1、届高三高考数学一轮复习讲义全套打包下载可编辑第8章 立体几何文科第8章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲解读1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.能画出简单空间几何体的三视图，并能根据三视图识别几何体，会用斜二测画法画出它们的直观图(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的重点内容之一预测2020年会一如既往的进行考查，以三视图和直观图的联系与转化为主要命题方向，考查题型有：根据三视图还原几何体；根据几何体求体积试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题.1多面体的结构特征2旋转体的结构特征3直观图
2、(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴与y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴(或y轴)垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半4三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1概念辨析(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形()(2)棱台各侧棱的延长线
3、交于一点()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱答案A(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案A解析由斜二测画法的原理可知(3)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧(左)视图可能为()答案B解析由正(主)侧(左)一样高，侧(左)俯一样宽，易
4、知侧(左)视图的底边长应当是正三角形的高，侧(左)视图的高应同正(主)视图的高，故选B.(4)如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案五棱柱三棱柱题型 空间几何体的结构特征下列结论正确的个数是_(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线答案0解析(1)(2)(3)(4)
5、的反例见下面四个图(5)平行于轴的连线才是母线识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可 (2018青岛模拟)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析由圆台的定义可知错误，正确对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，错误题型
6、空间几何体的直观图(2018桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案D解析如图(1)所示的是ABC的实际图形，图(2)是ABC的直观图由图(2)可知ABABa，OCOCa，在图(2)中作CDAB于D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.故选D.条件探究若将举例说明条件变为“ABC的直观图A1B1C1是边长为a的正三角形”，则ABC的面积是多少？解在A1D1C1中，由正弦定理，得xa，SABCaaa2.用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x轴或y轴平行(2)原图中不与
7、坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接 (2018福州调研)已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_答案解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图因为OE 1，所以OE，EF，则直观图ABCD的面积S.题型 空间几何体的三视图角度1已知几何体识别三视图1(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体
8、，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.角度2已知三视图还原几何体2(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2 C3 D2答案B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为2，故选B.角度3已知三视图中的部分视图，判断其他视图3一个锥体的正视图和侧
9、视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符
10、合 1如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD11，ABBCAA12，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()答案C解析由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱BB1是看不见的，在正视图中用虚线表示，所以正视图是选项C中的图形故选C.2(2018河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()答案C解析如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形3(2017北京高考)某四棱锥的三视
11、图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3 B2 C2 D2答案B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为2，故SD2.故选B.第2讲空间几何体的表面积与体积考纲解读1.掌握与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体积(重点)2.会用计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容预测2020年会一如既往的对本内容进行考查，命题方式为：根据三视图，求几何体的表面积或体积；涉及与球有关的几何体的外接与内切问题题型以客观题为主，且试题难度不会太大，属中档题型.1圆柱、圆锥、圆台的
12、侧面展开图及侧面积公式2柱、锥、台和球的表面积和体积1概念辨析(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)(2016全国卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D32答案C解析由三视图可得圆锥的母线长为4，S圆锥侧248.又S圆柱侧22416，S圆柱底4，该几何体的表面积为81
13、6428.故选C.(2)(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_ cm3.答案7232解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中ABBC2 cm，BD4 cm，所以该几何体的体积V224232 cm3，表面积S(223243)236272 cm2.(3)(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是.答案解析设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R
14、，圆柱O1O2的底面半径为R.(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为_答案28解析由已知得此棱台的体积V(624 )242228.题型 空间几何体的表面积1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212.故选B.2(2018四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该
15、几何体的表面积是()A208 B248C8 D16答案A解析此几何体是一个三棱柱，且其高为4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为222.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(222)4168，表面积为22168208.3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D5答案C解析根据三视图画出该空间几何体的立体图：SABC222；SABD1；SCBD1；SACD2，所以S表SABCSABDSCBDSACD222.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. B.C13 D.答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作
16、出直观图如图所示则CC平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB，AB2.棱台的上底面积为11，下底面积为222，梯形ACCA的面积为(12)23，梯形BCCB的面积为(12)23，过A作ADAC于D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的，DE，AE，梯形ABBA的面积为(2)，几何体的表面积S23313.题型 空间几何体的体积角度1根据几何体的三视图计算体积1(2018汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A15 B16 C. D.答案C解析由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高
17、为5的四棱锥PA1D1FE，其体积V5.角度2根据几何体的直观图计算体积2. (2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_答案解析依题意得：该四棱锥MEFGH为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为，正方体EFGH的边长为，其面积为，所以四棱锥MEFGH的体积VMEFGHSh.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于
18、计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 1(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8答案C解析由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S3，高h2，所以VSh6.2祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成
19、的旋转体如图所示，将底面直径皆为2b，高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上以平行于平面的平面在距平面任意高度d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆S环总成立，据此，短轴长为4 cm，长轴长为6 cm的椭球体的体积是_cm3.答案16解析因为总有S圆S环，所以半椭球体的体积为V圆柱V圆锥b2ab2ab2a.又2a6,2b4，即a3，b2，所以椭球体的体积Vb2a22316.题型 几何体与球的切、接问题1已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2 C. D3答案C解析解法一：如图，由球
20、心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC ，OMAA16，所以球O的半径ROA.解法二：将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球所以体对角线BC1的长为球O的直径因此2R13.故R.2(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18C24 D54答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM平面ABC时，三棱锥DABC体积最大，此时，ODOBR4.SABCAB29，AB6，点M为三角形ABC的重心，BMBE
21、2 ，在RtOMB中，有OM2.DMODOM426，(V三棱锥DABC)max9618.故选B.条件探究1若将举例说明2中的三棱锥DABC满足的条件改为“AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90”，计算球O的体积解设A到平面BCD的距离为h，三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90，3h，h2，球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE平面CBD，BCD外接圆的直径CD2，球O的半径OD2，球O的体积为.条件探究2若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积解如图，设球心为
22、O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.1解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R.(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心如举例说明1解法二 1(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体
23、积VR33.2某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是_答案解析如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M，设该几何体的外接球的球心为O，半径为R，OMh，则整理得R2，所以S球表.高频考点三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一
24、平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36答案B解析(割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.典例2某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是()A222 B323C22 D33答案D解析由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为S矩形ABCD22，侧面SPBC211，SPCD2，SPAB222，SPAD，所
25、以四棱锥的表面积为S21233.所以D正确第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题预测2020年高考会有以下两点命题方式：以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1
26、空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间直线与平面、平面与平面的位置关系3必记结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线1概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面()(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(4)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行 B相交C垂直 D互为异面直线答案C解析不论l，l还是l与相交，内都存在直线m使得ml
