1、20100103;修回日期:20100415基金项目:湖南省科技计划项目（2010GK3035,2009GK3186;湖南省教育厅重点项目（08A006;长沙市科技计划项目（K0904040-11通信作者:李桂梅（1965,女,湖南涟源人,副教授,从事智能信息处理及智能系统设计研究;电话:0731-*;E-mail: liggmm中南大学学报（自然科学版 第41卷 1866棒性等,为控制器的设计提供新的自由度,但在理论与应用研究中较复杂9。在这种情况下,研究一种设计简单、使用方便的非线性PID 控制器具有重要的理论意义和应用价值。基于经验式的非线性函数设定方法是使常规PID 控制器的比例增益系
2、数K p 、积分增益系数K i 和微分增益系数K d 成为偏差信号e （t 的非线性函数,即K p （e （t ,K i （e （t 和K d （e （t ,然后,以这3个函数来代替常规PID 控制器的3个增益系数。尽管以偏差信号作为生成非线性函数K p （e （t ,K i （e （t 和K d （e （t 的依据,但生成过程究竟符合什么样的规律并没有固定的公式可利用,这正是建立非线性PID 控制器模型的关键。要得到非线性函数K p （e （t ,K i （e （t 和K d （e （t 的准确解析式很复杂,在此,本文作者通过分析常规PID 参数随系统过渡过程误差变化的理想变化关系14,分别
3、给出比例、积分和微分增益参数关于误差的动态非线性函数,从而获得非线性PID 的可用 模型。1 非线性PID 控制器模型K p ,K i 和K d 3个参数随误差e （t 变化的关系曲线如图1所示14,这些曲线揭示了K p ,K i 和K d 3个参数在PID 控制过程中的作用和物理意义。 （a K p ; （b K i ; （c K d图1 PID 3个增益参数随误差的变化曲线 Fig.1 PID gain parameters of three curves with error（1 K p 的作用是减小超调,增加快速性,因而要求当误差|e （t |较大时,K p 也较大;当|e （t |较
4、小时,K p 也较小。可由图1构造K p 关于误差e （t 的动态非线性函数为（21p t e w t e K = （1且1,1（t e 时,0（1p w t e K 。其中:系数w 1不是凭经验给定,而是通过神经网络在线实时训练来确定,因而是动态的系数。构造的非线性函数K p （e （t 也是动态的非线性函数。（2 K i 的作用是累积系统误差,以减小系统静态偏差,因而,要求当|e （t |较大时,K i 较小;当|e （t |较小时,K i 较大,其物理意义明确,可由图1构造K i 关于误差e （t 的动态非线性函数为:（1（22i t e w t e K = （2且1,1（t e 时,0
5、（2i w t e K 。同理,系数w 2不是凭经验给定,而是通过神经网络在线实时训练来确定,因而是动态的系数,从而构造的非线性函数K i （e （t 也是动态的非线性函数。这里要特别指出的是:当出现积分饱和情况时,通过系数w 2的自适应调整可有效避免积分饱和的情况。（3 K d 的作用是增加系统阻尼,对系统起到提前校正、达到提高系统稳定性的目的,因而要求超调（e （t 0越多时,K d 越大;欠调（e （t 0越多时,K d 越小;在稳定值附近（e （t 0时,K d 介于超调和欠调时的之间。因此,可由图1构造K d 关于误差e （t 的动态非线性函数为（5.0（1（23d t e t e
6、w t e K += （3且1,1（t e 时,5.2,5.0（33d w w t e K 。同理,系数w 3不是凭经验给定,而是通过神经网络在线实时训练来确定,因而是动态的系数,构造的非线性函数K d （e （t 也是动态的非线性函数。从形式上看,式（1（3都是关于误差信号e （t 的二次函数,但是,由于系数w 1,w 2和w 3都是动态系数,因此,由式（1（3构造的非线性函数具有高度非线性,最终得出的动态非线性PID 模型为:（d （d 0 i p t et e K e t e K t e t e K t u t+= （4将式（1（3代入式（4,经整理得:+=te t e w t e w
7、t u 0 2231d （1（5.0（123t et e t e w + （5 为了便于CPU 处理,将式（5离散为+=km m e k e T w k e w k u 02231（1（1（5.0（123+k e k e k e k e Tw （6T 为采样周期,是1个常数。将T 分别隐含到系数w 2和w 3中,并设（1（0k e k s k s m e km +=1（=k e k e k e则式（6可简写为第5期 李桂梅,等:一种基于神经网络算法的非线性PID 控制器 1867+=（1（2231k s k e w k e w k u（5.0（123k e k e k e w + （7且1,1
8、（k e 。非线性比例项为u p （e ,w 1=w 1e 3（k ;非线性积分项为=,（2i w e u （122k s k e w ;非线性微分项为=,（3d w e u （5.0（123k e k e k e w +。式（7所示的非线性控制率给出了明确的物理意义:在超调（e （k 0且e （k 1时,主要由非线性比例项起决定作用,而非线性微分项和积分项起的作用很小;在稳定值附近（|e （k |较小时,主要由非线性积分项、微分项起决定作用,而非线性比例项的作用很小。这在很大程度上保证了系统在过渡过程中PID 参数随误差变化的理想变化关系。2 动态非线性PID 神经网络控制器模型算法2.1
9、动态非线性PID 神经网络控制器模型由式（7可知,若以1,1（k e 和u （k 分别为神经网络的输入和输出,并以动态系数w 1,w 2和w 3为网络权值,以非线性函数e 3（k ,1e 2（k s （k 和1e （k +0.5e 2（k e （k 为隐层神经元激励函数,则可得到网络拓扑结构为131的动态非线性PID 神经网络控制器,其模型如图2所示。s 1（k =e 3（k ;s 2（k = 1e 2（k s （k ;s 3（k 1e （k +0.5e 2（k e （k ;s （k = s （k 1+e （k ;s （1=0;e （k =e （k e （k 1,e （1=0。动态非线性PID
10、 神经网络控制器模型如图2所示。由图2可知:本文研究的动态非线性PID 神经网络控制器不仅保留了常规PID 控制器结构简单的特点,而且构造了PID 增益参数关于误差信号的动态非线性函数。因为w 1,w 2和w 3是动态权值,因而实现了PID 增益参数的高度非线性,并将其分别融入到3个隐层神经元中,通过神经网络的实时在线训练来获取权值系数,有效避免了常规神经网络控制器隐层神经元节点数难以确定的问题。2.2 动态非线性PID 神经网络控制器算法由图2可知,系统初始误差函数为:E （k =r （k y （k ,通过比例阈值函数可得归一化误差信号e （k （非线性PID 神经网络智能控制器的输入信号为
11、+=1 （,11 （ 1,（1 （,1（k E k E k E k E k e （8定义性能指标为:1（212+=k E J （9 其中:1（1（1（+=+k y k r k E （10神经网络训练的目的就是使性能指标J 最小,即（ 1（k E k E +。为此,将非线性PID 神经网络控制器与被控对象:,1（,（,1（,（1（=+k u k u k y k y f k y （11作为一个整体,通过对神经网络输出u （k （见式（7表达式中的权值系数的优化,使性能指标J 最小。采用最速下降法,网络权值训练算法如下:（1（k w Jk w k w j j j =+; j =1, 2, 3 （12
12、 由式（7（11可得:（1（1（1（1（k w k u k u k y k y k E k E J k w J j j += （13因为1（1（+=+k E k E J,11（1（=+k y k E ,=（1k w k u（3k e ,（1（22k s k e k w k u =,=（3k w k u +（1k e图2 动态非线性PID 神经网络控制器模型Fig.2 A controller model of dynamic nonlinear PID neural network 中南大学学报（自然科学版 第41卷 1868（5.02k e k e ,分别代入式（13,可得:（1（31k y
13、 k e k E k w Ju += （14（11（22k y k s k e k E k w Ju += （15（5.0（11（23k y k e k e k e k E k w Ju += （16将式（14（16代入式（12,可得:（1（1（311k y k e k E k w k w u +=+ （17（11（1（222k y k s k e k E k w k w u +=+ （18+=+（11（1（33k e k E k w k w （5.02k y k e k e u （19（1（k e k s k s +=,01（=s ;=（k e 1（k e k e ,01（=e ;为学习率,
14、01;（/1（k u k y k y u +=。2.3 非线性PID 神经网络算法由式（17（19可知:1（+k E 和=（k y u（/1（k u k y +均与系统的未来输出1（+k y （未知有关,因而,神经网络权值训练时会出现计算困难问题。国内外许多研究者采用被控对象的模型辨识方法来解决此问题,但是,计算量也大,实时性差,而且对于时变系统,模型辨识不能实现。若算法是收敛的,则必有|E （k +1|E （k |,且|e （k |E （k |,故只要满足|E （k +1|e （k |即可保证算法收敛的。据此,设（1（k e k E =+,且01。由于可通过学习率来弥补,因此,可将隐含在学习
15、率中。此外,用符号函数来替代（/1（k u k y +也是可行的。因为其符号的正负只决定权值变化的方向,其数值只影响权值的变化速度,而权值变化速度也可通过学习率弥补。设=2（1（ , 1（sign 2（1（ , 2（1（1（sign （k u k u k y k y k u k u k u k u k y k y k y u （20则式（17（19可改写为:（1（411k yk e k w k w u +=+ （21（1（1（222k yk s k e k e k w k w u +=+ （22（5.0（1（1（233k yk e k e k e k e k w k w u +=+ （23已隐
16、含在学习率中。为了有效避免因权值过大引起神经网络训练过程中出现振荡现象,通常对权值进行归一化处理,即=+=+311（/1（1（i i j j k w k w k w ;j =1, 2, 3 （24由式（21（23可知,权值的计算只与当前或历史的系统输入（r （k 和r （k 1、输出（y （k 和y （k 1以及历史控制信号（u （k 1和u （k 2有关,因而有效解决了权值计算问题。由于本文研究的非线性PID 神经网络控制器只涉及乘法和加法运算,便于CPU 处理,因此,计算简单,计算量小,便于实际应用。 2.4 算法收敛性为了保证系统稳定工作,必须对算法的收敛性进行理论研究,以便为确定学习率
17、提供理论依据,避免选择学习率的盲目性。定理1 当且仅当学习率满足（202k s 时,本文研究的神经网络算法是收敛的。（1（k e k s k s +=。证明 取Lyapunov 函数为:=+1（k V 1（22+k E则有2（211（22+=+k E k E k V因为1（1（2（+=+k E k E k E ,因此, +=+1（211（1（1（k E k E k E k V （25由于=+=+31（1（i i i w w k E k E ,由式（10和式（7可得:（1（31k e k yw k E u =+, （1（1（22k s k e k yw k E u =+, （5.0（1（1（23
18、k e k e k e k yw k E u +=+由式（21（23可得:（41k y k e w u =,（1（22k y k s k e k e w u =,（5.0（1（23k yk e k e k e k e w u +=于是,有:+=+（1（62k e k y k e k E u （5.0（1（1222222k e k e k e k s k e + （26将（1（k e k E =+和式（26代入式（25,并整理可一种基于神经网络算法的非线性PID 控制器 1869得:（21（1（222k p k y k p k y k e k V u u =+ （27+=（1（1（2226k e
19、 k s k e k e k p 0 （5.0222k e k e 。由式（27知:要使神经网络算法收敛,必须有下式成立:0 （2k p k y u （28 因0 ,且1（2=k y u ,所以,（2 0k p 。可以证明:1.25p （k s 2（k ,且0T ,其传递函数为15s s s G 100e 1602（+=由文献15可知:若利用常规控制算法控制该对象,则很难获得满意的控制效果。在本文算法中,使权值的初始值为0,给定学习率=2103,采样周期为0.1 s ,通过神经网络实时在线训练,其仿真结果如图3（a所示,文献15中的仿真结果如图3（b所示。（a 本文仿真结果;（b 文献15中仿
20、真结果图3 实例1仿真结果Fig.3 Simulation results of example 1由图3可知:采用本文方法,调节时间约为 400 s ,而采用NOIC 方法15则需要650 s 。由图3（b还可知:使用传统PID 控制方法无法对该对象实现有效控制。例2 对象B 是1个非线性对象,其离散化方程为15:（85.01（15.0（8.01（2k u k y k y k y +=+u （k 和y （k 分别是被控对象的输入和输出变量。在本文算法中,使权值的初始值为0,给定学习率为=2104,设采样周期为0.1 s ,通过神经网络在线训练,其仿真结果如图4（a和4（b所示,且超调量为1.331013%,稳态误差为0,调节时间为5 s 。而文献15中的仿真结果如图4（c所示,超调量为15%,稳态误差为0,调节时间为10 s 。1870 中南大学学报（自然科学版 第 41 卷 参考文献： 1 2 HAN Jin-qin. Nonlinear PID controllerJ. Acta Automatica Sinica, 1994, 20（4: 487490. CHENG
