1、八年级数学上第三章教案教学内容3.1圆 （1)教学目标知识点1理解圆、弧、弦等有关概念2学会圆、弧、弦等的表示方法3掌握点和圆的位置关系及其判定方法能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力德育点用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活 重 点弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系难 点点和圆的位置关系及判定教 法操作、讨论、归纳、巩固学 法通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣教学辅助画圆工具教 学 过 程进程教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图达 到 效 果一复习引入二新课讲述三小结四、随堂练习1展示幻灯片，教师指出，日常生活和
2、生产中的许多问题都与圆有关如（1）一个破残的轮片(课本P62图)，怎样测出它的直径?如何补全？（2）圆弧形拱桥(课本P63图)，设计时桥拱圈()的半径该怎样计算?（3）如何躲避圆弧形暗礁区(课本P60、P74图)，不使船触礁？（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？2上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：圆上的点有什么特性吗？圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。(板书)31 圆1 师生一起用圆规画圆：取一根绳子，把一端固定在画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆(课
3、本图31、32)归纳：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”如图所示2圆的有关概念（如图33）（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧用符号“”表示小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的(3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆例如，图中的O1和O2是等圆圆心相同，半径不相等
4、的圆叫做同心圆。（学生画同心圆） (4) 完成P58做一做由上述问题提出：确定一个圆的两个必备条件是什么？说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。3结论：一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：drP在圆外4例 如图，在A地往北80m的B处有一幢房，西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么
5、范围内?分析：爆破影响面大致是圆形，正北方向线与正南方向线垂直解：连结AD，由勾股定理得：BC2AC2AB21002802=16400，BC20 (m)ADBC2010 (m)10107， AB80m， AC100m，ADABAC所以爆破影响面的半径应小于10m阅读课本P80中生活离不开圆，完成P59课内练习视时间完成P60的作业题1圆、弧、弦的概念和表示方法2点和圆的位置关系及判定方法1判断（1）圆是一条封闭曲线，它上面的任何一点到某个定点的距离都等于定长。（2）圆的任何一条弦的两端点，把圆分成两条弧，所以一条弦对两条弧。（3）到圆心的距离小于半径的点在圆上。（4）直径是弦，且圆内最长的弦是
6、直径。（5）半圆是弧，弧小于半圆。2填空（1）已知圆上有3个以其中每两个点为端点的弧共有 （2）在半径是5cm的圆O内有一条弦AB，则AB （3）两个同心圆的圆心为O，半径分别是3和5，点P在小圆外，但在大圆内，那么OP的取值范围是 （4）在中，以点A为圆心，AB为半径画A，那么点C 与A的位置关系是 （5）与的半径分别是r1和r2，且r1和r2是方程x2ax10的两个根，如果与是等圆，则a的值为 3如图的半径OA5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OCOA，OC=BC。求（1）的度数；（2）AB的长。（四种以上方法）学生观察讨论回答定圆心半径三点确定一个圆垂径定理利用圆周角半径定长重心稳定学
7、生口答学生观察并比较熟记圆的有关概念学生在了解的基础上观察下图，引入点和圆的位置关系：请学生口答，然后电脑演示完整的解答过程口答师生一起讨论得出独立完成，课堂校对通过设问，目的是唤起对学习圆的兴趣通过比较回答，引起对圆的有关概念的认识。使学生掌握用运动的观点定义圆，突出圆是封闭曲线。只要求学生了解掌握点和圆的位置关系学会用点和圆的位置关系研究实际问题，把几何问题实际化，突出它的实际应用性巩固提高梳理概括，形成结构巩固提高，形成结构作业布置见作业本扳书设计3.1圆(1)概念 例1教后反思 学生能较好的理解本节教学内容,但对于如何应用学生还是掌握的不怎样的好.3.1圆（2）教学目标学生经历不在同一
8、直线上的三点确定一个圆的探索过程了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念会画过不在同一条直线上的三点作圆教学重点、工具“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来画图“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来解决实际问题尺规教学难点 对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解教学方法：类比 启发教学辅助：投影片教学过程A、车床工人告诉了我们什么？问题：车间工人能将一个如图所示的破损的圆盘复原，你知道用什么办法吗？（根据学生的预习情况进行衔接教学）指出标题指出讨论1：“三个点的位置在什么地 方？”讨论2：“三
9、个点为什么会不在同 一直线上？”讨论3：“画一个圆需要知道什么”上图中的圆心在什么位置？上图的圆的半径有多大？B、合作学习 P60 探索：为什么一定要三个点？1：经过一个已知点A能作多少个圆? 结论：经过一个已知点A能作无数个圆!2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？ 结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆! 讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？ 讨论1：怎样找到这个圆的圆心？ 讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？ 为什么？即OA=OB=OC结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆C、
10、初步应用：1：现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？ 方法: 找圆弧所在圆的圆心,只要在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其交点即为圆心。2：例2 已知ABC,用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。D、概念教学定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.举例、1：O是ABC的外接圆, ABC是O的内接三角形,点O是ABC的外心即外接圆的圆心。 2：三角形的外心是ABC三条边的垂直平分线的交点.E、试一试1：画出过以下三角形的顶点的圆，并比较圆心的位置？2：练一练a：下列命题不正确的是 ( )A.过一点有无数个
11、圆. B.过两点有无数个圆.C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.b：三角形的外心具有的性质是 ( )A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.F、知识小结1：不在同一直线上的三点确定一个圆。你知道是怎样的三点吗？2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。你会画了吗？3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念你会辨别吗？G、作业1、 书本P62页课内练习2、 书本P62页作业题3、 预习P63页3.2圆的轴对称（1）H、板书设计定义：经过三角形各个顶点的圆叫
12、做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.I、教学反思：1. 本节课学生对“不共线的三点确定一个圆” 掌握很好，学生跟着操作画图，掌握也很好。3.2 圆的轴对称性(2)教学目标1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学方法：类比 启发教学辅助：投影片教学过程：一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定
13、理的题设和结论.(由学生叙述)2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设 结论指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由推出.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.已知：如图3-15，在O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.求证：C
14、DAB，.分析：要证明CDAB，即证OEAB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知ACBC，ADBD.证明：连结OA，OB，则OAOB，AOB为等腰三角形.因为E是AB中点，所以OEAB，即CDAB，又因为CD是直径，所以2.(1)引导学生继续观察、思考，若选为题设，可得： (2)若选为题设，可得：以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出 最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影打出其它六个命题：3.根据上面具体的分析，在感性认识的
15、基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三个命题，教师板书出垂径定理的推论1.推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论2.在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37)学生答接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)证明：因为EFAB，所以直径CD也垂直于弦EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平
16、行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习练习按图3-15，填空：在O中 (1)若MNAB，MN为直径；则 ， ， ；(2)若ACBC，MN为直径；AB不是直径，则 ， ， ； (3)若MNAB，ACBC，则 ， ， ；此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例3我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥”，位
17、于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、 隋开皇大业年间(590608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观 在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB37.4米，弧AB的
18、中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CDAB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧 也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主
19、要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15.指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则(1) CAB，OAB，DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2) ACD和BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线 在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业板书设计： 定理1 ： 例3 解：定理2 ：练习 练习教学反思：本节课学生对定理都能很好的落实，
20、亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。3.2 圆的轴对称性（1）学目标使学生理解圆的轴对称性掌握垂径定理学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点 教学关键理解圆的轴对称性 教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问
21、，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知教学方法：类比 启发教学辅助：多媒体教学过程：一、复习提问，创设情境 1教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称
22、轴；（2）圆的对称轴有无数条判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）EA=EB； AC=BC，AD=BD理由如下：OEA=OEB=Rt，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合 EA=EB， AC=BC，AD=BD然
23、后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂径定理的几何语言CD为直径，CDAB（OCAB） EA=EB， AC=BC，AD=BD 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点(先介绍弧中点概念)作法：连结AB.作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点变式一： 求弧AB的四等分点思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分（图略） 有一位同学这样画，错在哪里？1作AB的垂直平分线CD2作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略） 教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线变式二：你能
24、确定弧AB的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心例2 一条排水管的截面如图所示排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC 思路：先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OCAB，AC=BC=8，在RtOCB中， 圆心O到水面的距离OC为6补充例题 已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD 思路：作OMAB，垂足为M， CM=DMOA=OB ， AM=BM ， AC=BD概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距小结：1画弦心距是圆中常见的辅助线；2半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角
25、三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个五、目标训练,及时反馈1已知0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 答案：242如图，AB是0的中直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）ACOE=DOE BCE=DE COE=BE DBD=BC答案：C3过O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A3 B6cm C cm D9cm 答案：A注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类
26、似的题目4如图，O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5答案：A5 已知O的半径为10，弦ABCD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧六、总结回顾，反思内化师生共同总结： 本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理2垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明3解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路
27、，它们之间的关系：弦长七、布置作业， 巩固新知P65作业题16，第7题选做板书设计： 垂径定理 例1 例2 解： 解： 练习 练习教学反思：本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。3.3圆心角（1）教学目标:1. 经历探索圆心角定理的过程;2. 掌握圆心角定理教学重点：圆心角定理教学难点: 圆心角定理的形成过程教学方法：讲练法教学辅助：多媒体教学过程：一. 创设情景:1、顶点在圆心的角,叫圆心角2、圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角，都能够与原来的圆重合。3、圆心到弦的距离，叫弦心距 4、P69 合作学习结论：圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角
28、 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。5、n度的弧的定义6、探究活动 P70二、新课讲解1、例1 教学 P69结合图形说出 因为。所以。2、运用上面的结论来解决下面的问题:已知：如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：如果AOB=COD，那么_,_,_。二. 巩固新知:P70课内练习1,2，3 P71 T1-3四.小结: 通过这节课的学习，你学到了什么知识？1. 圆心角定理 2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题五.布置作业:见作业本板书设计：概念 例1 解： 练习 练习教学反思：本节课由于多媒体的演示，学生对对定理的理解很好。课堂气氛活跃。3.3圆心角（2）教学目标:3. 经历探索圆心角定理的逆定理的过程;4. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质;5. 会运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.教学重点与难点:教
