1、根据弹性理论中的虎克定律，材料在弹性变形过程中应力与应变之间满足如下关系： = M （1-1）其中 M 代表弹性模量 E 或剪切摸量G 。上述公式的成立应满足三个条件7，即：应变对应力的响应是线性的；应力和应变相位相同；应变是应力的单值函数。但实际加载过程中，应力与应变之间往往不能同时满足上述三个条件，即非理想弹性；此时将产生阻尼，非弹性常表现为滞弹性和粘弹性，滞弹性根据应力应变之间是否满足线性关系分为线性和非线性滞弹性，因此阻尼也可分为线性和非线性滞弹性阻尼及粘弹性阻尼5，如图1-1所示。 当材料受循环载荷作用时，应力应变之间的实际关系如下8、9： =0 exp（it） （1-2） =0 e
2、xpi（t -） （1-3）=/T2 （1-4）其中0和0为应力和应变的振幅；t为时间；为应变波形滞后应力波形的时间；为振动的角频率，为应变滞后应力的相位角差；T振动周期，图1-2所示。根据复模量定义3： （1-5） （1-6） 其中为粘弹性阻尼材料的损耗因子（又称损耗正切或阻尼系数），它是衡量阻尼材料耗散振动能量的主要指标之一，它与每周振动所损耗的能量与储存能量之比成正比。表示为 （1-7）式中 E*复拉伸模量；E复拉伸模量的实部，也称为贮能拉伸模量，表示为E=Ecos （1-8）E复拉伸模量的虚部，它决定阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量损耗，所以又称为耗能拉伸模量，表示为=Esin=E
3、 （1-9）1.2.2 常见的用于表征材料阻尼性能的参数及它们之间的关系如下：（1）损耗系数 、损耗正切 tan 和损失角损耗系数为损失摸量与存储摸量之比，其与损耗正切和损失角的关系如下： （1-10）材料的阻尼能力越高, 相位差角越大, 因此可用相位差角来表征材料阻尼能力的大小在实际应用中, 如果内耗很小, 则相位差角的测量是很困难的, 因此该法适用于内耗较大的情形8，。（2） 比阻尼（ S.D.C 或 ）10材料受循环载荷，应变落后于应力，在应力与应变曲线上形成一个滞后圈，如图1-1所示。振动循环一周中，损失能量W为： （1-11）存储的最大能量W为： （1-12）在高阻尼合金的研究中，习
4、惯采用W/W来衡量内耗的大小，称为“比阻尼性能”S.D.C；而物理上为了与阻尼的电磁回路相对应，常采用Q-1来表示阻尼，这里Q时振动系统的品质因子。类似于电磁回路中品质因子的定义 （1-13） （3）对数衰减率4材料在自由振动过程中，其振动幅度将逐渐衰减，如图 1-3 所示。衰减得越快，表明材料的阻尼能力越高，材料的阻尼性能与相邻两振幅间有如下关系 （1-14） 进一步推导可知： （1-15） （这适用于内耗很小时，即） 或 时），内耗值为 （1-16）式中，为对数衰减率；An、An+1分别为第 n 次、第 n+1次振动时的振幅，n为振动次数（n=1，2，3，）。由此可见，对数衰减率表征了振幅
5、的衰减程度，它的值越大，则振幅衰减越大，阻尼性能越高。此方法属于共振法的一种，适于测试声频阻尼8。（4） 品质因子倒数 Q-1用不同频率的外力来激发试样, 当外加应力的频率等于试样的共振频率时, 则试样振动的振幅最大,如图1-4 所示。在同样的情况下, 材料阻尼性能越高,则共振振幅越小, 共振峰越宽, 因此可用共振峰的尖锐程度来表征材料阻尼能力的大小, 即材料的阻尼与振动振幅为共振振幅一半时所对应的频率差值和共振频率有下列关系8: （1-17）式中Q-1为品质因子的倒数；f为共振振幅一半处频率差值f 2- f 1 （Hz）；fr为共振频率值（Hz）。当内耗较小时, 共振峰很尖锐, 则共振峰宽不
6、易测试；内耗越大，共振峰越宽，测量越准。此方法与对数衰减率一样，适于测试声频阻尼8。（5） 超声衰减11在兆频范围内常用脉冲法激发振动，内耗使用穿过材料的脉冲声波的衰减来测量，衰减系数定义为 （1-18）因此可用下式表示： （1-19）为声波波长，则 （1-20）1.3、内耗（阻尼）量度值的换算及测量方法选择对衰减较小的场合， tan 0.1,通常用 tan 、Q-1或 来表征材料的阻尼性能，它们之间存在如下关系12：Q-1= = tan = = / =S.D.C/（2） （1-21）但是, 当阻尼较大时（Q-110-2） 则有两种观点: 一种精确表达式为12 （1-22）根据式（1-22）
7、，当Q-1= 10-2时，（1-21） 式的误差约0. 5%；当Q-1= 10-1时，（1-21） 式的误差5%左右12。另一观点由朱贤方13和水嘉鹏14、15等提出 （1-23）根据（1-23） 式, 当Q-1= 510-3时, （1-21）式的误差达到1% , 当Q-1= 10-1时, （1-21）式的误差在50%以上12。两种论点在这一基础问题上存在这么大的偏差, 迫切需要澄清。1.4内耗（阻尼）分类和特点内耗产生的原因归纳起来有三种类型即滞弹性内耗、静滞后内耗和阻尼共振型内耗。1.4.1滞弹性内耗1948年，Zener提出了滞弹性这一名词，他从Boltzmann的线性叠加原理出发，推导
8、出各种滞弹性效应之间的定量关系17。滞弹性的特征是在加载或去载时，应变不是瞬时达到其平衡值，而是通过一种驰豫过程来完成其变化。如图1-5（a），应力去除后应变有一部分（0）发生瞬时回复，剩余一部分则缓慢回到零，这种现象叫弹性后效。又如图1-5（b），要保持应变不变，应力就要逐渐松弛达到平衡值（），称为应力驰豫现象。由于应变落后于应力，在适当的频率的振动应力作用下就会出现内耗。在此基础上产生的内耗称为动滞后型内耗或驰豫型内耗11。对于金属，其内耗表达式16、17 （1-24）式中，、分别为振动角频率、驰豫时间；M为动力模量（动态模量），即实测的弹性模量；MR为驰豫模量；Mu为未驰豫模量；驰豫强度
9、 。 模量亏损16为 （1-25）其内耗于的关系曲线如图1-6所示。当1时，内耗值都很小；只有当=1时，内耗达到最大值。因此滞弹性内耗有一下特征：内耗与频率有关而与振幅无关。1.4.2静滞后型内耗9、10在低振动频率下，应力与应变存在多值函数关系，即在加载和去载时同以载荷下具有不同的应变值。完全去掉载荷后有永久变形存在。仅当反向加载时，才能回复的零应变，如图1-7.这种原因产生的内耗时静滞后型的。由于静态滞后的各种机制之间没有类似的应力应变方程，所以不能像滞弹性内耗那样进行简单明了的数学处理，而必须针对具体的内耗机制进行计算，可先求出回线面积W，再从内耗定义式 求内耗。一般来说，静滞后回线的面
10、积与振幅不存在线性关系，因此内耗的特征式内耗与频率无关，而与振幅有很强的依赖关系，内耗在某一振幅处达到最大值。1.4.3阻尼共振型内耗由非弹性应变产生的阻尼，即为阻尼共振型内耗。阻尼共振型内耗的特征是与频率的关系极大，而与振幅无关，内耗峰所对应的频率一般对温度不敏感。研究表明，这种内耗很可能是由于振动固体中存在阻尼共振现象引起的能量损耗，阻尼强迫振动方程可用微分方程来描述9： （1-26）式中为偏离平衡位置的位移；A为振子的有效质量；A 为惯性力；B为阻尼系数B 为通常假定的阻尼力（粘滞阻尼）；C（）为回复力（一般与位移成正比）； 为作用在振子撒还能够的外加振动力。位错在交变应力作用下做强迫振
11、动，依照理论上的推导可以求得与振幅无关的内耗9： （1-27）式中为考虑到滑移面上分解切应力小于外加纵向应力而引入的取向因子；为位错密度；为振动频率； 为谐振频率；d=B/A表示位错弦振动时的阻尼情况。对于高频内耗，如果阻尼系数B很小，即0 /d 1的情况，在=0处出现陡峭的尖峰，具有共振的特征，此时阻尼对振子所做的功（即内耗）最大；如果阻尼系数B很大，即0 /d1，的情况在= 处出现一系列平缓的峰，具有驰豫特征9。这样，阻尼共振型内耗和滞弹性型内耗好像都与振幅无关，而与频率有极大关系，但他们在温度上反映处很大差异。因为大多数驰豫过程的驰豫时间对温度都很敏感，温度略有改变，内耗峰对应的额频率就
12、有很大的改变；而共振型中的固有频率，一般对温度不敏感，因此，内耗峰的闻之随温度的变化要小得多16。1.5内耗（阻尼）与金属结构的关系1.5.1驰豫谱在应力作用下，合金与金属的驰豫过程式由不同原因引起的。这些过程的驰豫时间是材料的常数，并决定了这些驰豫过程的特点。所以只要改变振动频率来测量内耗的变化，就可以在不同条件下找到一系列满足=1关系的内耗峰，形成一个和光谱相似的对弹性应力波的吸收谱。这些内耗峰的总和称为该材料的驰豫谱9。若驰豫过程是通过原子扩散来进行的，则驰豫时间应与温度有关，并遵从阿伦纽斯（Arrhenius）方程9 （1-28）式中H为扩散激活能；R为气体常数；0为决定材料的常数；0
13、为试探频率；T为绝对温度。此关系式的存在对内耗的实验研究非常有利，因为改变频率测量内耗在技术上是困难的。利用（1-28），则用改变温度，也可得到改变的同样效果。因为Q-1依从乘积，所以测出Q-1T曲线就与Q-1ln（）曲线特征相一致。对于两个不同频率（1和2）的曲线，巅峰温度不同，设为T1和T2，且因巅峰处有11=22=1，从（1-28）可得激活能的表达式为9（1-29）或1.5.2 由点缺陷引起的内耗（阻尼）在外加应力作用下，点缺陷处在应力场中时，会发生重新分布，从而在原有应变的基础上引起附加应变，从而消耗能量，引起内耗（阻尼）效应。（1）斯诺克（Snock）峰体心立方晶体中间隙原子引起的内
14、耗6在铁、钽、钒、铬、铌、钼、钨等体心立方金属中含有碳、氮、氧等间隙原子时，由于间隙原子在外应力场作用下发生再分布而在室温附近呈现的斯诺克峰。（2） 甄纳（Zener）峰置换原子引起的内耗6在置换型体心立方、面心立方、密排六角晶体点阵中，由于异类原子对在应力场下的再分布，而在 400500处呈现的内耗峰。近来发现，空位有时也会形成内耗峰。（3）洛辛峰（Rozin）面心立方晶体中间隙原子引起的内耗9 在交变应力的作用下，面心立方晶体中间隙原子产生微扩散出现应力感生有序，从而产生内耗。1.5.3与位错有关的内耗（1）低温位错驰豫型内耗（波多尼峰）9对于面心立方金属、体心立方金属、六方金属以及离子晶
15、体材料中，大约在该金属德拜温度的三分之一处有一个很高的内耗峰。在冷加工状态，Bordoni第一次系统地测量了由4K到室温范围内面心立方金属（Cu，Ag，Al，Pb）的内耗，发现了上述现象，因此这种内耗被称为Bordoni峰。对Bordoni峰解释比较成功的理论时Seeger理论，他认为Bordoni峰是由与沿着平行与晶体中密排方向的位错运动有关的驰豫过程所引起。图1-8中，实线代表晶格密排方向能量最低位置，即Peierls能谷。处于其中的位错在热激活的帮助下，可以形成由一对弯结组成的小凸起。在没有外应力时，这一对弯结由于吸引而消失，但在给定的外应力作用下，弯结对就由一定的临界距离d，即低于此值
16、时，弯结对仍要相互吸引而消失；高于此值时，完结对就相互分开，从而产生了位错沿垂直自身方向的运动，扩大了滑移面，并给出位错应变，内耗的产生就归之于这些凸起部分的形成，故这理论又称为弯结对理论16。因此，在给定温度下，它的产生相应于一定频率，当外加振动频率于此频率相等时内耗便达极大值，故形成上述临界凸起的能量H即为内耗激活能。利用反应率理论计算得到驰豫内耗峰值的上限为9、16 （1-30）式中N0表示单位体积中对驰豫过程有贡献的位错线段数目；L为平均位错线长度。（2）位错钉扎内耗位错内耗是由外应力作用下的位错运动所致，有两种类型：1） 与振幅无关的共振型内耗，由于杂质原子在位错线上钉扎造成了位错线
17、振动成为内耗源。位错不脱钉；2） 与振幅有关的静滞后型内耗；位错已经脱钉，但仍为位错网络所固结16。在实验过程中，上述两种内耗往往不能分开。例如在应力振幅增加的过程中，当振幅小时看到的内耗是共振型的，当振幅超过某一数值时，在原有的共振型内耗中又会看到叠加上的静滞后型内耗9。在中、低温度下，不管是否出现内耗峰，位错内耗都有贡献，因而这种内耗亦被称为背景内耗19。位错内耗可以根据K- G-L（Koehler-Granato-Lcke） 理论进行解释根据 K-G-L 理论所提出的模型，设想位错线在长度 L 的位错线在两端为溶质原子和点缺陷钉扎，见图 1-9。在低交变应力的作用下，杂质原子之间有一段长
18、度为 LC的位错便产生振动。应力增加则位错线的弯曲加剧，当外力增加到足够大时，位错从杂质原子处解脱出来，只剩下 LN 位错网络结点处钉扎。在位错从杂质原子处脱钉之前产生的内耗与振幅无关，当位错从杂质原子脱钉之后，便产生了与振幅有关的内耗9、16。设与振幅无关的缩减量用 表示，与振幅相关的缩减量部分用 表示，如图1-10所示，则总的缩减量9为 （1-31） 1-29与振幅无关内耗（也称背景内耗）在低频下0，位错弦产生驰豫型阻尼，考虑到一般情况下溶质原子沿位错线的分布函数，可得16 （1-32）1-30其中：L 为平均钉扎长度;为振动角频率；b 为柏氏矢量;B 为阻尼系数。是考虑到滑移面上分解应力
19、小于外加纵向应力而引入的取向因子。张小农等20也写出了位错阻尼表达式 （1-33）1-31其中:G 为剪切模量; b 为柏氏矢量; B 为一系数。与振幅有关内耗根据K-G-L模型 是位错段脱钉、回缩过程中的静滞后现象引起的。考虑到脱钉前后位错段长度分布函数的变化，可得与振幅相关的内耗9为： （1-34） 1-32式中 ； K为与产生脱钉所需应力有关的因子；为溶质溶剂原子错配参数；0是应力振幅；LC是平均最小钉扎长度；LN是大钉扎或位错网络的长度。（1-29）式可解释为H随形变量的增加而开始增大后又减小，随点缺陷增多而减小（LC减小）以及随温度升高而增大（LC减小）等实验规律。（3）位错内耗的气
20、团模型16位错气团的内耗模型是位错与各种点缺陷交互作用所产生的为错内耗。其中包括形变峰（即Kster峰）、淬火峰、加氢峰、Hasignti峰以及低频背景内耗等现象。图1-11位错气团模型示意图16在位错内耗的气团模型中，如图1-11，首先考虑一根沿x方向长为l的位错段，两端为位错网络结点所固定，滑移面为XY平面。在切应力，位错线张力及其产生的回复力 铜气团阻尼-B （其中B为阻尼系数）的共同作用下，位错的运动方程写为 （1-35）1-33在小应力下测量内耗时，上式可以得出内耗公式 （1-36）1-34 （1-37）1-35其中为几何因子；D为扩散系数；n为单位长位错线上的溶质原子数，其它的参量
21、如上所述。1.5.4与界面有关的内耗晶界作为材料内部的一种缺陷，在适当的条件下就会成为内耗源4、21。晶界内耗一般来说有三种来源6：（1）晶界滑移。在较高温度下出现，在出现内耗峰的温度下（温度谱），弹性模量亦开始显著下降。以上两种内耗为滞弹性型；（2）晶界散射。由晶界对弹性波散射所致，其衰减系数与频率四次方和晶粒平均尺寸三次方成正比，这种内耗属粘滞型。（3）晶界的热弹性效应。应变不均匀使得有热流通过晶界造成了内耗。其驰豫时间正比于（d2/D）,其中d为晶粒平均大小，D为热扩散系数；1.5.4.1 晶界阻尼 （葛峰）晶界内耗是我国科学家葛庭燧院士开创的一个研究领域。他于1947年首先在多晶纯Al
22、中发现了晶界内耗峰4。他提出晶界内耗峰是由周期性应力作用下晶界的粘滞性滑动引起的，由于材料内部结构因素（如晶界角）的约束，晶界滑动的距离是受到限制的；研究发现，多晶铝的阻尼性能要好于单晶铝，且阻尼性能与频率有关，一般在低频下表现得更明显。此外晶界阻尼对温度十分敏感22：随温度的升高，阻尼值增大，通常在高温下，晶界表现出良好的阻尼特性，但此时材料的物理、力学性能较差，故晶界高温阻尼峰（即葛峰）通常无法应用；但其低温阻尼背景可以用来改善较低温度下材料的阻尼性能，常用下面公式描述晶界产生的阻尼性能。 （1-38）其中 A，n 为与材料显微组织相关的常数，H 为松弛焓，k 为波尔兹曼常数。低频时（ f
23、 10 Hz），对许多常用的金属与合金，n = 0.20.5。葛庭燧提出的无序原子群模型对于晶界驰豫和晶界黏滞滑动的解释为4、21：在外加的切应力的作用下，当温度足够高时，无序原子群内的原子将要发生应力诱导的扩散型原子重新排列，这种重新排列将使得无序原子群内的一些原子移动到具有较低能量的新的平衡位置，从而引起局域切变，而两个相邻晶粒也由于这种局域切变而发生宏观的相对滑动。同时，在各个无序原子群之间的好区内也发生相对应的弹性形变，从而邻接晶体的相对滑动是各个局域切变的总和加上好区内的弹性形变，这种滞弹性形变引起所观测的内耗和滞弹性效应，而晶界的滑动率在小应力的作用下就表现牛顿滞弹性（牛顿粘滞规律
24、21只是说明加到它上面的切应力要随着时间的推移而发生弛豫,并且它的滑动速率与所加的切应力成正比），但是无序原子群晶界模型不适合解释温度在T00.4Tm以下的晶界滑移现象。1.5.4.2 界面阻尼界面阻尼通常指由于相界面的移动引起应力松弛的结果。Schoeck 利用 Eshelby 夹杂理论研究了合金中沉淀相与基体界面结构对合金阻尼性能的影响，发现半共格或共格界面促进合金的阻尼。Lavernia 等将上述理论扩展到复合材料中，引起了对增强体和基体合金之间的界面产生阻尼的广泛研究22。复合材料中低温下结合良好的界面, 随温度的升高将减弱结合强度, 并在一定应力作用下, 可以产生微滑移运动, 从而消
25、耗振动能量, 提高阻尼性能。这种界面微滑移产生阻尼将随温度的升高而增加, 并逐渐成为复合材料中的主要阻尼源19。对于弱界面结合情况，界面对阻尼的贡献用界面滑移模型分析23：当受到循环载荷时，增强体和界面之间开始滑动，滑动摩擦消耗机械能，从而引起阻尼效应。对于颗粒增强复合材料而言，界面滑移导致的阻尼上限值近似为： （1-39） 是陶瓷颗粒和金属基体之间的摩擦系数，r为所施加应力振幅0在界面径向的分量，0是0对应的应变振幅，cr是摩擦能量散失开始时临界界面剪切应力对应的临界界面应变，Ec 为复合材料的弹性模量。对于较弱的结合界面，cr与0相比很小，因而公式（1-39）可改写为： （1-40） k
26、=r/0称为界面处径向应力集中系数，一般情形取值为 1.11.3。事实上，上述公式模型成立的前提是试样受残余热应力或单向应力。而在实际测量条件下，试样往往受扭转或弯曲作用，应力分布并不均匀，因此上式对于实际情况需要给与修正，在原有公式中引入修正因子 C，公式变为23： （1-41） 当采用 DMA 进行测试时，考虑到应变的对称分布，C 常取值为 0.5。对于较强结合界面来说，在高温时基体合金相对于增强体（陶瓷相）变得更软了，界面的阻尼效果变得更显著。由界面附近的位错导致的界面弛豫和滞弹性应变会增加阻尼，此种效应正比于沉淀相的形状、体积含量和沉淀相与基体合金界面处局部应力值。可用下列方程来预计界面对阻尼的贡献22： （1-42）其中 Q-1为阻尼性能；p13为外部剪切应力；为泊松比；V 样品的体积，ai偏平圆球的半径， 是矢量p13在可弛豫平面分量的平方。粗略计算可假定所有颗粒
