1、 弧长公式：l|r扇形面积公式：S扇形lr|r22. 任意角的三角函数（1） 任意角的三角函数的定义设P（x，y）是角终边上任意一点，且|PO|r（r0），则有sin，cos，tan，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数（2） 三角函数在各象限内的正值口诀是：全正、正弦、正切、余弦3. 三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos，sin），其中cosOM，sinMP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tanA
2、T我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线备课札记题型1 三角函数的定义例1 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosx，求sin的值解： OP， cosx.又是第二象限角， x0，得x， sin.已知角的终边经过点P（x，） （x0），且cosx，求sin的值 P（x，） （x0）， 点P到原点的距离r.又cosx， cosx. x0， x. r2.当x时，P点坐标为（，），由三角函数的定义，有sin， sin；当x时，同理可求得sin.题型2 三角函数值的符号及判定例2 （1） 如果点P（sincos，2cos）位于第三象限，试判断角所在的象限；（2）
3、若是第二象限角，试判断sin（cos）的符号（1） 点P（sincos，2cos）位于第三象限， sincos0，2cos0，即 为第二象限角（2） 2k2k（kZ）， 10， sin（cos）0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？（1） 设弧长为l，弓形面积为S弓 60，R10， l（cm） S弓S扇S10102sin6050 cm2.（2） 扇形周长C2Rl2RR， R， S扇R2，当且仅当，即2（2舍去）时，扇形面积有最大值.（1） 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；（2） 一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.（1） 设圆心角是
4、，半径是r，则解得或（舍去） 扇形的圆心角为.（2） 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得 圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1弧度 AH1sin1sin1 （cm）， AB2sin1 （cm）1. 若角与的终边相同，则在0，2内终边与的终边相同的角是_，由题意，得2k（kZ），（kZ）又0，2，所以k0，1，2，3，.2. （2014全国）已知角的终边经过点（4，3），则cos_根据题意，cos.3. 已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为_cm2.4设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2rl8，Srlr（82r）r24r（r2）24，所以Smax4（cm2）
5、4. 若角的终边与直线y3x重合且sin0，又P（m，n）是角终边上一点，且|OP|，则mn_2依题意知解得m1，n3或m1，n3.又sin0， 的终边在第三象限， n0， m1，n3， mn2.1. 设集合M，N|，则MN_由，得k. kZ， k1，0，1，2，故MN.2. 已知，回答下列问题（1） 写出所有与终边相同的角；（2） 写出在（4，2）内与终边相同的角；（3） 若角与终边相同，则是第几象限的角？ （1） 所有与终边相同的角可表示为.（2） 由（1） 令42k2（kZ），则有2k1. kZ， 取k2、1、0.故在（4，2）内与终边相同的角是、.（3） 由（1） 有2k（kZ），则k
6、（kZ） 是第一、三象限的角3. （2014宿迁市调研）角终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a0），角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sincossincostantan的值由题意得，点P的坐标为（a，2a），点Q的坐标为（2a，a）所以，sin，cos，tan2；sin，cos，tan.故有sintan（2）1.4. 已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 扇形的周长为40， R2R40.SR2R2R100.当且仅当R2R，即R10，2时扇形面积取得最大值，最大值为100.1. （1） 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方
7、法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式（2） 已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角2. 已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解的三角函数值3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式4. 利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤（1） 用边界值定出角的终边位置（2） 根据不等式（组）定出角的范围（3） 求交集，找单
8、位圆中公共的部分（4） 写出角的表达式请使用课时训练（B）第1课时（见活页）第2课时同角三角函数的基本关系式 与诱导公式（对应学生用书（文）、（理）4243页） 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21， tan. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k（kZ），1. （必修4P16例1改编）已知是第二象限角，tan，则sin_由解得sin. 为第二象限角， sin0， sin.2. cos_coscoscos（17）
9、cos.3. sin2（）cos（）cos（）1_原式（sin）2（cos）cos1sin2cos212.4. （必修4P21例题4改编）已知cos，且，则cos_coscossin.又，所以.所以sin，所以cos.5. （必修4P22习题9（1）改编）已知tan2，则_22.1. 同角三角函数的基本关系（1） 平方关系：sin2cos21（2） 商数关系：tan. 2. 诱导公式组数一二三五六角2k（kZ）正弦sinsincos余弦cos正切tantan口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限题型1 同角三角函数的基本关系式例1 （必修4P23第18题改
10、编）已知是三角形的内角，且sincos.（1） 求tan的值；（2） 将用tan表示出来，并求其值（1） （解法1）联立方程由得cossin，将其代入，整理，得25sin25sin120. 是三角形内角， tan.（解法2） sincos， （sincos）2，即12sincos， 2sincos， （sincos）212sincos1. sincos0且00，cos0， sincos.由得 tan.（2） . tan， . 已知关于x的方程2x2（1）xm0的两根为sin和cos，且（0，2）（1） 求的值；（2） 求m的值；（3） 求方程的两根及此时的值（1） 由韦达定理可知而sincos
11、.（2） 由两边平方得12sincos，将代入得m.（3） 当m时，原方程变为2x2（1）x0，解得x1，x2， 或 （0，2）， 或.例2 （必修4P23第10（2）题改编）化简：（）（）原式（）（）（）（）已知sincos0，化简：cossin_sin sin0， 为第二或第四象限角tan0， 为第四象限角， 为第二或四象限角 原式cos原式sin.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin，（0，），求的值 sin， cos.又（0，）， sin.原式.已知cos（），且角在第四象限，计算：（1） sin（2）；（2） （nZ） cos（）， cos，cos.又角在第四象限， si
12、n.（1） sin（2）sin2（）sin（）sin .（2） 4.1. 已知sin，那么cos_sinsincos.2. 已知an为等差数列，若a1a5a9，则cos（a2a8）_由条件，知a1a5a93a5， a5， cos（a2a8）cos2a5cos.3. 已知tan，则tan_ ， tan（）tantan.4. 已知sincos，则sincos的值为_（解法1） 0， cossin.又（sincos）212sincos， 2sincos， （sincos）212sincos1， sincos.（解法2） sincos，且， ，sincossin，即sin.又cos， sincos（c
13、ossin）cos.1. 已知0x，sinxcosx.（1） 求sinxcosx的值；（2） 求tanx的值 （1） sinxcosx， 12sinxcosx， 2sinxcosx. 00，2sinxcosx0， cosx0， sinxcosx .（2） ，tanx.2. 已知3cos2（x）5cos1，求6sinx4tan2x3cos2（x）的值由已知得3cos2x5sinx1，即3sin2x5sinx20，解得sinx或sinx2（舍去）这时cos2x1，tan2x，故6sinx4tan2x3cos2（x）643.3. 已知在ABC中，sinAcosA.（1） 求sinAcosA；（2）
14、判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；（3） 求tanA的值（1） 因为 sinAcosA，两边平方得12sinAcosA，所以sinAcosA.（2） 由（1） sinAcosA0，且0A，可知cosA0，cosA所以sinAcosA，所以由，可得sinA，cosA，则tanA.4. 若sin（3）cos，cos（）cos（），且0，0，求和的值由已知，得22得sin23cos22（sin2cos2），即sin23（1sin2）2，得sin2， sin 00，0）在一个周期内的图象，则IAsin（t）的解析式为_Isin由图可知A，.代入和，解得，于是Isin.4. （必修4P32练习6改编
15、）函数ycos的单调递增区间是_（kZ）2k2x2k，即kxk（kZ），所求单调递增区间是（kZ）5. （必修4P32第5题改编）函数y2sinx的值域是_1，2根据正弦函数图象，可知x时，函数取到最小值1；x时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数yf（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（xT）f（x）都成立，则称yf（x）为周期函数；函数yAsin（x）和yAcos（x）的周期均为T；函数yAtan（x）的周期为T2. 三角函数的图象和性质三角函数ysinxycosxytanx图象定义域R值域和最值1，1 最大值：1最小值：1无最
16、值周期2奇偶性奇函数偶函数对称性关于xk（kZ）对称关于xk（kZ）对称对称中心是（kZ）单调区间在2k，2k（kZ） 上单调递增在2k，2k（kZ）上单调递减2k，2k2（kZ）单调递增2k，2k（kZ）单调递减在（k，k）（kZ）上单调递增3. “五点法”作图在确定正弦函数ysinx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0，0）、（，0）、 （2，0）余弦函数呢？4. 函数 yAsin（x）的特征若函数yAsin（x） （A0，0，x（，）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f（x）2sin（x
17、）（0）的部分图象如图所示，则_由图象可知函数的四分之三周期为T，T3，.已知函数yAsin（x）（其中A0，0，|）的部分图象如图所示，则_3由图知，A2，将（0，）、代入函数，得 题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y2sin（xR）的图象，只需把函数y2sinx（xR）的图象上所有的点经过怎样的变换得到？y2sinx用代替x，左移 个单位y2sin再用代替x，各点横坐标伸长到原来的3倍。y2sin.已知函数f（x）2sincossin（x）（1） 求f（x）的最小正周期；（2） 若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间0，上的最大值和最小值（1） 因为f（x）
