1、高考数学中的内切球和外接球问题高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为 .2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2, 3 ，则此球的表面积为 .例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 3.求多面体的外接球的有
2、关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面8周长为3 ，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有6x = 3 h = 39 = 6 3 x2h x = 18 4 2正六棱柱的底面圆的半径r = 1 ，球心到底面的距离d =23 .2外接球的半径R =. 体积：V = 4 R3 .r 2 + d 23小结 本题是运用公式R2 = r 2 + d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接
3、球的表面积是 .例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积S = 4 r 2 = 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a, b, c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为a2 + b2 + c2R ，则有2R =长方体。. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a, b, c ，a2 + b2 + c2则体对角线长为l = ，几何体的外接球直径为2R 体对角线a2 + b2 + c2长l 即R
4、=2练习：在四面体 ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1, 6,3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S = 4 R2 = 16 例 6 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3 B.4 C. 3 3 D. 6 例 7 已知球O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ，DA = AB = BC = 3 ，则球O 的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA 平面ABC ， AB BC，联想长方体中的相应线段关
5、系，构造如图 4 所示的长方体，又因为DA = AB = BC = 3 ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD = 3 .故球O 的体积等于 9 .（如图2ABO4）DAOCDB C 图 52、例 8 已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， AB 平面BCD ，DC BC ， 若 AB = 6, AC = 2 13, AD = 8 ，则球的体积是解析：首先可联想到例 7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心， OB = OC = 4 为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC 即可，在RtABC 中，求出BC = 4 ，所以BOC
6、 = 60 ，故 B、C 两点间的球面距离是 4 .（如图 5）3本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16， 则这个球的表面积是A.16 B. 20 C. 24 D. 32 .小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S, A, B, C, D 都在同一球面上，则此球的体积为 S解:设正四棱锥的底面中心为O1 ，外接球的球心为O，如图 1 所示.由球的截面的性质，可得 D COO
7、1 平面ABCD .又SO1 平面ABCD ，球心O 必在SO1 所在的直线上.O1A 图 3 B ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC 中，由SA = SC = 2, AC = 2, 得SA2 + SC 2 = AC 2 ， ASC是以AC为斜边的直角三角形. AC = 1 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V = 4 . 2 球 3五 .确定球心位置法例 5 在矩形 ABCD 中， AB = 4, BC = 3 ，沿 AC 将矩形AOCDABCD 折成一个直二面角B - AC - D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A.5 12B.5 9
8、C.5 6D.5 3图 4 B解:设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA = OB = OC = OD .点O 到四面体的四个顶点 A, B, C, D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示.外接球的半径R = OA = 5 .故V = 4 R3 = 125 . 2 球 3 6出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上， AB BC 且PA = 7, PB = 5, PC = 51, AC = 10 求球O 的体积。解： AB BC 且PA
9、= 7, PB = 5, PC = 51, AC = 10因为 72 + (51)2 = 102所以知: AC 2 + PA2 = PC 2所以 AP PC 所以可得图形为：在RtABC 中斜边为 AC在RtAPC 中斜边为 AC取斜边的中点 ，在RtABC 中OA = OB = OC在RtAPC 中OP = OB = OC所以在几何体中OP = OB = OC = OA ，即为该四面体的外接球的球心R = AC = 5 所以该外接球的体积为V = 4 R3 = 500 2 球 3 3【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1.（陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1
10、的球面上， 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A.3 34312B.3 C33 D4答案 B2.直三棱柱 ABC - A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA1 = 2 , BAC = 120 ，则此球的表面积等于 。解:在ABC 中 AB = AC = 2 , BAC = 120 ,可得BC = 2 3 ,由正弦定理,可得ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O ，球心为O ，在RT OBO中，易得球半径R = 5 ，故此球的表面积为4 R2 = 20 .3.正三棱柱 ABC - A1B1C1 内接于半径为2 的球，若 A, B 两点的球
11、面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A 2 B 1 C 2 D3 3 32 2 3答案 A3a2【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8 = 2 3 知，4a = 1 ，则此球的直径为 2 ，故选 A。5.已知正方体外接球的体积是32 ，那么正方体的棱长等于（ ）2 333A.2 2 B.答案 DC. 4 2 D.4 3336.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 3 B. 13 C. 13 3D. 19答案 C7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底
12、面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为 3，则这个球的体积为8 答案 4 38. （天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个 顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 14 9.（全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球 面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2 + 4 210.（辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P - ABCDEF， 则此正六棱锥的侧面积是 PB答案 6 7 C DFA E11.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 212.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A 3 B 2 C 16 D以上都不对3答案 C3213.设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（ ）3A.8 3答案 CB.2 C4 D 4 3
