1、最新人教版九年级数学上册教案第二十四章 圆第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆【知识与技能】1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.【情感态度】结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形
2、象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子，通过画圆，有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的描述性定义问题1如教材79页图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记
3、作“O”，读作“圆O”.注意：圆指的是圆周，不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.圆的集合定义问题2我们以前学过“角平分线上的点到角的两边距离相等.”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.”“线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.”由此你能类似地给圆从集合的角度进行定义吗？【教学说明】学生通过观察、类比、分析等方法给圆下定义，从而进一步体会圆的性质.问：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么共同特征？（2）到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的点有什么共同特征？通过上面两个问题我们就能得到圆的集合定义.【归纳结论】圆心为O，半径为r的圆，
4、可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），坐车人会是什么感觉？分析：把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变.因此，车辆在平路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的，车辆在行驶时，坐车人感觉到上下颠簸，不舒服.【教学说明】“思考”是使学生进一步理解体会圆的集合定义，同时充分将数学融入到生产生活中，激发学生的积极性和主动性，学会与人交流、合作，真正成为教与学的主体，形成师生互动的课堂氛围.3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做
5、弦.（如：线段AB、AC）经过圆心的弦（如AB）叫做直径.注：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.如图，以A、B为端点的弧记作：AB，读作：弧AB.注：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的ABC，叫做优弧.小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的AC，叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.注：半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧.注：等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形，使学生准确地掌握与
6、圆有关的概念，为后面的学习打下基础.三、运用新知，深化理解1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说说你的理由.2.（1）以点A为圆心，可以画_个圆.（2）以已知线段AB的长为半径，可以画_个圆.（3）以A为圆心，AB长为半径，可以画_个圆.3.如图，半圆的直径AB=_.4.如图，图中共有_条弦.【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况，对学生的疑惑教师及时指导，并进行强化.【答案】1.可以定一个圆心，取一根5m长的绳子绕圆心转动一周，所得的图形即可.2.（1）无数 （2）无数 （3）一 3.2 4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直
7、径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳，对于某些概念性的知识，要结合图形加以区别和理解.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们学习的兴趣.24.1.2垂直于弦的直径【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理
8、解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.
9、2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.二、思考探究，获取新知1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理及其推论问题2 请同学们完成下列问题：如右图，AB是O的一条弦，作直径CD.使CDAB，垂足为E.（1）右图是轴对称图
10、形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB.AE=BE. 。问（1）一条直线满足：过圆心.垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）
11、已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题3 如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线
12、OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则AD=1/2AB=1/237.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2解得R27.9(m)赵州桥主桥拱半径约为27.9m.【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.三、运用新知，深化理解1.如图，AB是O的直径，CD是弦
13、，且CDAB，根据圆的轴对称性可得：CE=_，=_；=_.2.如图，在O中，MN为直径，若MNAB，则_，_，_，若AC=BC，AB不是直径，则_，_，_.3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D. AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是_m.【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固.第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题.【答案】1.DE 2.AC=BC = = MNAB = =3.250四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补
14、充说明，强调定理及其推论的应用.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.24.1.3 弧、弦、圆心角【知识与技能】1.理解圆心角概念和圆的旋转不变
15、性.2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用.【过程与方法】通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力.【情感态度】培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.【教学重点】圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.【教学难点】理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.一、情境导入，初步认识汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成一个顶点在圆心上的角，将这个圆绕圆心O旋转任意角度，你会发现什么？
16、像这样，顶点在圆心上的角叫圆心角.这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题.二、思考探究，获取新知1.圆的旋转不变性由上述探究活动中，我们不难发现：围绕圆心O旋转任意角度，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征.这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.2.弧、弦、圆心角之间的关系探究如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？【教学说明】让学生利用学具动手演示，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问几位学生代表回答他们发现的等量关系，教师同时在黑板上写出他们的结论.【归纳结论】 AB=AB由圆的旋转不变性可得出
17、下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同.议一议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？【教学说明】学生利用学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言.【教学说明】培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符
18、号语言说理的能力.由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等.3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用例1如图，在O中，AB=AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.分析：在O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题.证明：AB=AC，AB=AC，ABC是等腰三角形.又ACB=60，ABC是等边三角形，AB=BC=CA.AOB=BOC=AOC.例2如图所示，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.证明：如图.连接AE，在 ABCD中，ADBC，1=2，3=4又在A中，AB
19、=AE，2=3，1=4EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力.三、运用新知，深化理解1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：AOB=AOBAD=BCAB=ABAB=CD（1）（2）AOC=BOCAD=BC（3）2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.AD=CD=BCAOD=DOC=BOC四边形ADCO为菱形【教学说明】这两道题要求学生当堂完成，学生独立思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应用范围，以及对应量之间的关系.对回答好
20、的同学及时给予鼓励表扬，增强学习数学的信心和热情.【答案】 1.（2） 2.3四、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?如圆心角的概念，弧、弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流.【教学说明】先让学生对上述问题进行回顾与思考，完善知识体系，教师再进行补充说明.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.2.本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆
21、心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.24.1.4 圆周角【知识与技能】理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.【过程与方法】经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.【情感态度】通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.【教学重点】圆周角定理及其推论的探究与应用.【教学难点】圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用.一、情境导入，初步认识如图是一个圆柱形的海洋馆的横截
22、面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？相同，2ACB=2AEB=2ADB=AOB【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，获取新知1.圆周角的定义探究1 观察下列各图，图（1）中APB的顶点P在圆心O的位置，此时APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中APB的顶点P在O上，角的两边都与O相交，这样的
23、角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：顶点在圆上；角的两边都与圆相交.二者缺一不可.2.圆周角定理探究2如图，（1）指出O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？（2）量一量D、C、AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.解：（1）圆心角有：AOB圆周角有：C、D，它们所对的都是（2）C=D=1/2AO
24、B.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C，让学生观察当C点位置发生改变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫.为了进一步研究上面发现的结论，如图，在O上任取一个圆周角ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部.已知：在O中，所对的圆周角是ACB，圆心角是AOB，求证：ACB=1/2
25、AOB.提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.如图（1），圆心O在ACB的边上，OB=OC，B=C，而BOA=B+C，B=C=1/2AOB.图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.注意：定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.【教学说明】在定理的证明过程中，要使学
26、生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题，是为了加强学生对圆周角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定理。3.圆周角定理的推论议一议（1）特殊的弧半圆，它所对的圆周角是多少度呢？（2）如果一条弧所对的圆周角是90，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）【教学说明】这
27、个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.4.圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是O的内接四边形.O是四边形ABCD的外接圆.连接OB、OD，由圆周角定理可知：A=1/21，C=1/22而1+2=360，A+C=A与C互补，同理可得ADC+ABC=180.由此可知在O的内接四边形ABCD中，对角A与C，ADC与ABC互补.若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角DCE，则DCE+BCD=180.A=DCE.即：外角DCE
28、与内对角A相等.由此可知圆内接四边形有如下性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角，再由圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求证.三、典例精析，获取新知例1如图，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D.求BC、AD、BD的长.分析：由直径AB可知ACB和ADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC，又由CD平分ACB可知1=2，从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.解
29、：AB为O的直径，ACB=ADB=90，ACB和ADB为直角三角形.在RtABC中，BC=8（cm）.CD平分ACB，1=2，AD=BD， .又在RtABD中，AD=BD=/2 AB=5（cm）【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.例2 如图.AB为O的直径，点C、D在O上，AOD=30.求BCD的度数.分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，C=（180+AOD）1/2，也可由圆内接四边形的对角互补知：C+A=180.而A=D，是等腰OAD的两底角，从而可求出C.两种方法都不难求出C=105.【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书
30、解答过程，发展学生的数学符号语言能力.四、运用新知，深化理解1.如图（1）所示，O的直径AE=10cm.B=EAC，求AC的长.2.如图（2）所示，AB是O的直径，以AO为直径的C与O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若ADB=100，求ACB的度数.【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨.【答案】1. 5cm 2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE (2)
