1、高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案高级宏观经济学_第四版中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数 ，Y=FK, AL，或者采用紧凑形式 。假设 。假设所有厂商都能以工资WA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相 同。（a） 考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k值。（b） 考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述 N个厂商成本最小化的总产出。证明：（a题目的要求是厂商选择资
2、本 K和有效劳动 AL以最小化成本,同时厂商受到生产函数 的约束。这是一个典型的最优化问题。构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有 的劳动人数，则它也会生 产 的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两
3、期， 其效用函数由方程(2.43)给定。令 和 分别表示消费品在这两期中的价格， W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a) 已知 和 和W,则此人效用最大化的 和 是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为,或 。证明，若效用函数为(2.43)式，是则 与 之间的替代弹性为 。答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。 (1)(2)求解约束条件：(3) 将方程(3)代入(1)中，可得： (4)这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程( 4)两边对求一阶条件可得：解得:将方程（5）代入（3）,则有:解得： （6）将方程（6）代入（5）中，则有： （7）（b）由方程（5）可知
4、第一时期和第二时期的消费之比为：（8） 对方程（8）两边取对数可得：（9） 则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。2.3 （ a）假设事先知道在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财 富的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？（如果会的话， 请说明时刻 前后消费之间的关系。）（b）假设事先知道，在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在 时刻 发生突然变化？为什么？（如果会，请说明时刻 前后消费之间的关系。）答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 内，从 到。考虑家
5、庭在 时期减少每单位有效劳动的消费为 。然后他在投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这 一财富变化对一生的效用没有影响。这一变化有一效用成本 前 ，在 会有一收益 ，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为后 。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：前 后在 时，有下式：. I前 后因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收， 为了最优化他一生的效用，家
6、庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数 为 。考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的 C表示为初始财富加上劳动 收入现值、 以及效用函数各参数的函数。答：OO 2.6OO(1)(2)本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用OOOO令一建立拉格朗日方程:求一阶条件:抵消项得:(3) 可以推出：(4) 将其代入预算约束方程，得： (5)将 代入上式，得：OO (6)只要 ，则积分项收敛，为 ，贝 (7)将方程(7)代入(4): (8)因此，初始消费为： (9)个人的初始财富为 ，方程(9)说明消费是
7、初始财富的一个不变的比例。为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言，越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。2.5设想某家庭的效用函数由(2.1) (2.2)式给定。假设实际利率不变， 令W表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值 (2.6)的右端。已知r、W和 效用函数中的各参数，求 C的效用最大化路径。OO 2.1 2.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：OOOO(2)W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r是常数建立拉格朗日方程如下:求一阶条件，可得:抵消 ，得：（3）两边对时间t求导，可得
8、：得到下面的方程： （4）将方程（3）代入（4），可得：抵消 然后求消费的增长率 ，可得： （5）由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果 ，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果 ，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果 ，则 决定了消费增长的幅度。 值越低，也就是替代弹性越高， 越高，即消费增长的越快。重写方程（5）,得： （6）对方程（6）积分，积分区间是从时间T =0到时间T =t,可得：（7），整理得：（8）上式可以简化为：对方程（7）两边取指数，可得：下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得:将只要代入上式，可得： （9），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可
9、得:OO （10）将方程（10）代入（9）中，求解 （11）将方程（11）代入（8），求解 ： （12）上式便是C的效用最大化路径。2.6生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一 卡斯一库普曼期模型，假设g永久性下降。（a） 曲线会如何变化（如果有影响）？（b） 曲线会如何变化（如果有影响）？（C）当g下降时，C如何变化？（d） 用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否 判断此表达式的正负？（e） 设生产函数是柯布一道格拉斯函数 ，请用、n g、和重新表示（d）中的结果。（提示：利用等式 o）答：（a）关于资本的欧拉方程为:(1)该方程描述了资本的动态方
10、程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。图2-1拉姆塞模型在平衡增长路径上， ，由此可以推出： 。在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费C上升以保持方程的均衡。因而在图形 上 曲线向上移动。同时，保持 k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资 下降的幅度更大，因而在更高的k水平上， 向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。(b)每单位有效劳动消费的欧拉方程为：(2)该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本
11、的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。,在g永久性地下降时, ，因而 下降必然导致k上升。 向右移动，如图2-1所示。在平衡增长路径上，要求 ，即为保持 ， 必须下降。由于 因此， 必须上升，在图形上表现为(C)在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径 处。与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径， 每单位有效劳动的消费C必将发生变化。不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边， 因而无法确定每单
12、位有效劳动的消费 C是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如 果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 C甚至可能保持不变。因此，C和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于 原先的平衡增长路径值。（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：因为k保持不变，即 ，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：可以再简化为： （4）由于 由 决定，对该式两边关于g求导数，可得：,从而求出 为：（5） 将方程（5）代入（4）中，可得： （6）在方程（6）中，分母 为
13、负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会 使S上升还是下降。（e）将柯布一道格拉斯生产函数代入方程（6）中，可得:简化为：从上式可以推出：最终有下面的结果:2.7说明下列变化如何影响图2.5中的 线和 线，并在此基础上说 明其如何影响平衡增长路径上的 C值和k值。（a） 上升（b） 生产函数向下移动。（C）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。图2-2 鞍点路径答：（a）关于C与k的欧拉方程为： （1）（2） 的上升即消费的跨期替代弹性 下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情
14、况使家 庭更偏好于即期消费。由于 没有出现在资本积累方程(2)中，因而资本积累方程不受 的上升的影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径上 ，从而 ，由于 的上升，因而 必须上升，又因为 ，所以为使 ，k必须下降。此时 向左移动，消费移动到新的鞍点路径 A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点 ，此时 和 低于原先的值。如图2-3所示。图2-3 上升的影响(b)由于生产函数的向下移动，因而 和 都变小了，如图2-4所示图2-4生产函数向下移动根据资本的欧拉方程： ，在平衡增长路径上 ，因而有 。由于 变小，因此 这条曲线会向下移动，如图2-5所示。根据消费的欧拉方程： 一 ，在平
15、衡增长路径上 ，从而,由于 变小，为保持 ，必须使k下降，从而使 保持不变。因此 向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点 点,此刻 和 低于原先的值。图2-5生产函数向下移动的影响（C）由于折旧率由O变为正数，因而资本的欧拉方程变为：（3）由于折旧率由O变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动， 如图2-6所示。图2-6持平投资线向左移动这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此 会向下移动，如图2-7所示。图2-7 折旧率由O变为正数的影响资本的回报也下降为： ，从而消费的欧拉方程变为： （4）在平衡增长路径上， 要求 。与折旧率 由O变为正数之前相
16、比较， 必须变大，从而k必须变小。由于k必须变小，这便要求曲线向左移动，如图2-7所示。经济最终将收敛到新的均衡点 点，此刻 和低于原先的值。2.8请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式答：教材中方程（2.39）中折旧率为O的情形为：当考虑到折旧率 的情况时，消费和资本的欧拉方程变为： （1）（2）对方程（1）和（2）分别在 和 处进行一阶泰勒展开，可得：- （3）- （4）定义 和和（4）重写为：,因为和为常数，所以 且 ，将（3）- （5）- （6）对方程（1）和（2）计算偏导数： （7） （8）- （9）一 （10）将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入
17、（6），可得： （11）（12） 方程（12）的第二步用到了 ，第三步用到了定义。对方程（11）除以 以求 的增长率，对方程（12）除以 以求 的增长率： （13）- - （14）可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样， 也就是说折旧率的存 在对增长率没有影响。因此，经济在向平衡增长路径移动时的 和 的不变增长率 与教材中的结果应该一致。令-方程（13）可以推出：(15)由方程（15），令（13）和（14）相等，可得： ，求解可得:如果 为正，则经济会偏离稳定点，所以必为负：现在考虑柯布一道格拉斯生产函数将方程（16）两边同时平方：,分别求其一阶导和二阶导：（16）（17）,将其代入（
18、17）式：定义平衡增长路径上的储蓄率为，则平衡增长路径上的消费为：（18）将方程（17）和（18）代入（15）：化简为: 二 （ 19）在平衡增长路径上， 意味着 ，即：（20）另外，实际投资等于持平投资： ，可以推出： （21）上步用到了 ，由（21）可以推出： （22）将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将， ， ， ， ， 代入上式，得到 ）要快于不存在折旧时的调整速度。2.9拉姆塞模型的解析解来自于史密斯（Smith,2006）。考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，的情形，假设相对风险规避系数与资本份
19、额相等。（a）平衡增长路径上的k值（即）为多少？（b）平衡增长路径上的C值（即）为多少？（C）令 表示资本产出比 ， 表示消费资本比。请用z、X和模型参数表示 和（d）暂且猜测X在鞍点路径上是常数，根据这一猜想:（i） 给定初始值（ii） 给定初始值的速度是否是常数？,求Z的路径。,求y的路径。经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛（e）上述猜测的解是否满足 C与k的运动方程（2.24）与（2.25）？答：（a）已知（1）从正文可知，在 时，存在 。利用方程（1）计算得到 （2）（b）与（a）题类似，根据正文可知，在 时，存在 。利用方程（1）计算得到： （3）（C）设 和X 。将方程（1）代入 的
20、定义得到：（4）将方程（4）代入X的定义，得到：（5）（6） 从正文的方程（2.25）知道， ，方程（6）可表示成：（7） 为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：（8） 现在，对数化X ，考虑其时间导数，得到：- （9）根据正文的方程（2.24）和方程（2.25），上式可表示成： （10）将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用 得到：- （11）（d）（ i）根据X为常量的假设，方程（8）可表示成（12） 为确定Z的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。该方程的解包括通解和。简单地设 。为求通解，考虑相应的齐次方程 ， 是积分常数，求解-的微分方程得到通
21、解：（13） 为求特解，考虑非齐次方程 ， 是积分常数，利用积分因子得到特解：（14） 因此，方程（12）的 解表示成（15） 利用初始条件， 替换 ，得到：（16）为简化 ，使用方程（2）和（3）消去，利用方程（4）得到：（ii）可将方程（4）代入方程（1）,求解y的路径。由于已经得到 的路径，将 的路径代入方程（17）,得到： （18）使用k表示Z的方程（4），上式可表示成： （19）现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。方程（19）两端同 减方程（2）确定的平衡增长路径 ，再取对数求导： （20）考虑上式的时间导数，得到：（21）上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。（e）需
22、要知道正文的方程（2.24）和方程（2.25）,或和 是否成立。使用方程（2.24）和方程（2.25）求解 ， 成立的充要条件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已经方程（2.25）成立，以 前使用该方程求解。因此- 的充分必要条件是 。假设-，根据方程（11）可得：（22）根据（a）题和（b）题，在平衡增长路径上， 等于 ，方程（22）可表示成：（23）上式等同于方程（11），方程（2.24）和方程（2.25）得以成立。2.10拉姆塞-卡斯-库普曼斯模型中的资本税。考虑处于平衡增长路径上的拉 姆塞-卡斯-库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作 0时），政府采取了一项 对投资所得按税率征
23、税的政策，因此家庭面临的实际利率变为假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。最-18 -后，假设税收政策是意料之外的（a） 该税收政策如何影响 和 线？（b） 经济在0时会对该税收政策作出何种反应？ 0时之后的动态学又是如 何？（C） C和k在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？（d） 本小题基于巴罗、曼昆和萨拉伊马丁 Barro, Mankiv, andSala-i-Martin,1995假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同， 但各国间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。（i） 证明平衡增长路径上的储蓄率 关于T是递减的。（ii） 低、高、高储蓄率
24、国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？为什么？（e） （C）小题中的答案是否说明补贴投资（即让 T Vo）并通过一次性税收为 补贴筹资的政策可以提高福利？为什么？（f） 如果政府并不返还税收收入，而是将其用于政府购买，（a）小题和（b） 小题中的答案会如何变化？答：（a）由于资本的税后报酬变为： ，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即： （1）在平衡增长路径上， 要求 ，即税后报酬率为。为保持 ， 必须上升，又因为 ，所以资本存量必须下降。因此， 这条曲线将会左移，如图2-8所示。F!flr图2-8 对投资增税的影响家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：（2）由
25、于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭， 所以家庭投资决策不受影响，因而 的轨迹不变。（b）在O时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不 会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的平衡增长路径上的 处。在O时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征 税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的， 因此消费的变化是非连续的。由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低， 家庭会转而 减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为C向上移动到A点，然后沿着新的均衡 路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到
26、新的均衡点 。（C）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的平衡增 长路径上的C与k的值将变小。（d）（i）由上述的分析可以看出，税率 T越高，在平衡增长路径上的 越小，而且 曲线向左移动得越多，因而有 。在平衡增长路径上，储蓄率可以表示为： ，同时， 时，由以将储蓄率表示为:（3）对方程（3）两边求关于税率的导数：可以简化为: (4)以上便证明了平衡增长路径上的储蓄率 关于T是递减的。(ii)在低税率、咼资本存量和咼储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储 蓄的国家。由(a)可知，在平衡增长路径上 ，可以推出,即税后的资本回报为 ，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储
27、蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此， 在低税率、咼资本存量和咼储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。(e)补贴投资不会增加福利。原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了， 它给予了家庭最高可能的终生效用水平。从初始的E点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到 A点，但最终经济 会沿着新的平衡增长路径达到更大的消费水平 点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益(都用现值形式表示)，如图2-9所示。图2-9对投资补贴不会增加福利(f)假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令 为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变
28、化的欧拉方程仍为：(5)政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由(5) 可得， 曲线将向下移动。如图2-10所示。由(a)可知，由于政府征税， 曲线向左移动， 移动到 ，在新的平衡增长路径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示E图2-10税收全部用于政府购买对经济的影响2.11应用相图分析预期变化的影响。考虑习题 2.10中提到的政策，假设政 府并不是在0时宣布并执行该政策，而是在0时宣布将在以后某一时刻 对投资 收入按照税率T征税。（a） 用相图画出之后C和k的动态学。（b） C在 时刻的变化是否连续？为什么？（C）用相图画出之前C和
29、k的动态学。（d） 根据（a）、（b）和（C）的答案，C在0时应如何变化？（e） 总结上述4个小问题，并把C和k的路径描绘为时间的函数。答：（a） -（ C）在开始征税的时间 之前，描述经济动态变化的方程为： （1）（2） 对于方程（1），在平衡增长路径上， 可以推出 。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。在 时刻征税之后，C的欧拉方程为： （3）在平衡增长路径上， 可以推出 ，即税后的回报为 。因此，税前的资本回报 高于税后的资本回报。为保持 ，必须上升，从而k必须下降。因此，在 时刻， 曲线必须向左移动如图2-11所示图2-11 时刻征税使得 向左移动不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在时刻征税之后，消费C不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先 知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。（d）在 时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的平衡增长路径。在O时刻宣布并施行征税后，C会立即由原先的均衡点E移 动到平衡增长路径上的A点，如图2-12所示。图2-12征税对 曲线的影响在A点，由于消费C太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平 上,因此k开始下降。从O时刻到 时刻，动态系统仍由原先的 的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。在
