1、直线平面垂直的判定与性质第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l要求一平面只需过另一平面的垂线二、常用结论直线与平面垂直的五个
2、结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 考点一直线与平面垂直的判定与性质典例如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD，又ACCD，且PAAC
3、A，CD平面PAC.AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE. 解题技法证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：la，lb，a，b，abPl.(2)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.(3)性质：ab，ba，aa.(4)，ll.(客观题可用) 口诀归纳线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记
4、清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件. 题组训练1(2019安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD.(1)求证：BD平面A1ACC1；(2)若AB1，且ACAD1，求三棱锥ABCB1的体积解： (1)证明：如图，连接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E为AB1的中点，D为AC的中点，ABBC，BDAC.A1A平面ABC，BD平面ABC，A1ABD.又A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，BD平面A1ACC1.(2)由AB1，得BCBB
5、11，由(1)知ADAC，又ACAD1，AC22，AC22AB2BC2，ABBC，SABCABBC，VABCB1VB1ABCSABCBB11.2.如图，S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D，E分别为AC，AB的中点DEBC，DEAB，SASB，SEAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)ABBC，BDAC，由(1)可知，S
6、D平面ABC，又BD平面ABC，SDBD，又SDACD，BD平面SAC.典例(2018江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.因为A1BBCB，A1B平面A1BC，B
7、C平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.解题技法证明面面垂直的2种方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决题组训练1(2019武汉调研)如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PAPC，PB2.求证：平面PAC平面ABC.证明：取AC的中点O，连接BO，PO.因为ABC是边长为2的正三角形，所以BOAC，BO.因为PAPC，所以POAC1.因
8、为PB2，所以OP2OB2PB2，所以POOB.因为ACOPO，所以BO平面PAC.又OB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.2.(2018安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PAAD.求证：(1)AF平面PEC；(2)平面PEC平面PCD.证明：(1)取PC的中点G，连接FG，EG，F为PD的中点，G为PC的中点，FG为CDP的中位线，FGCD，FGCD.四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AECD.FGAE，FGAE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG，又EG平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2
9、)PAAD，F为PD中点，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，ADPAA，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF.又PDCDD，AF平面PCD.由(1)知EGAF，EG平面PCD，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD.A级1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，解析：选C对于C项，由，a可得a，又b，得ab，故选C.2(2019湘东五校联考)已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是()A BC D解析：选A对于，若，m，
10、l，则ml，故正确，排除B.对于，若ml，m，则l，又l，所以.故正确故选A.3已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()APABC BBC平面PACCACPB DPCBC解析：选C由PA平面ACBPABC，故A不符合题意；由BCPA，BCAC，PAACA，可得BC平面PAC，所以BCPC，故B、D不符合题意；ACPB显然不成立，故C符合题意4.如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析：选A因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平
11、央ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：选D因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，所以BC平面PAE，又DFBC，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项B、C均正确6.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有
12、_个；与AP垂直的直线有_个解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，又AP平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：317设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；若外的一条直线l与内的一条直线平行，则l；设l，若内有一条直线垂直于l，则；直线l的充要条件是l与内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是_解析：正确；正确；满足的与 不一定垂直，所以错误；直线l的充要条件是l与内的两条相交直线垂直，所以错误故所有的真命题的序号是.答案：8在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面与棱AB，A
13、C，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1平面.有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面平面BCC1B1；平面平面BCFE.其中正确命题的序号是_解析：如图所示，因为AA1平面，平面平面AA1B1BEH，所以AA1EH.同理AA1GF，所以EHGF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EHGFAA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故正确；若平面平面BB1C1C，由平面平面A1B1C1GH，平面BCC1B1平面A1B1C1B1C1，知GHB1C1，而GHB1C1不一定成立，故错误；由AA1平面BCFE，结合AA1EH知EH平面BCFE，又EH平面，所以平面平面BCFE
14、，故正确答案：9(2019太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，N为AD的中点(1)求证：AD平面PNB；(2)若平面PAD平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积解： (1)证明：连接BD.PAPD，N为AD的中点，PNAD.又底面ABCD是菱形，BAD60，ABD为等边三角形，BNAD，又PNBNN，AD平面PNB.(2)PAPDAD2，PNNB.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PNAD，PN平面ABCD，PNNB，SPNB.AD平面PNB，ADBC，BC平面PNB.又PM2MC，VPNBMV
15、MPNBVCPNB2.10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点所以DEAC，于是DEA1C1，又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，因为A1C1平面A1B1C1，所以AA1A1C1，又因为A1C1A1B1，A1B1AA1A1，AA1平面A
16、BB1A1，A1B1平面ABB1A1，所以A1C1平面ABB1A1，因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D，又因为B1DA1F，A1C1A1FA1，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，所以B1D平面A1C1F，因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.B级1(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解：(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以POAC，且PO2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三
17、角形，且OBAC，OBAC2.所以PO2OB2PB2，所以POOB.又因为ACOBO，所以PO平面ABC.(2)作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.2(2019河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E，F分别是CD，PC的中点求证：(1)BE平面PAD；(2)平面BEF平面PCD.证明：(1)ABCD，CD2AB，E是CD的中点，ABDE且ABDE，四边形ABED为平行四边形，ADBE，又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(2)ABAD，四边形ABED为矩形，BECD，ADCD，平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PAAD，PA底面ABCD，PACD，又PAADA，CD平面PAD，CDPD，E，F分别是CD，PC的中点，PDEF，CDEF，又EFBEE，CD平面BEF，CD平面PCD，平面BEF平面PCD.
