1、近五年含新课标I卷高考理科立体几何考点分布统计表（全国卷） 201320142015201620176立体几何： 球体嵌入正方体体积计算实际应用题、 圆锥体积三视图及球的表 面积与体积7空间几何体求表 面积8三视图： 长方体与圆柱组合，体积计算11三视图、 球、 圆柱的表面积平面的截面问题，面面平行的性质定理， 异面直线所成的角12三视图还原立体图16平面图形折叠后 最大体积1718立体几何： 线线垂直证明线面角空间垂直判定与性质； 异面直线所成角的计算；垂直问题的证明 及空间向量的应 用证明面面垂直关系， 求二面角的余弦值19立体几何：线面垂 直、二面角的求法2013】6、如图，有一个水平放
2、置的透明无盖的正方体容器，容器高器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为的厚度，则球的体积为 （ ）A、 5030 cm3 B、 8636 cm3错误！未找到引用源。1372 3 2048 3338、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16 8 B .8 8C.16 16 D.8 1618、 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A 1B1C1 中， CA=CB ， AB=A A1， BAA1=60.（）证明 AB A1C;（）若平面 ABC 平面 AA 1B1B， AB=CB=2 ，求直线 A1C 与平面 BB 1C1C 所成角的正弦值。2014】12.如图，
3、网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6 2 B.4 2 C.6 D.419. （本小题满分 12 分 ）如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，( ) 证明： AC AB1 ；()若 AC AB1 ， CBB1 60o， AB=BC求二面角 A A1 B1 C1 的余弦值 .【 2015】（ 6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 （如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆为一个
4、圆锥的四分之一 ），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62立方尺， 圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有C.36斛 D.66斛（半径为 r）组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视16 + 20 ，则 r=平面 ABCD=m， I 平面 ABB 1 A1=n，则 m， n 所成角的正弦值为18） （本小题满分 12 分）且二面角 D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是 60 （ I ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；（ II ）求二面角 E- BC- A的余弦值【 2017】7某多面体的
5、三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A 10 B 12 C 14 D 1616如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D， E， F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形 .沿虚线剪开后，分别以BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最
6、大值为 .AB/CD ，且 BAP CDP 90 .18.（ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C 的余弦值 .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高2013】8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A、 5030 cm3 B、 8636 cm3错误！未找到引用源。C、1372 33 cm2048 333cm ，故选 A.R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截R-2，
7、则 R2 （R 2）2 42，解得 R=5，球的体积为4 53 500338、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16 8 B.8 8C.16 16 D.8 16【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题 .【解析】 由三视图知， 该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上 边 放 一 个 长 为 4宽 为 2高 为 2长 方 体 ， 故 其 体 积 为1222 4 4 2 2 =16 8 ，故选 A.218、 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A 1B1C1 中， CA=CB ， AB=A A1， BAA1=60.（）证明 AB
8、 A1C;（）若平面 ABC 平面 AA 1B1B， AB=CB=2 ，求直线 A1C 与平面 BB 1C1C 所成角的正弦值。辑推论证能力，是容易题AB中点 E，连结 CE， A1 B ， A1E ，AB=AA1 ， BAA1=600， BAA1是正三角形，A1E AB， CA=CB， CE AB，CEA1 ，AB A1C ； 6分CE A1E =E， ABEC AB， EA1 AB，又面 ABC面 ABB1A1 ，面 ABC面 ABB1A1=AB， EC面 ABB1A1， EC EA1， EA， EC， EA1两两相互垂直，以 E 为坐标原点， EA的方向为 x 轴正方向， | EA |
9、为单位长度，建立如O xyz，设 n = (x, y, z) 是平面 CBB1C1 的法向量，19. （本小题满分 12 分 ）如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C .O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz 因为CBB1 600 ，所以 CBB1 为等边三角形又 AB= ，则3 33A 0,0, 3 ， B 1,0,0 ， B1 0, 3,0 ， C 0, 3,03 13 3设 n x, y, z 是平面的法向量，则m 1, 3, 31A A1B1 C1 的余弦值为 7 .【 201
10、5】（ 6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 （如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62立方尺， 圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】 B【解析】1 16 1 1 16 2 320设圆锥底面半径为 r，则 2 3r 8= r ，所以米堆的体积为 3 （ ）2 5= ，故堆放的4
11、 3 43 3 9320米约为 320 1.62 22，故选 B.9（ 12）圆柱被一个平面截去一部分后与半球 （半径为 r）组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=A） 1 （ B） 2（ C） 4（ D） 8r，圆柱的高为1 2 2 222r，其表面积为 4 r r 2r r 2r 2r =5 r 4r =16 + 20 ，解得 r=2，故选 B.(18)如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC 120，E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD， BE 2DF， AE EC.(1)
12、证明：平面 AEC平面 AFC(2) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值( 18)解：I)连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG， FG， EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ABC=120，可得 AG=GC= 3 .由 BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.2在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2， BE= 2 ， DF= 2 ，2又 AC FG G,可得 EG 平面 AFC.因为 EG 平面 AEC所以平面 AEC 平面 AFCI）可得 A（0， 3,0）, E（1，0， 2）, F（ 1， 0， 2）,C（0， 3,0） 所以2又 AE EC，所以
13、 EG= 3，且 EG AC.在 Rt EBG 中，2 AE CF 3AE （1， 3 2）, CF （ 1， 3, ）. 故 cos AE, CF .2 AE CF 3所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 3 .3是一个球被切掉左上角的 1 ,即该几何体是 7 个球， 设球的半径为 R ， 则 V 7 4 R3 28 ， 解得8 8 83 37 7 23 2R 2 ，所以它的表面积是 7 的球面面积和三个扇形面积之和 ,即 4 22 22 17 ，故8 84选 A11) 平面 过正方体 ABCD - A1B1C1D1的顶点 A， /平面 CB1D1， I 平面 ABCD=m， I
14、 平面 ABB 1 A1=n，则 m， n 所成角的正弦值为18） （本小题满分 12 分）如图，在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF=2FD， AFD 90 ，D - AF - E 与二面角 C- BE - F 都是 60 I ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；II ）求二面角 E- BC- A的余弦值2 1919（ I ） 见解析； （ II ） 2 19【解析】试题分析： （ I ）证明 F 平面 FDC ，结合 F 平面 F ，可得平面 F 平面 FDC （ II ）建立空间坐标系，利用向量求解 .试题解析： （ I）由已知可
15、得 F DF ， F FE ，所以 F 平面 FDC 又 F 平面 F ，故平面 F 平面 FDC （ II ）过 D 作 DG F ，垂足为 G ，由（ I）知 DG 平面 F 以 G 为坐标原点， GF 的方向为 x 轴正方向， GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz由（ I ）知 DFE 为二面角 D AF E 的平面角，故 DFE 60 ，则 DF 2， DG 3，可得 A 1,4,0 ， B 3,4,0 ， E 3,0,0 ， D 0,0, 3 来源 :Zxxk.Com由已知， AB/EF ，所以 AB/ 平面 EFDC 又平面 ABCD 平面 EFDC DC ，故
16、AB/CD ， CD/EF 由 BE/AF ，可得 BE 平面 EFDC ，所以 CF 为二面角 C BE F 的平面角，C F 60 从而可得 C 2,0, 3 所以 C 1,0, 3 ， 0,4,0 ， C 3, 4, 3 ， 4,0,0 设 n x, y,z 是平面 C 的法向量，则【 2017】7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A 10 B 12 C 14 D 16B16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC
17、 的中心为 O.D， E， F 为圆 O.沿虚线剪开后，分别以上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 .4 1518.（ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD ，且 BAP CDP 90 .1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C 的余弦值 .【解析】 （ 1）由已知 BAP CDP
18、 90 ，得 AB AP， CD PD .由于 AB/CD ，故 AB PD ，从而 AB 平面 PAD .又 AB 平面 PAB ，所以平面 PAB 平面 PAD .（ 2）在平面 PAD 内作 PF AD ，垂足为 F ，由（ 1 ）可知， AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD .xyz .以 F 为坐标原点， FA 的方向为 x 轴正方向， | AB | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 F设 n （x, y, z） 是平面 PCB 的法向量，则n (0, 1, 2)设 m （x, y,z）是平面 PAB 的法向量，则所以二面角 A PB C 的余弦值为 33
