1、由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2 ，O到直线l的距离为，故|PM|，所以POM的面积为.21、2014重庆卷 如图15，设椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.（1）求该椭圆的标准方程（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由图1521解：（1）设F1（c，0），F2（c，0），其中c2a2b
2、2.由2得|DF1|c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|.由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.（2）如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.由（1）知F1（1，0），F2（1，0），所以（x11，y1），（x11，y1）再由F1P1F2P2得（x11）2y0.由椭圆方程得
3、1（x11）2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C（0，y0），由CP1F1P1，得1.而y1|x11|，故y0.圆C的半径|CP1|.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2.H2两直线的位置关系与点到直线的距离18、2014江苏卷 如图16所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方
4、向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tanBCO.（1）求新桥BC的长（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？图1618解： 方法一：（1）如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy.由条件知A（0, 60）, C（170，0），直线 BC 的斜率kBCtanBCO.又因为 ABBC, 所以直线AB的斜率kAB.设点 B 的坐标为（a，b），则kBC， kAB，解得a80, b120，所以BC150.因此新桥BC的长是150 m.（2）设保护区的边界圆M的半径为r m, OMd m （0d60）由条件知， 直线BC的方程为y（
5、x170），即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切， 故点 M（0, d）到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时， r 最大， 即圆面积最大，所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大方法二：（1）如图所示， 延长 OA, CB 交于点F.因为 tanFCO，所以sinFCO， cosFCO.因为OA60，OC170，所以OFOC tanFCO， CF， 从而AFOFOA.因为OAOC, 所以cosAFB sinFCO.又因为 ABBC，所以BFAFcosAFB， 从而BCCFBF150.（2）设保护区的边界圆 M
6、与BC的切点为D，连接 MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m （0d60）因为OAOC, 所以sinCFOcosFCO.故由（1）知sinCFO， 所以r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以故当d10时， r最大，即圆面积最大，22、2014全国卷 已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线y4与 y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程22解：（1）设Q（x0，4），代入y22px，得x0
7、，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2（舍去）或p2，所以C的方程为y24x.（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1（m0）代入y24x，得y24my40.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y24m，y1y24.故线段AB的中点为D（2m21，2m），|AB|y1y2|4（m21）又直线l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2 y4（2m23）0.设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3y4，y3y44（2m23）故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价
8、于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4（m21）2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.H3圆的方程172014湖北卷 已知圆O：x2y21和点A（2，0），若定点B（b，0）（b2）和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则（1）b_；（2）_17（1）（2）解析 设点M（cos ，sin ），则由|MB|MA|得（cos b）2sin22，即2bcos b2142cos 52对任意的都成立，所以又由|MB|MA|，得0，且b2，解得辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，
9、切点为P（如图15所示）（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程（1）设切点坐标为（x0，y0）（x00，y00），则切线斜率为，切线方程为yy0（xx0），即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为（，）（2）设C的标准方程为1（ab0），点A（x1，y1），B（x2，y2）由点P在C上知1，并由得b2x24x62b20.又x1，x2是方程的根，所以由y1x1，y2x2，得|AB|x1
10、x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2，得|AB|，即b49b2180，解得b26或3，因此b26，a23（舍）或b23，a26，从而所求C的方程为1.H4直线与圆、圆与圆的位置关系52014浙江卷 已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A2 B4 C6 D85B解析 圆的标准方程为（x1）2（y1）22a，r22a，则圆心（1，1）到直线xy20的距离为.由22（）22a，得a4, 故选B.62014安徽卷 过点P（，1）的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.6D解析 易知直线l的斜率存在，所以可
11、设l：y1k（x），即kxyk10.因为直线l圆x2y21有公共点，所以圆心（0，0）到直线l的距离1，即k2k0，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是.72014北京卷 已知圆C：（x3）2（y4）21和两点A（m，0），B（m，0）（m0）若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（）A7 B6C5 D47B解析 由图可知，圆C上存在点P使APB90，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以1m1，即4m6.11，2014福建卷 已知圆C：（xa）2（yb）21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为（）A5 B29C37 D4911C解析 作出不等式组表示的平面
12、区域（如下图阴影部分所示，含边界），圆C：（xa）2（yb）21的圆心坐标为（a，b），半径为1.由圆C与x轴相切，得b1.解方程组得即直线xy70与直线y1的交点坐标为（6，1），设此点为P.又点C，则当点C与P重合时，a取得最大值，所以，a2b2的最大值为621237，故选C.212014福建卷 已知曲线上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y3的距离小2.（1）求曲线的方程（2）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的
13、结论方法一：（1）设S（x，y）为曲线上任意一点依题意，点S到点F（0，1）的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F（0，1）为焦点，直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由（1）知抛物线的方程为yx2.设P（x0，y0）（x00），则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0（xx0），即yx0xx.由得A.由得M.又N（0，3），所以圆心C，半径r|MN|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变（1）设S（x，y）为曲线上任意一点，则|y（3）|2.依题意，点S（x，
14、y）只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简得，曲线的方程为x24y.（2）同方法一湖南卷 若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m（）A21 B19 C9 D116C解析 依题意可得C1（0，0），C2（3，4），则|C1C2|5.又r11，r2，由r1r215，解得m9.92014江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆（x2）2（y1）24截得的弦长为_9. 解析 由题意可得，圆心为（2，1），r2，圆心到直线的距离d ，所以弦长为22 .16、2014全国卷 直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于_16.解析 如图所示，根据题意知，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tan OPA，故tan APB，即l1与l2的夹角的正切值等于.122014新课标全国卷 设点M（x0，1），若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是（）A. 1，1 B. C. ， D.
