1、教学案例第二课时如何进行教学活动的设计直线与平面的位置关系第二课时：如何进行教学活动的设计xxx：各位老师，大家好！欢迎大家参加高中数学新课程远程研修！我们这一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场！从上一讲我们已经了解到了教学设计是什么？教学设计关注的问题有哪些？我们这一讲就比较具体的来进行进一步的讨论，我们讨论的主题是如何进行教学活动的设计，我们希望深入到课堂的角度里。我们首先来看几个案例
2、，我们想从这些案例里，看一看课堂活动设计里有哪些要点。我们先来观摩两节“直线与平面平行”的课堂教学片断，并听一听上课老师自己做的分析和点评。课堂实录片段：T教师，S学生。T：今天这节课我们来研究一下直线和平面的位置关系有多少种？首先我们来看这样一个问题，这是一个足球门的图片，请大家观察一下组成足球门的每根柱子和地面之间的位置关系有哪些？只需要直观的感知一下有几种？S：有垂直，平行，还有相交。T：一条直线和一个平面的位置关系，有且只有以下三种：直线在平面内；直线和平面相交以及直线和平面平行。在这三种位置关系里，直线在平面内那么直线和平面有无数个公共点。而直线和平面相交，直线和平面平行这两种位置关
3、系，我们把它统一的称作为直线在平面外。直线在平面外的符号的记法大家想想应该记作什么？S：直线在平面内，是。T：那么在平面内外呢？S：不包含。T：对，记作：。 接下来我们还是回到足球门这个问题上，刚才大家说了在这个足球门里面，AD和地面是平行关系。那么在造足球门的时候我如何去判断造完以后门放在这个足球场上，上面这个门框就和地面平行的呢？也就是说我如何去判断一条直线和一个平面平行呢？为了研究这个问题，我们把足球门抽象一下，抽象成在一个长方体内。在这个长方体里面，大家应该很直观的看到AB和下底面是平行关系。那么它们为什么是平行的呢？我们从直线和平面平行的定义出发，它的定义是什么？是线面没有公共点。那
4、么我们怎么说明它们是没有公共点的呢？请同学们看图，从这张图上我们看到：直线AB和谁没有公共点？S：AB。T：因为AB和AB是平行的。而下底面可以看成是由AB这条直线平移所构成的，在平移过程当中的每条直线与AB都没有公共点，因此直线AB就与下底面没有公共点了。现在请大家来归纳一下，如何判断直线和平面平行？S：直线和平面的一条边平行且不在平面内，则直线和平面平行。T：我们调整一下这句话，就是说：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。从图形上来叙述的话，（看幻灯片）只要说和这两条直线平行，那么就和平面平行。我们简单一点来说：就是由线线平行这个条件，可以得到线面平
5、行的结论。但是这两条线要分清楚，一条是在平面外的，一条是在平面内的。xxx的说课：我说课的课题是直线与平面的位置关系（第一课时）。本节课是高中数学新课程必修二中的内容。我的说课分四部分进行：（1）教材分析目标定位。首先，从新老教材的对比上，我们可以看到，新教材有非常明显的变化。老教材是一次完成教学，而新教材中文科在高一完成立体几何教学后就已经结束了；理科则是分两次完成，一次是在必修二当中，一次是在选修系列2中。其次，新教材强调：直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。在高一阶段立体几何的学习中更加注重直观感知，操作确认，并适度进行思辨论证。再次，本小节在教
6、材当中前后联系非常紧密，线面位置关系的分类和它之前的线线位置关系以及之后的面面的位置关系的分类标准都是一致的，都是从有没有公共点，有多少个公共点出发进行分类。线面位置关系的研究顺序也和之后的面面位置关系的研究顺序一致，都是先进行分类，然后讨论两种特殊的位置关系：平行和垂直。因此本小节在教材当中是起到了一个承上启下的作用。所以本节课我的目标定位是：第一，能够直观感知直线与平面的位置关系并会用符号语言表示；第二，能通过直观感知、操作确认，归纳并理解线面平行的判定定理并能运用它证明一些简单的问题。第三，能够通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳并证明线面平行的性质定理并能运用它证明一些简单命题。（2
7、）创设问题情境。我认为问题情境应该能够引起学生的学习兴趣，并且能够反映本节课的中心内容，而且本节课的教学也应该围绕着这个问题展开。因此本节课我设计了这样一个问题情境：就是有关足球门的例子，用它来引入直线和平面的位置关系，并且引入直线和平面平行的判定定理。（3）本节课的问题串设计。在第一部分直线和平面的位置关系上，首先是问这样一个问题：观察组成足球门的每根柱子与地面的位置关系；接着抛出第二个问题：直线和平面可能有哪几种位置关系；最后要求学生不看图从直线和平面公共点个数来划分，归纳出直线和平面的位置关系应该有怎样几种。这三个问题由直观到抽象，引导学生归纳得到线面的三种位置关系。第二在直线和平面平行
8、的判定定理的教学当中，还是从足球门的问题情境出发，问在足球门的图片当中如何保持球门的门框和地面是平行关系；接着抽象到长方体模型当中，询问这样两个子问题：首先是在直线AB的平移过程当中询问学生是否每一个位置都和直线AB平行；接下来一个子问题就是询问他们直线AB和平面AC是否有公共点。那么通过这样两个子问题，以问题的形式引导学生自己归纳得出判定定理。接下来在线面平行的性质定理的教学当中，我问了这样几个问题：第一，如果直线和平面平行那么这条直线是否和这个平面任意一条直线平行；第二，如果直线和平面平行那么这条直线和平面内多少条直线平行；第三，在平面当中怎样找出和已知直线平行的直线。通过这三个问题引出线
9、面平行的性质定理，同时让学生辨析了这样几个概念，就是无数条直线和任意一条直线和所有直线的区别。（4）教学模具的运用。运用教学模具在立体几何的教学当中是非常普遍的，因为运用教学模具讲解非常直观能够使学生容易理解。但是教学模具并不一定非要是教学模型，比如说长方体、正方体或者棱柱、棱锥、棱台等模型。身边的各个具体的事物都可以用来作为模具。我在本节课当中讲解思考练习二，辨析命题“过直线外一点有无数个平面与这条直线平行”是否成立的时候，我利用教室的门作为模具演示开关门的过程，在这个过程当中让学生发现教室的门框与门在转动过程当中每一个所在平面都是平行的，从而判断出该命题的真假。设计这样一个演示过程我还有另
10、外的一个想法，就是这时候课上了大概有一半了，可能有学生的注意力有所分散，通过这个演示可以再次提高学生的兴奋点，继续吸引学生的注意力。同时，我希望通过这样慢慢的渗透能够使得学生学会观察身边的各种事物从中发现数学的奥妙。课堂实录片段：T教师，S学生。T：同学们，前面我们刚刚学过空间两条直线的位置关系，请问空间两条直线的位置关系有哪些？ S：平行，相交或者异面。T：非常棒，请坐下。请问这三种位置关系从公共点的角度来判断，两条直线平行公共点有多少个？ S：如果两条直线平行那么这两条直线没有公共点；两条直线是异面直线那么它们也没有公共点；当两条直线相交的时候它们有一个公共点。T：回答得非常棒！同学们，今
11、天我们就是从公共点的角度来研究直线与平面的位置关系。请大家以笔代直线，以桌面代平面来比划一下直线跟平面公共点的情况。好，我请个同学来讲一讲，这位女同学。S：（拿笔比画演示）T：她刚才讲得非常好。（演示）直线与平面没有公共点；直线跟平面只有唯一的公共点；还有整条直线在平面上。前面我们在公理一中已经讲到，如果说一条直线上有两个点在平面内，那么这条直线就在平面内。我们给出三个定义：第一种情况，如果直线跟平面有无数个公共点就称直线在平面内；如果说只有一个公共点我们称直线跟平面相交；如果说没有公共点就称直线与平面平行。它们的记号依次是：如果线面平行，我们模仿两条直线平行的写法，读作直线a平行平面；相交怎
12、么表示呢？直线交平面于点A，；表示直线在平面内，；相对于直线在平面内，直线与平面相交以及平行这两种统称直线在平面外,它的记号:.这就是今天给大家抛出的直线与平面的三种位置关系.那么我们今天首先来研究直线跟平面平行这样一种特殊的位置关系.同学们，我们现在已经知道直线跟平面平行它的定义是没有公共点.那么，接下来就要判断直线跟平面是不是平行？定义当然是一种重要的方法，除这之外到底有没有其他办法？我们先来看一个做法：直线跟现在重合在一块，都在平面里面，我现在把这条直线放在平面内，保持，平行，往上移动从面内移到面外，这里面具备哪些条件？S：跟平行，在内，不在内。我们猜想一下。T：我们猜想一下跟的位置关系
13、是什么？S：平行。T：同学们的猜想完全正确。直线在平面外，直线在平面内，为两条平行直线，这三个条件，我们能推出a跟平面平行。xxx说课：今天我说课的课题是直线与平面的位置关系，它是高中数学新课程必修二中的内容。点、直线与平面是立体几何的三个基本对象。直线与平面的位置关系是立体几何的重点与难点。根据新教材的教学目标和教学内容，教师存在的两大难点：第一个难点，课时减少、容量增加。旧教材中直线与平面平行的判定和性质安排了三课时，而新教材中的相关内容仅安排了一课时，原教材中的练习三在新教材中变成了例题三，还增加了一个思考题。因此本节课相比原教材而言，课时数是原来的三分之一，而教学内容比原来反而增多了。
14、与原教材相比，新教材对直线与平面平行的判定定理的证明虽然不做要求，但教学时要通过观察动手或多媒体演示等等手段让学生感知直线与平面中一条直线平行可以得到线面平行。虽然对定理证明的要求降低了，但实践能力要求增加了。新教材对例题习题的推理要求并未降低，教学时间显得更为紧迫。教学中，直线与平面平行的判定是一个难点，学生比较难理解。在新教材中它的证明不作要求，但是让学生体验这个定理的演示过程显得非常重要，在这个过程中，让学生体会到线和平面没有公共点，由此导出判定定理。第二个难点，性质定理内容的生成难以下手。由于性质定理的引入不太自然，要求又比较高，学生不太容易理解，因此我在此处设计了大量的问题，通过问题
15、串来解决线面平行的性质定理的引入。等例题一结束以后，我是这样设问的：EF跟平面BCD是平行的，那么EF除了跟BD平行以外，还有没有其他直线和EF平行？学生不难发现三角形BCD的中位线等一系列平行直线。我继续发问：直线EF与平面BCD中的直线是不是都平行？同学也很容易得到BC跟EF是不平行的。那么EF与平面BCD中的直线除了平行还有什么其他关系？显然是异面的。那么EF与平面BCD中的直线除了平行异面之外有没有其他可能？事实上只有两种：要么异面要么平行。我继续追问：线面平行线跟平面内的直线怎样前提下才能保证线线平行？这就导出来线面平行的性质定理。通过这样的设问学生很自然的就得到了它的证明。讲完性质
16、定理之后，教材给出了例题二。例题二是一个长方体木块，要经过平面A1C1内一点和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？当性质定理和判定定理得以充分解决以后，由于担心学生的直观理解还不够，因此我在教学过程中带了小木块给每个同学，让他们自己刻画、自己操作，最后同学基本上都能比较自然的画出该画的线。应该说线画好本题已经解决，由于本节课的课时比较紧，内容比较多，经过反复推敲，例题二跟例题三其本质是一样的，例题三要求三个平面两两相交，交于三条直线，其中两条线平行，那么第三条线一定平行。我就抓住例题二这样的结论，把上面看成其中一个面，右边看成第二个面，现在的截面看成第三个面，其本质就是三个平面两两相交，其中满足B
17、C跟BC1平行，那么把它锯开就得到了例三所要的。例题三就通过例题二的充分分析，两者通过巧妙的整合完成了例题三所提出的要求，最后给出严格的证明。xxx：两位老师给我们提供了研究数学教学活动设计的很好的案例，下面我们听听罗强老师和刘华老师对“直线与平面平行”这个案例的分析。xx：好，我们就以“直线与平面平行”这堂课，来探讨数学教学活动的设计。“直线与平面平行”这堂课，我觉得是新教材“立体几何初步”中非常典型的一堂课，这堂课的典型性，主要体现在它反映了研究空间元素位置关系的一个全流程。我们研究空间元素位置关系，首先要先建构位置关系，通过建构了位置关系之后，得到了位置关系的一些定义，然后把其中的第一种
18、位置关系线面平行拿出来，对线面平行进行研究，研究它的判定定理以及它的性质定理。因此这是一个完整的研究空间元素位置关系的一节课。我觉得它的典型性还体现在就是我们在教学设计的过程中间，一定要从整体把握和单元设计的角度来进行设计。我们现在新课程的立体几何分成两块，一块是必修二，叫立体几何初步；然后选修2 1是空间向量与立体几何。我们现在教的“直线与平面平行”是立体几何初步中的一个内容。因此，我觉得在本节课的教学设计中，一定要突出初步这个关键词，把握好新教材对于立体几何这样一种分段教学、螺旋上升的要求。从单元设计的角度来看，就是说我们现在研究的直线与平面平行的位置关系，实际上就是一个立体几何中间研究空
19、间元素与元素位置关系的一个缩影，这样一种课堂教学的流程应该可以移植到研究其他比如说面与面的位置关系，线与线的位置关系中。所以，我觉得这堂课还是非常典型的一堂课。xx：我觉得这堂课的教学活动也是非常典型的，这个典型性首先反映在要让学生独立地面对问题。比如，这节课我们总共要提出三个主导问题：一个是直线和平面可能有几种位置关系？我们如何用公共点的数量来进行分类？这是第一个问题，通过这个问题，教师是希望指导学生建构直线和平面位置关系的几种情况，从而得出定义，也为我们进一步地研究提供一个基础。第二个主导问题是我们在研究直线和平面平行的判定的时候需要提出：如何判定线面平行？我们可能会在解决这个问题的过程当
20、中需要学生主动地参与问题解决的这样一个过程。从而使得他们能够自主地建构线面平行的这个判定定理。第三个主导的问题是如果直线和平面已经平行了，那么这条直线是否和这个平面内的任意一条直线都平行？当然学生在解决问题的过程当中通过自己的理性思考，通过自己的这种思辨的过程，能够认识到直线并非和平面内的任意直线都平行。这样，我们的子问题就可以接踵而来，比如说可以问：那么这条直线是不是能够和这个平面内的一条直线平行呢？和哪条直线平行呢？和这个平面内平行的直线之间有什么样的关系呢？这样，我们可以从关系的角度能够逐层地展开我们的教学活动，因此说这堂课的一个典型性是学生需要独立地面对问题。其次，这堂课的教学需要强调
21、学生要主动参与问题解决的一个过程，从而使得我们数学的教学过程成为学生主动进行意义建构的一个过程，我想这也是这堂课教学中典型性的一个体现。我觉得这堂课的教学活动设置的流程非常清楚，这个流程就是从位置关系到定义到判定到性质到应用，这个流程在接下来研究其他位置关系的时候也是这样的，具有一种全息性。xx：我觉得在这堂课的教学设计中间一定要突出初步这个关键词，课程标准提出立体几何初步的教学应该突出直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算，这样一种要求跟教材的设计次序是吻合的。那么在这堂课里，我觉得教师在教学活动设计中应该突出让学生直观感知，在直观感知的基础上进行理性思维。王新民老师和黄骁健这两位老师在教学
22、中间都借用了门这个道具，展示了门打开过程中门和门框的位置关系，这就充分借助了我们身边的实物让学生来感知。再比如说黄骁健老师和王新民老师都使用了多媒体课件，让学生体会直线与平面判定定理的合理性。所以我觉得在立体几何教学中，我们一定要突出让学生通过实物，通过多媒体课件来进行直观感知，在直观感知的基础上进行理性思维。再比如例题二，应该怎样画线把木块切割开来？这个问题本身就包含了对前面知识和后面知识一种前后联系，所以这个问题，虽然它放在这个部分侧重研究的是线面平行这种关系，但实际上，它还包含了研究线线位置关系以及其他的内容，它最后也可以看作是面面平行的一个性质定理。所以我们在教这个内容的过程中间，要更
23、多地从整体上来理解这个内容，为后续的教学打下伏笔，为前面的教学做一个延伸。xx：打个比方，比如说我们教师可能看作是泥水匠，你在砌墙的时候知道这块砖头可能不是很规则，但是你需要知道它放在什么地方，然后我们才能够砌出一个完整的、比较漂亮的建筑出来。xx：这个比喻很好，就是说我们教师在教的时候，实际上从行为上来讲是砌砖，但是从整体上来看我们是在砌一幢楼，这幢楼的形象要在脑海里有一个比较深刻的认识。xxx：大家看过了这个两个案例以后，也听了两位老师的点评，我想大家会有一定的感受，下面，我们想就教学设计来采访一下江苏省教研室的李善良老师，听一听李善良老师对教学设计的想法。李善良：每套教材都集中了大量的智
24、慧和经验，教师在进行教学时，要对教材的编写意图进行深入的研究，这样才能进行有效的教学设计。下面我从三个方面简要的说明一下，如何从教材设计到教学设计：第一，研究整体意图，理清教学流程。（1）熟悉教材的整体结构。在研究教材的整体设计意图时，首先要熟悉整套教材的结构体系安排，这样才能找到同一个具体内容的定位，而且站在整体角度来设计具体一节课才能更加清晰到位。例如，苏教版高中数学实验教材在整体设计时就充分考虑注意整体贯通相互联系，教材的编写时从整体出发，按知识发展、背景问题、思想方法三个纬度，将全书模块章节做整体设计，实现整体贯通。教师在进行教学时只有从整体上把握，才能找到某一具体内容地位作用，也才能
25、进行合理的教学设计。（2）理解内容的组织方式。教材内容的组织方式对于课堂教学设计有着直接的启发示范作用，在进行教学设计时要认真研究教材的内容组织方式，这样才能把教材的设计转化为教学的设计。例如，苏教版教材的内容组织方式主要为从问题情境出发提出问题，引导学生进行积极的数学活动，在活动过程中进行一一建构，进而由学生提出数学理论，有了数学理论之后通过例题、练习、习题等加强数学运用，在整个内容学完之后进行回顾反思，进而升华。在教学时只有充分关注到教材的设计流程，才能有效的设计好教学的流程。（3）注意教材的弹性要求。为了使每个学生都能获得最佳发展，教材在设计时都要考虑到不同学生的不同需求。在教学设计时应
26、充分研究教材的层次设计，考虑适合于所有学生的教学设计。例如，苏教版数学实验教材的必修课程，主要从基础性、兴趣性、层次性三个方面考虑，整套教材设计为一个核心、多个层次、多种选择。以基本教学要求为核心，通过这个载体，学生可以获得全方位的发展，学生学好核心内容后根据需要有多种选择，具体设计为教科书中的引言、正文、练习、习题中的感受理解部分、阅读材料、探究案例、实习作用、本章回顾等内容，构成一个完整的体系。正文是教科书的核心，体现了高中数学教学要求，是所有学生应该掌握的基本内容，编写时力图使所有学生都能理解。考虑到广大同学的不同需求，教科书提供了较大的选择空间，主要是设计了一些具有挑战性的内容，包括思
27、考、探究、链接、习题中的思考运用、探究拓展等，以激发学生探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，学生可以自主选择一些内容进行思考与探究。第二，研究教材编写特点，精琢教学细节。在进行教学设计时，要充分研究教材的设计特点，力图使每个细节都能充分体现教材的设计特点。例如，苏教版高中数学教材，采取以问题为主线的方式进行编写，这样对于促进学生的主动探究、积极思维是十分有益的，通过提出问题、解决问题、反思升华的过程，促进学生思维的发展。教材为学生的主动学习留有一定的空间，为教师的创新教学也留有一定的空间，在研究教材时必须充分抓住这些潜在的设计特点，根据教材设计的思路，教师在设计数学活动时要善于创设问题情境、引
28、导学生提出问题，引导学生探究发现、建立数学理论，引导学生自我建构数学。在进行数学问题情境设计时，要注意问题情境设计要有利于学生提出问题，而不是过分强调生活化的实际情境，没有问题的情境、人为的情境都是我们不提倡的。数学活动主要是在教师引导下学生的积极思维活动，包括再创造、再发现等活动，不能把活动简单理解为工业化的操作活动、小组活动，在教学设计时更反对没有问题的各种各样的活动。在数学运用设计时应注意到数学运用是一个有机协调的整体，例题、练习、习题、实习作业等等应整体设计不能随意进行。此外，回顾反思是非常重要的，在进行教学时我们必须注重回顾反思的设计。第三，研究不同教材，突显教学特色。每套教材编写都
29、有自己的理念、思想、特色，这些理念、思想、特色又都是借助具体的内容设计来体现的。而教材不是百科全书，在选材时都是极为精炼典型的，教材选用的材料往往具有示范性，它未必是最好的素材，但是可以启发我们以此为示范去进一步选择设计适合于我们课堂的内容。在进行教学设计时为了能更好的把握教材的设计意图，教师可以选择不同的教材进行比较，由此发现对同一内容不同编写者的想法，从而获得启发，进而以教材的编写素材为示范，进一步去选择合理的素材，这样形成适合于自己班级的教学设计，逐步形成教师自我的教学特色。xx：好！xxx老师给我们讲了一些他的思考，我们现在想就以下几个问题跟嘉宾进行讨论。在数学教学活动的设计中，老师们
30、非常关注这样一些问题，就是数学课需要设计哪些活动？如何提高这些活动的价值？第二个问题就是如何设计好问题串，或者说问题呈现的方式和顺序？我想听听嘉宾们对这个问题的分析和想法。xxx：我觉得从操作层面上来讲，教学设计实际上就是问题的设计。我们知道学生在学习数学的过程中间，从某种程度上来讲应该说是再现了数学发展的过程。为什么说某种程度呢？因为学生不可能完全重现数学的发展过程。我举一个事例，我以前的一个学生，他现在在新加坡学习，有一次在跟我聊天的过程中间，他谈到，说他有一次在新加坡看到个电视片后感到非常的震撼，他用了“震撼”这两个字。我说你看到一个什么电视片，他说片子讲的是一个加拿大的小学老师，这个老
31、师教考古，他怎么教呢？他先买了一块废地，然后每年夏天就带自己以前毕业的学生到这块空地，把一些文物，当然是现代的物品，还有一些动物的尸骨之类的埋到地下。到了开学的时候，他就带他现在的学生到这个现场进行一些考古的活动，在这样一个考古活动中进行知识的传授教学。我觉得加拿大这位老师的做法应该说非常符合学生的认识规律，实际上，数学教学设计的过程中，我觉得要从三个维度出发来进行问题的设计：一个是从数学知识本身这个维度，要注意我们提出的问题能否生长出我们所要学的这些知识；第二个就是从学生认知规律这个维度；第三个就是要从组织教学的这个维度。那么怎样的问题才是比较好的问题？我觉得对数学课来讲，一个好的问题需要有
32、这么几个特征：第一个特征就是初始性。就是说一个问题提出以后，能够像一个胚胎一样，逐步的在这个胚胎的基础上生长出我们所要学习的数学知识这棵大树；第二个就是它要有一种情境性。因为这个知识对学生来说是第一次学习，从学生这样一种年龄特点来讲，他需要一种生动活泼的方式进行学习，所以我觉得需要有情境；第三，我觉得需要有一种全息性。就是说这个问题提出以后，它的研究过程能够代表一种数学研究的过程；第四个是结构性。一个好的问题要有一个良好的结构，我们所学的知识都不是孤立的，一个好的问题就像一个支架一样，有很多附着点，能够从这些附着点出发连接不同的其他的数学知识，使得学生在学习中能够得到一个比较完整的数学认知结构。刘华：我觉得高中数学课程的教学设计，尤其是在学生活动这方面的设计，和初中略有不同。因为高中生的认知能力从心理学来说，他们已经能够接受比较抽象的从理论到理论的这种演绎体系。所以高中生在数学课堂上的数学活动大都是思维活动，就
