1、四年级等差数列求和第3讲：等差数列求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出 了一道题让同学们计算：1+2 + 3+4+,+99 + 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案 等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察 发现：1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98=,=49+52 = 50 + 51。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。 于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100） X1004-2 = 5050o小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列的求和问题。若
2、干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项, 最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项 与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变 的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项+末项）X项数*2末项=首项+公差X （项数一1）1 / 13项数=(末项一首项)十公差+1例1:计算下列数列的和(1)1, 2, 3, 4, 5, , 100；(2)8, 15, 22, 29, 36, 71。其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，
3、得到等差数列的求和公式： 和二(首项+末项)X项数一2随堂小练：计算等差数列1, 3, 5, 7, 9, ”, 99的和例2：计算下面数列的和1 + 2 + 3+, +1999分析：这串加数b 2, 3, 1999是等差数列，首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得解：原式二（1 + 1999） X 19994-2 = 1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加 数是否构成等差数列。例3： 计算下面数列的和11 + 12+13+, + 31分析：这串加数11, 12, 13, , 31是等差数列，首项是11, 末项是31,共有31-11 +
4、 1 = 21 （项）。解：原式二（11+31） X214-2=441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时 就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数 =（末项-首项）三公差+1, 末项二首项+公差X （项数-1）。例4：计算下面数列的和3 + 7 + 11+,+99分析：3, 7, 11, , 99是公差为4的等差数列， 项数二（99 一3) 4-4+1 = 25解：原式二(3 + 99) X254-2=1275例5 :求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项二25 + 3X (40-1) =142, 和二(25 + 142) X40 2
5、 = 3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种 与等差数列求和有关的问题。随堂小练：(1)求等差数列：1、3、5、7、9它的第21项是多少?(2)求等差数列：2、6、10、14、18它的第60项是多少?例6：己知数列2、5、8、11、1435,这个数列共有多少项？分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第 4项比首项多3个公差，那第n项比首项多5-1）个公差。可根 据，项数=（末项一首项）宁公差+ 1进行计算，（35-2）宁3+1=12。所以，这个数列共有12项。由此可知：项数二（末项一首项）一公差+ 1随堂小练：（1）有一个等差数列：1、3、5、7、9
6、99,这个等差数列共有多少项？（2）有一个等差数列：2、5、8、11101,这个等差数列共有多少项?例7：在下图中，每个最小的等边三角形的而积是12厘米2,边 长是1根火柴棍。问：(1)最大三角形的面积是多少平方厘米？ (2)整个图形由多少根火柴棍摆成?分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数 目为1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列， 各层的火柴数也成等差数列。解：(1)最大三角形而积为 (1 + 3 + 5+,+ 15) X 12 =(1+ 15) X84-2 X12 =768 (平方厘米)2)火柴棍的数目为 3+6 + 9+,+24 =(3+24)X
7、84-2=108(根)。答：最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆 成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出 一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只 球，将每只球各变成3只球后放回盒子里“第十次从盒子里拿出十只 球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只 乒乓球？分析：一只球变成3只球，实际上多了 2只球。第一次多了 2只 球，第二次多了 2X2只球,，”第十次多了 2X10只球。因此拿了十次 后，多了 2Xl + 2X2+, + 2X10 =2X (1 + 2 + ,+ 10) =2 X 55=110 (只)。 加
8、上原有的3只球，盒子里共有球110 + 3 = 113 (只)。解：综合列式为：(3-1) X (1 + 2+,+ 10) +3=2X (1 + 10) X104-2 +3= 113 (只)课后练习:1、求下列等差数列的和。(1) 6 + 7+S + 9 + + 74+75(2) 2 + 6 + 10+14 + + 122+126(3)1 + 2 + 3 + 4 + + 2007 + 20082、有一个数列,4、10. 16、2252,这个数列有多少项?3、一个等差数列，首项是3,公差是2,项数是10o它的末项是多少？4、求等差数列1. 4、1、10,这个等差数列的第30项是多少?5、有一个数列：6、10、14、18、22,这个数列前100项的和是多少？6、在等差数列1、5、9、13、17401中，401是第几项？第50项是多少？7、求199个连续自然数的所有数字的和。8己知等差数列5, 8, 11,求岀它的第15项和第20项。9、按照1. 4. 7、10、13，排列的一列数中，第51个数是多少？10、一个剧场设置了 22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比 前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
