1、2015年 11 月 11日备 注数 学 实 验 课 程 成 绩 评 定 表血样的分组检验 摘 要 本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中（数量很大,基本上是健人）找出某种病毒的感染者,为减少检验次数（目的是降低费用）,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n,将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验,若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验,以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性,则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验数
2、,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E（k）,求解得E（k）=kp+1/k;通过计算,当p时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E（k,m）,通过求导得稳定点函数,解方程组得:k=1/m=p-1/2。关键词 先验概率 平均总检验次数 血样的阴阳性 组的基数1. 问题的提出 血样的分组检验在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p, 为减少检验次数将人群分组。 若 k人一组，当 k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。 当 p固定
3、时%, 1%, ），k多大可使检验次数最小 p多大就不应再分组 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。 讨论其它分组方案，如半分法、三分法。2. 基本假设血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常 血样检验时仅会出现阴性,阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂 灵敏度很高,不会因为血样组数的增大而受影响.阳性血样与阳性血样混合也为阳性 阳性血样与阴性血样混合也为阳性阴性血样与阴性血样混合为阴性3. 符号说明 变量：N：检验人群总数 P：阳性的先验概率 K:每组的人数 q:阴性先验概率q=1-p L:为一次分组没人的化验次数的最小值X:一次分组每人的化验次数M:组
4、数 E（x）:X的数学期望，即均值 血样检验为阳性（患有某种疾病）的人数为:z=np发生概率:Pi,i=1,2,.,x 检查次数:Ri,i=1,2,.x平均总检验次数:N=4. 问题的分析 根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.由基本假设有p + q = 1,且被测人群全体n为定值,所以为使验血次数最少只需使平均每人的验血次数最少即可1对每一分组的检测结果只有两种结果,若血样为阴性则只需验这一次, 概率为qk , 否则需验k1次,概率为
5、1 - qk 1人群全体n中每人的平均需验次数为X 的均值, 需要考虑的问题是: 在0 q 1时，就不应分组,即当E（K）1时，不应分组，即：111kpk 用数学软件求解得检查k=2,3,可知当p不应分组.模型三 将第1次检验的每个阳性组再分y小组,每小组m人（y整除k, m ）.因为第1次阳性组的 平均值为1xp,所以第2次需分小组平均检验1yxp次,而阳性小组的概率为2p=1-qm（为计算2简单起见,将第1次所有阳性组合在一起分小组）,阳性小组总数的平均值为12,这些小组需每人检验,平均检验次数为12,所以平均总检验次数N=x+12,一个人的平均检验次数为N/n： , （3）问题是给定p求
6、k,m使E（k,m）最小. （4）P很小时（3）式可简化为：对（4）对（4）分别对k,m求导并令其等于零,得方程组舍去负数解可得: （5） 且要求k,m,k m 均为整数.经在（5）的结果附近计算,比较E（k,m）,得到k,m的最优值,见表2：pkME（k,m）7001252522111474表2-1二次分组检验结果与表2-1比较可知,二次分组的效果E（k,m）比一次分组的效果E（k）更好. 模型四（平均概率模型） 主要参数：患病人数:z=np 组的基数:每组需要检验的人数。平均检验次数: i=x i=0 N=PiRi 阳性血样的分组模型:可分为x组,每组k人 12r,r,.,rx分组要满足的
7、条件: 123x rrr.r 1234xr+r+r+r+.+r=z其中y为患病人数。 分组人数=患病人数（即:血样呈阳性的人数）时,通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优 2）当zk（ n Kx ）时,一组人不能包括所有的病人数,第一次检验的基数较大. 当z k=0:20:400 k= 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 p=1./k+*k p = Columns 1 through 17 Inf Columns 18 through 21 plot（k,p） xlabel
8、（人数k ylabel（E（k） title（图一图二程序： k=26:2:40; p=1./k+*k; plot（k,p） k图二 ，p=%时的，p,k图程序 200 k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 p=（1./k）.2;）p p=%时p,k图程序： k=20: plot（k,p,r附录B n=1%.分100组阴性组阳性组分组可能情况概率检验次数平均检验次数199P1=1/42110298P2=4/42120397P3=8/42130969P4=9/421403095P5=7/42150694P6=5/4216093P7=3/4217092
9、P8=2/4218091P9=1/4219090P10=1/42 平均检验次数： 1 x iNPiRi 个人平均检验次数：E=N/1000= n=1000,p=1%,分125组，每组8人124123P1=4/40141122P2=8/40149121P3=9/40157P4=7/40165119P5=5/40173118P6=3/40181117P7=2/40189116P8=1/40197115P9=1/40205平均检验次数： n=1000,p=1%,分为50组，每组20人70P2=10/4233P3=33/4264P4=64/4284P5=84/42P6=90/4282P7=82/42P8=70/4221054P9=54/4223042P10=42/42250E=N/1000=
