1、1/75,第二章 误差的基本性质与处理,本章的目的：(重点掌握）1、研究三种误差的性质，出现的规律与产生原因 2、找出相应减少误差的方法 3、综合分析问题,2/75,2-1 随机误差,一定义：同一量值进行多次等精度的测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而误差出现又没有确定规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。注：影响因素包括环境、人员、测试装置等,3/75,二随机误差特征(服从正态分布)：1 对称性绝对值相等正、负误差出现次数相等。2 单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多。3 有限性在一定测量条件下，随机误差不会超过一定界限。4 抵偿性随测量次数增加，随机误差
2、算术平均值趋于零。(特征1的推理)具有以上性质的误差分布规律，一般称正态分布规律，或反之。,4/75,正态分布曲线,分布密度,随机误差,5/75,随机误差的正态分布,大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压正态分布描述：密度函数、分布函数、数学期望、方差、平均误差和或然误差表示,6/75,三随机误差的数字特征,1.定义：用于描述随机误差分布特征的数值。2.随机误差的数字特征主要有：a)算术平均值、b)均方根偏差(标准差)算术平均值表示随机误差的分布中心，可作为等精度多次测量结果。均方根偏差分散性指标
3、，描述测量数和测量结果的精度。分散度反映单次测量值的不可靠性，作为不可靠程度的评价标准，平均值一定，可能其标准差不同。,7/75,(一)算术平均值1 随机误差的表示方法 设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量值为l0，则测量值中随机误差i为(i=1,2,3，n)2 算术平均值定义 设 为n次测量所得结果，则算术平均值 定义为：,8/75,3 与 之关系对n个 求和，有=同除以n,9/75,说明：(1)n=1,1=-L0=l1-L0即为随机误差定义(2)n=2，(3)n时，由随机误差的特征(抵偿性)有 即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随机误差影响的测量值，或影响甚微，可忽略。,10/
4、75,理论上讲，n时，算术平均值定义为数学期望(最大或然值)(理想状态下得到真值的理论依据)(4)对有限次测量 时,但n较大,11/75,4 残余误差表示 由于L0是未知，一般不能用，可用有限测量的算术平均值 进行上式分析 即：li 第i个测量值 li的残余误差,12/75,说明：(1)一组测量值残差之和为零，即(精确值)证明如下：由定义，当 为未凑整(即不用数字舍入规则)时，由定义(准确数),13/75,应用：可用上式检验 及残差计算的正确性(校核)如对于凑整(即利用舍入规则时)，成为非准确数假如有舍入误差 即 代入残差和公式中：,14/75,(2)残余误差代数和满足以下条件(残差和性质)：
5、残差代数和校核残差及 的统一规则为：a)当，求得 为非凑整的准确数时，。b)当，求得 为凑整的非准确数时，为正，其大小为求 时的余数。c)当，求得 为凑整的非准确数时，为负，其大小为求 时的亏数(不足)。,15/75,如：1.372=1.37+0.002(0.002为余数)1.368=1.37-0.002(0.002为亏数)(3)残余误差代数和绝对值满足：(残差和性质)当n为偶数时，当n为奇数时，这里：A实际求得的算术平均值末位数的一个单位。如：则：,16/75,(4)一组测量值残余误差的平方和为最小(重要）导出：=最小 求和：若 最小，必有：,17/75,分析表明：如不取，而用其他值代替真值
6、，则相应偏差的平方和一定要比残差平方和大。从另一角度说明了 较其他值更可信赖。,18/75,(二)标准差(均方根误差，均方根偏差，标准偏差),1.引例：算术平均值虽可表示一组测得值结果，但无法表示这组测得值的精度。如：以下两组测量值。组：20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002组：19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994两组平均值=20.0000显然：两组精度不同，分散性组，精度如何评价两组测量精度？标准差,19/75,2.标准差定义(标准偏差简称标准差)这里 标准差 n测量次数(应充分大)说明：(1)(2)与测量值具
7、有相同误差(3)评定测得值的精度(4)方差,20/75,3 标准差与残差的关系,实际求解中 无法得求到，常用 来分析。算术平均值的误差,21/75,则：(1)对(1)求和(2),22/75,若：对式(2)式直接平方，有：当n适当大时，认为：,23/75,又：代入：,24/75,说明：(1)以上分析用于单组(mi=1)即单次测量的,25/75,(2)正态分布下，与分布密度 和分布函数 的关系式为：a)分布密度(概率密度)定义：(连续函数）b)分布函数(对于连续函数而言)相应数学期望(平均值)：（代入）方差：,26/75,(3)对于相同，但 不同的正态分布曲线。愈小，分布愈陡峭，=随机误差分散性小
8、，即精度高。愈大，分布曲线的形状平坦，分散性较大，精度较低,27/75,4 标准差与算术平均值标准差关系(多组重复测量),对于多组次测量的测量列中，是以每次的算术平均值评价可靠性的。如在相同条件下，对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列都有算术平均值，而各个 不同，必造成围绕真值有一定分散，即不可靠性。1)用算术平均值的标准差 表征作为算术平均值不可靠性的评定标准。,28/75,2)由 取方差 方差性质：又 n 次等精度,29/75,结论：在n次测量的等精度列中，算术平均值标准差为单次测量标准差的 越高,越低 接近真值精度愈高显然，n的方法可以提高精度，但n10以后，减小非常缓慢，一般多次测
9、量选 经济。,30/75,(三)测量精度的其他指标,除Bessel公式外，还可以用以下描述方法制定精度。1 平均误差,31/75,说明：(1)当为连续型随机变量，则可按积分计算，即设代入,32/75,(2)对于单次离散分布(3)对于多次组重复测量离散分布,33/75,2 极限误差,测量的极限误差是极端误差，测量结果的单次或多次算术均值误差不超过该极端误差的概率P，并使差值(1-P)可予忽略。1)单次测量极限误差 若测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时可求极限误差。由概率积分知：随机误差正态分布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率。,34/75,即而随机误差在-至+范围内的概率为
10、引入新的变量：,35/75,经变换，上式为：这里：称为概率积分，不同t的 值可由附录表1(P218)查出。t：置信系数,36/75,说明：(1)若某随机误差在 范围内出现的概率为，则超出 的概率为：显著度或显著水平(2)随t，超出|的概率减小很快。如：t=2，|=2，P=95.44%,22次测量中只有一次的误差绝对值超出2范围。（1/0.0456)t=3，|=3，P=99.73%，则370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。,37/75,置信区间与置信概率置信区间-a，+a:随机误差的大小区间。置信概率：随机误差落入某置信区间的概率大小。对于正态分布的随机误差来说，当置信限为,时，可以计算出
11、其置信概率为68.2；当置信限为3,3时，可以计算出其置信概率为99.7。,一般测量系统的随机误差服从正态分布。,38/75,(3)极限误差：一般测量中，测量次数10，故100.0027=0.0127，即3误差不可能出现。定义：绝对误差为3的误差称单次测量的极限误差。表达式：，本质t=3，|=3。当t=3时，对应概率P=99.73%。,39/75,(4)极限误差通用表示法有时可选t=2.58，P=95.44%，t=1.96，P=95%通用式：测量列单次测量的极限误差可用下式表示：若已知标准差，选定置信系数t，即可求得单次测量极限误差。,40/75,2)算术平均值的极限误差：测量列的算术平均值与
12、被测量的真值之差被称为算术平均误差 当多个测量列的算术平均误差为正态分布，同样可得极限误差为：,41/75,式中：t为置信系数，为算术平均值标准差。说明：a)通常取t=3,b)实际测量中，亦可取其他t表示算术平均值的极限误差。c)当测量次数较少时，按“学生氏”分布(Student distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差。(小样本）,42/75,即：式中，为置信系数，它由给定的置信概率 和自由度 来确定，可查P219页中的表3。为超出极限误差的概率(称显著度和显著水平)，通常取0.01或0.02，0.05。n测量次数 n次测量的算术平均值的标准差,43/75,3 几
13、率误差(概率、或然误差),定义：指测得值落入以内(测量误差在以内)和落入以外的概率相等，即 式中，由P218表1知：t=0.6745,44/75,或说明：(1)与几率误差相应的置信概率为50%。(2)对于连续函数：=0.6745=2/3。(3)多次测量则用算术平均值。(4)为曲线的拐点，为曲线半边面积之重心横坐标，则为将曲线半边面积等分为左右两半的坐标线相应横坐标。,45/75,总结,测量值落在置信区间 内的置信概率用 表示，置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度。由于置信度不同，测量结果的误差有不同表示方法，常用有：标准差：半长，置信概率 平均误差；半长：，置信概率：或然误差：半长：置
14、信概率：极限误差：半长：置信概率：,46/75,四标准差的其他计算法,除以上介绍外，也介绍了(Bessel函数)另外还有别捷尔斯法，极差法及最大误差法现分别介绍如下。1、别捷尔斯法,47/75,近似的(用绝对值表示)可用平均误差：又即别捷尔斯(Peters)公式,48/75,对于多次测量：2、极差法：以上两法比较复杂，为简便迅速算出标准差，可用极差法。若等精度多次测量测得值x1,x2,x3,xn服从正态分布，在其中选取最大值xmax，与最小值xmin，两者之差称极差：即：,49/75,极差数学期望：说明：可查表求之极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般n10时均可采用。,50/75,
15、3、最大误差法利用 中，取绝对值最大的一个。当各个独立测量值服从正态分布时，有：然，一般未知，难以求出，可用残差来表征，即：说明，最大误差法简单、迅速、方便、容易掌握。当n10，最大误差法具有一定精度。,(kn可查表求出),(可查表求出),51/75,五 应用举例,例1求20.0005，19.9996，20.0003，19.9994，20.0002五个测量值的算术平均值。方法1 直接用,52/75,方法2 简化算法,53/75,例2 计算表中测得值之标准差,54/75,解：用 求解 为此先求：第I组：相应 为0.0005，0.0004，0.0003，0.0006，0.0002,55/75,第I
16、I组,56/75,例3 用百分表式卡尺测量长度共10次，测得的结果下表，试求：,57/75,解：按贝塞尔公式计算,58/75,按别捷尔斯公式计算,比较可知：两组结果基本一致,59/75,说明：如上例中，求其精度评定指标若要求置信概率，试确定其测量结果。解：用贝塞尔(Bessel)方法，n=10平均,60/75,几率,极限,由于，从t分布表P219页中查得：,故相应的结果应为：,61/75,六 不等精度测量概述 在科学研究中或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行对比，这种测量称不等精度测量。1 不等精度测量的形式：1)用不同次数进
17、行对比测量 对同一仪器，同一方法，同一测量者，但测量次数不同，先后用n1和n2次进行了测量，相应算术平均值 2)不同精度的仪器进行对比测量 如何求得最后测量结果与精度？,62/75,2 权的概念 在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不可简单的取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应使可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大些，而可靠程度小的占的比重少些。可靠程度可用数值P来表示，该值即称为测量结果的权。权的含义：它与另一些测量结果比较时对于该测量结果所给予的信赖程度。理解：学生考试成绩平均，各科权重为1。而综合评定德智体美劳时，可按0.2，0.5，0.1，0.1，0.1来
18、衡量。这就是权的含义的充分体现。,63/75,3 权的确定方法1)依据：测量结果的可靠程度来定P的大小。2)最简单方法：按测量次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复次数愈多可靠程度愈大。即：Pi=ni 3)同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值，单次测量精度皆相同标准差。则算术平均值的标准差为：,64/75,即：上式写成：即：结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。说明：Pi无量纲的数，允许权数同时增减倍数 实际计算时，可将各组的权数约简，使其中最小的权数为不可约简的整数，以便用简单的数值来表示
19、各组的权。,65/75,4 加权算术平均值 对同一被测量进行m组不等精度的测量，得m个测量结果，设相应测量次数为 即：据等精度算术平均值测量原理全部测量的算术平均值应为：即：,66/75,特殊地：当各组权相等 时上式简化为：(为等精度下的算术平均值)另外，可用简化法表示加权算术平均值式中：为接近 的任选参考值。,67/75,5 单位权化的概念,1),上式可写为：,式中为等精度单次测得值的标准差。上式可以认为：具有同一方差的等精度单次测得值的权为1，称等于1的权为单位权。为具有单位权的测得值的方差，为具有单位权的标准差。,68/75,2)单位权化对于不等精度测量，有时为计算需要，可将不等精度化为
20、等精度处理。即使权数不同的不等精度测量列，转化为具有单位权的等精度测量列，此即为单位权化。单位权化的实质，使任何一个量乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。做法：若将各组不等精度测量列 皆乘以自身权数的平方根 得到新值Z的权数即为1，说明如下：,69/75,由：亦即：各组测量结果的权数与相应方差成反比，若用权数表示方差，即为：有：结果：单位权化后，新值Z的权数Pz为1。此法可将不等精度各组测量结果皆进行单位权化，使测量列转化为等精度测量列。,70/75,6 加权算术平均值的标准差 1)对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 若已知单位权测得值标准差 有：全部(m n)测得值的
21、算术平均值的标准差为：对比以上两式有：,71/75,结论：当各组测量的总权数 为已知，可由任一组的标准差 和相应的权Pi，或者由单位权的标准差求得加权算术平均值的标准差。2)若不知 时，用残差 来表示，即：将各组 单位权化，则有：则上式已变成等精度情况，可直接代入标准差公式中,72/75,回代求，有：说明：可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差。m足够多时，结果才较精确，否则为近似值。,73/75,例4 设用同一测角仪测量某一角度三回，第一回3次，二回6次，第三回12次(每取一读数为1次)，结果如下：，求加权平均值？解：权按测量次数评定其可依赖程度 即：代入到加权平均公式中,74/75,说明：若用算术平均值，则，即加权平均值特例；若将权 简化为1，则 的权，即等精度测量算术平均值的权为单个测量的n倍。例5(见书2-12)工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次)，999.9416mm(二次)，999.9419mm(五次)。求：最后测试结果 求加权算术平均值的标准差,75/75,解：按测定次数确定选则：由可确定各组的残差即:又：m=3,P1=3,P2=2,P3=5则：,76/75,作业：P53：22,23,210,
