns)X+X+.+XN(0,1)XisN(0,1),i=1,2,.2n2由样本的独立性及c分布的定义，有(X2s再由样本的
16、独立性以及t分布的定义，有)+(2X4s)+.+(2X2ns)c(n)22X+X+.+XY=t(n)2 总习题五 14题3.求样本函数相关的概率问题练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17第六章重要知识点：1.矩估计的求法： 设总体X的分布函数F(x;q1,.,qk)中含有k个未知参数的函数q1,.,qk，则 2010-2011学年第一学期期末复习资料（1）求总体X的k阶矩m1,.mk它们一般都是是这k个未知参数的函数，记为（2）从（1）中解得（3）再用mi=gi(q1,.qk),i=1,2,.k qj=hj(m1,.mk),j=1,2,.k的估计量mi(i=1,2,.k)Ai分别代替上式
17、中的mi，即可得qj(j=1,2,.k)的估计信度，又分别称信上限。（2）单侧置信区间：设q为总体分布的未知参数，1-aq_与q为q的双侧置信下限与双侧置X1,X2,.Xn-是取自总体X的一个样本，对给定的数，1-a，0a1，若存在统计量满足Pqq=1-a-q=q(X1,X2,.Xn)，则称(q,+)-为q的置信度为1-a的单侧置信区间，称-为q-q的单侧置信下限；若存在统计量-q=q(X1,X2,.Xn)，满足-Pqq=1-a 则称(-,q)为q的置信度为1-a的单侧置信区间，称q为q的单侧置信上限。5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：（1） 选取未知参数q的某个较优估计量q （2）围绕q构
18、造一个依赖于样本与参数q的函数（3）对给定的置信水平1-a，确定PUl1=U=U(X1,X2,.Xn,q)Pl1Ul2=1-a l1与l2a2，使a2与通常可选取满足数表查得。PUl2=的l1与l2，在常用分布情况下，这可由分位-（4）对不等式-l1Ul2作恒等变形后化为Pqqq=1-a- 则(q,q)-就是q的置信度1-a为的双侧置信区间。6.置信区间的公式： (1)0-1分布参数的置信区间： (12a(-b-212a(-b+22a=n+(ua2),b=-2nX-(ua),c=n(X) 而为未知参数，X1,X2,.Xn(2)设总体XN(m,s)2，其中s已知，2m是取自总体X 2010-20
19、11学年第一学期期末复习资料的一个样本。均值m的1-a置信区间为：（2X-masn，2X+mas2n）XN(m,s)，其中m，s(3)设总体未知，X1,X2,.Xn是取自总体X的一个样本。m均值的1-a置信区间为：（X-ta2(n-1)，s2Sn，X+ta2(n-1)Sn）是取自总体X的一(4)设总体个样本。XN(m,s)2m，其中未知，X1,X2,.Xn方差s2c1-a的置信区间为：(n-1)S22a(n-1)c,(n-1)S21-a2(n-1) 的1-a置信区间为：练习题：习题6-2 第1，2，5，6题s 习题6-3 第3，4，5，6题习题6-4 第4题总习题六 第7，8，9，10，16，
20、17，18，20，21题 2010-2011学年第一学期期末复习资料第1章 随机事件及其概率2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料第二章 随机变量及其分布2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料第三章 二维随机变量及其分布 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料第四章 随机变量的数字特征 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-2011学年第一学期期末复习资料第五章 大数定律和中心极限定理 2010-2011学年第一学期期末复习资料 2010-201
