1、圆与圆的位置关系【闯关磨练】基础训练1已知A和B的半径分别为3cm和5cm，A和B的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ）A外离. B相交 C内切. D内含.【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.【分析点评】本题首先要明确如何利用圆心距与两圆半径之间的大小关系，来判定圆和圆的五种位置关系在解答这类题时，只要计算两圆的半径之和，半径之差，再与圆心距比较大小即可【参考答案】B2若两圆内含，且圆心距等于3，则有可能为两圆半径的一组是（ ）A. 1和2 B2和5 C5和9 D9和11【考点扫描】考查圆和圆中两圆内含的判定【分析点评】本题要明确圆和圆的五种位置关系中，两圆内含时圆心距与两圆半径之间的
2、关系，圆心距dRr【参考答案】C3若半径分别为2和3的两个圆有两个交点，则圆心距d的取值范围是_.【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系【分析点评】本题首先要明确两圆有两个交点，则两圆相交，两圆相交时圆心距与两圆半径之间的关系为RrdRr【参考答案】1d54两圆内切时圆心距为1 cm，若一圆的半径为4 cm，则另一圆的半径是_.【考点扫描】考查两圆内切时，圆心距与两圆半径之间的关系【分析点评】两圆内切时圆心距与两圆半径之间的关系为dRr，同时还要考虑4是R还是r，故本题有两解.【参考答案】5cm或3cm.5已知两圆相交，其圆心距为6，有一个圆半径为8，则另一个圆的半径r的取值范
3、围是_.【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类的思想【分析点评】本题首先要明确两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系为RrdRr，同时还要考虑8是R还是r，故本题需分情况讨论【参考答案】2r146两圆的直径分别为3+r和3r，若它们的圆心距为r，则两圆的位置关系为_.【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.【分析点评】题目中给出的条件是两圆的直径，则两圆的半径分别为、，两圆半径之差为r，圆心距也为r，故两圆内切【参考答案】内切7若A的圆心坐标为(2，0)，半径为1，B的圆心坐标为(1，0)，半径为3，则这两圆的位置关系是_【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与直角坐标系的综
4、合应用. 【分析点评】本题首先计算出圆心距AB，然后确定AB与两圆半径的和、差之间的大小关系,由已知AB=3，R+r=4，Rr2，可得出两圆相交 【参考答案】相交8已知半径分别为3 cm、4cm的A和B两圆外切，那么半径为6cm且与这两个圆都相切的圆有_个【考点扫描】考查两圆相切时，圆心距与两圆半径之间的关系，以及分类讨论的数学思想【分析点评】两圆相切包括内切和外切，故解题时要分类讨论如图，与A、B 均外切的有E和F，与A内切且与B 外切的有D，与A外切且与B 内切的有C，故共有4个【参考答案】49三角形三边长分别为4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切，则各圆的半径分别为_c
5、m.【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系，以及方程思想的运用【分析点评】本题要明确两圆外切时，圆心距与两圆半径之间的关系是圆心距d=R+r，若设三个圆的半径分别是xcm、ycm、zcm，由题意得解之得， 【参考答案】1.5cm 、2.5cm 、3.5cm10已知两圆的半径分别为R和r(Rr),圆心距为d,关于x的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系为_.【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与一元二次方程根的判别式的综合应用【分析点评】一元二次方程有两个相等的实数根，则=0，Rd=r,即R+r=d或Rr=d【参考答案】相切（外切或内切）能力提升1若半径为3cm和2cm的两圆相离，
6、那么圆心距d（单位：cm）的取值范围是( )Ad5 Bd1 Cd5或d1 D1d5【考点扫描】考查两圆相离，圆心距与两圆半径之间的关系.【分析点评】本题要明确两圆相离有两种情况，即外离和内含，故dR-r或dR+r.【参考答案】C2已知A和B内切，它们的半径分别为3和1，过A作B的切线，切点为C,则AC=_.【考点扫描】考查两圆内切时，圆心距与两圆半径之间的关系与勾股定理的综合应用【分析点评】本题首先要明确AB312，利用切线的性质和勾股定理求得AC【参考答案】解：因为C是切点，故连接BC、AB在RtABC中，AC=3已知A和B内切，A半径为1=3cm，圆心距AB=1cm，则B的半径r2为_cm
7、.【考点扫描】本题主要考查了内切时，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类讨论思想【分析点评】本题要考虑两圆半径大小关系时，不仅要考虑A的半径比B的半径小的情况，还要考虑A的半径比B的半径大的情况【参考答案】2cm或4cm4两圆半径之比为53，外切时两圆圆心距是32cm，那么两个圆内切时圆心距为_cm.【考点扫描】考查两圆相切时，圆心距与两圆半径之间的关系【分析点评】由题意，已知两圆的半径之比，因此本题可采用参数法，设两圆半径分别为5k、3k,则5k+3k=32 ， k=4，故两圆的半径分别为20和12因此，两圆内切时圆心距为两圆半径之差【参考答案】85两个等圆A和B外切，过A点作B的两条切线AC
8、、AD，切点分别为C、D，若AD2，则BD_【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系，以及切线的性质【分析点评】本题首先要明确两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系为dR+r，由于两圆为等圆，则AB=2BD,再利用勾股定理构造方程求解.【参考答案】26A和B相交于C、D两点，A的半径为10，B半径为17，两圆的公共弦长16，则两圆的圆心距为_.【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类讨论的思想【分析点评】本题首先要明确两圆相交,连心线垂直平分公共弦同时本题要注意两圆相交，两圆圆心的位置可能在公共弦的同侧，也可能在异侧当两圆圆心的位置在公共弦的异侧时如图1：连接A
9、B、CD 相交于点E，连接AC、BC根据题意得AB垂直平分CD，所以CE8在RtAEC中，AE同理可求BE15，所以AB15621当两圆圆心的位置在公共弦的同侧时如图2：连接BA并延长交CD于点E，连接AC、BC同理可求BE15 ，AE6，所以AB1569以两圆圆心距为21或9【参考答案】21或97如图M和N相交于C、D两点，直线AB经过圆心交两圆于E、F两点若ACB40，则EDF_.【考点扫描】考查圆周角定理和化归的思想【分析点评】在两圆相交问题中，连接公共弦是常作的辅助线，在本题中连接CD，则EFD=ACD，FED=BCD利用三角形的内角和定理求解【参考答案】140. 8A和B的半径分别为
10、R和r,圆心距AB=5 ，R=3当0r2时，A和B的位置关系为_.【考点扫描】本题主要考查了圆和圆的位置关系的判定【分析点评】本题首先要明确圆和圆的五种位置关系中圆心距与两圆半径之间的关系，由题意AB=5 ，R=3，0r2,则AB3+r可以判断两圆外离本题也可以采用特殊值代入法 【参考答案】外离9A和B的半径分别为R和r，且R2r24R2r50，两圆的圆心距d1，则A和B的位置关系为_.【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与配方法的综合应用【分析点评】由方程R2r24R2r50得（R2）2+（r1）2=0，则R2 ，r1，所以dRr【参考答案】内切10已知O1和O2的半径都等于1，则下列命题参考的
11、有_.（1）若O1O21，则O1和O2有两个公共点. （2）若O1O22，则两圆外切（3）若O1O23，则O1和O2必有公共点.（4）若O1O21，则两圆不会相切【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.【分析点评】本题要明确圆和圆的五种位置关系中圆心距与两圆半径之间的关系设两圆半径分别为R和r,圆心距为d, 由题意得，R+r=2 Rr=0故(1)、（2）参考.而（3）中d3不能确定d与R+r 和Rr大小，例如当d=0时，两圆重合必有公共点，当d=3时两圆外离，无公共点.(4)中当d=2时两圆外切.【参考答案】（1）、（2）.11A和B外切，又同时与O内切，若OAB的周长为20cm,则O的半径为
12、_.【考点扫描】考查两圆外切、内切时，圆心距与两圆半径之间的关系以及方程思想的综合应用【分析点评】本题首先要明确两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系为dR+r，内切时dRr.设A、B、O的半径分别为x、y、z，则由题意得，zx+zy+x+y=20,2z=20，z=10.【参考答案】10cm12若O1和O2相交于A、B两点，O1和O2的半径分别为和2，公共弦长为2，O1AO2的度数为 _.【考点扫描】本题主要考查了两圆相交，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类讨论的思想【分析点评】本题要明确两圆相交,连心线垂直平分公共弦同时本题要注意两圆相交，两圆圆心的位置可能在公共弦的同侧，也可能在异侧,更具体
13、地体现了数学分类讨论思想 当两圆圆心的位置在公共弦的异侧时如图1：连接AB、O1O2相交于点E，连接AO1、AO2根据题意得O1O2垂直平分AB，所以AE1在RtAEO1中，O1E=O1AE45在RtAEO2中，AE=1，AO22，AO2E30，则O2AE60，O1AO26045105当两圆圆心的位置在公共弦的同侧时如图2：连接O2O1并延长交AB于点E，连接AO1、AO2同理可求O1AE45，O2AE60O1AO2604515O1AO2的度数为105或15【参考答案】105或15拓展延伸1两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B之间的距离为_.【考点扫描】考查两圆外
14、切时圆心距与两圆半径之间的关系与切线性质的综合应用【分析点评】本题首先要明确两圆外切时dR+r，连接CD、AC、BD，得直角梯形ABDC，再将直角梯形转化为矩形和直角三角形过点C作CEBD，垂足为E，则四边形ABEC是矩形在RtCDE中，CD415，DE4-13，则CE4, 从而ABCE4.【参考答案】42E和半圆F内切于点C，与半圆的直径AB切于点D若AB=6，E的半径为1，则ABC=_.【考点扫描】考查两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系、两圆相切的性质等知识的综合应用【分析点评】本题首先要明确直线和圆相切时常用的辅助线是连接圆心与切点，构造直角三角形同时要熟记两圆相切连心线必定经过切点这
15、一重要性质 连接FC、ED，则E 、F、C 三点共线EF=3-1=2 在RtEFD中，利用 EF=2DE,求得EFD=30,利用三角形的内角和定理计算ABC的度数【参考答案】ABC=753施工工地的水平地面上有三根外径都是1的水泥管两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离为_.【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系以及等边三角形的性质的综合应用【分析点评】本题首先要明确三个圆的直径均为1，且两两外切，所以ABC为等边三角形本题的实质是求点D到直线的距离，即DF的长度因此，两圆相切连心线必过切点以及勾股定理是解决本题的关键【参考答案】解：如图，设C与B切于点E，连接BC，则BC
16、过点E，连接AB、AC、AE，延长AE交直线于F，延长EA交A于点D在RtABE中，AE，DF1其最高点到地面的距离为14今有一圆形硬币，在这硬币的周围排列几枚同样大小的硬币，使所有的硬币都与这枚硬币相切，并彼此外切，则需硬币多少枚？【考点扫描】考查相切两圆的定义及性质【分析点评】本题的关键是在这硬币的周围排列几枚同样大小的硬币，这就意味着这些都是等圆，且相邻的硬币外切因此，外周每两个圆的圆心与这个圆的圆心构成等边三角形，其圆心角等于60，相当于把圆六等分【参考答案】需要硬币6枚5两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面图如图所示（其中A、B是圆心）分隔成两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、N
17、P分别为两圆的切线求TPN的大小【考点扫描】考查两等圆相交的性质与等边三角形的性质的综合应用【分析点评】如果两个等圆相交，圆心距等于半径的长，则两个圆心与任何一个交点组成的三角形都是等边三角形本题以实际背景抽象成一道数学问题，具有很强的趣味性【参考答案】解：连接AB、PA、PBPA=PB=AB ，PAB是等边三角形APB=60，TP与NP分别为两圆的切线， TPA=NPB=90 TPN=360290601206在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆与小圆的半径分别为a、b求证：ADBD= a2b2【考点扫描】考查两圆内含时、垂径定理、勾股定理的综合应用【分析点评】本题在证明过程
18、中主要运用垂径定理和勾股定理，而因式分解的应用起着重要的作用在证明过程中，利用平方差把两条线段平方差转化为它们的和与差的乘积，使之更接近于常规图形，便于证明【参考答案】证明：作OEAB，垂足为E连接OA、OC，则OAa，OCb 在直角三角形AOE中，AE2OA2OE2， 在直角三角形COE中，CE2OC2OE2 所以AE2CE2a2b2， 即（AECE）（AECE）a2b2 由垂径定理可得，AEBE，CEDE， 又AECEAD，AECEBD，所以 ADBDa2b2【数学花苑】聪明屋1如图，已知E和F外切于点P，直线AB分别与E和F相切于点A、B，求证：（1）APBP（2）若E不动，当F向E移动
19、成相交位置时，设EF交E于M，交F于N，AB仍分别与E和F相切于A、B点，连AM、BN试问AM与BN的位置关系怎样？并证明你的结论（3）若E不动，当F沿EF的延长线的方向移动成相离位置时，设EF交E于M，交F于N，AB仍分别与E和F相切于A、B点，连AM、BN，试问AM与BN的位置关系怎样？并证明你的结论 扫描：本题是切线的性质与相交两圆性质的综合应用（1）证明：连接EA 、FB（如图） 则E AAB ， FBABE AFB， E F180又E A=EP，EAPEPA（180E）FB = F P ，FBP（180F）EPAFPB180（EF）=90EPF180，APB90， APBP（2）答：
20、 AMBN ，证明方法同（1）（3）答： AMBN ，证明方法同（1）【数学史话】江总书记与一道几何题一道由江泽民主席出的特殊的数学试题，引起湖北社会各界人士浓厚的兴趣自武汉晚报去年刊登此题并向读者征求答案后，截至4月4日，编辑部共收到有效答卷216份，答题人既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等其中年龄最大的69岁，最小的只有13岁据报道，2000年12月20日，江泽民主席出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的平面几何题：“假设：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点求证：这五点共圆”江主席说
21、：“我也当过中学教师，所以我对教师感到特别亲切中学教学，要教好语文、历史、地理，数学也应该重视，我把这道题出给濠江中学，是要说明：一个人总要有钻研精神”据说，数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案2000年12月28日，澳门濠江中学师生给江主席寄出了答案两天后，江主席请澳门特区行政长官何厚铧转交了给濠江中学师生的回信江主席出的这道平面几何题用规范的数学语言表述是这样的：在任意五角星AJEIDHCGBF中，AFJ、JEI、IDH、HCG和GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L求证：K、O、N、M、L五点共圆（见附图）你会做这道题吗？【生活数学】1.如图，是2004年5月5日
22、2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程.(1)(2) (3) (4) 用数学的眼光看图（1），可以认为是地球、月球投影（两个圆)的位置关系发生了从相切、相交到内切的变化；2时48分月球投影开始进入地球投影的黑影（图（2）；接着月球投影沿着直线OP匀速地平行移动进入地球投影的黑影（图（3）；3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的黑影（图（4）.设照片中的地球投影如图（2）中半径为R的大O，月球投影如图（2）中半径为r的小P，求这段时间内圆心距OP与时间t(分）的函数关系式，写出自变量的取值范围.【考点扫描】本题考查的是圆和圆的位置关系的定义【分析点评】本题实质是从月全食过程中抽象出圆和圆的位置关系，从中归纳出圆心距OP与时间t的函数关系【参考答案】解：这段时间从2时48分到3时52分共64分钟，在这段时间内点P运动的路程为2r，如图(5) (5)点P运动的速度为，即，点P在分钟内运动的速度为t，OPRrt（0t64).
